第七章 函数矩阵与矩阵微分方程

核心导读： 本章把普通微积分推广到矩阵值函数，并用矩阵指数统一求解常系数线性微分方程组。难点不在逐元素求导，而在矩阵乘法不可交换：乘积求导必须保序，逆矩阵求导必须左右夹乘，非齐次系统则通过变参数公式累积外部输入。

一、函数矩阵

若矩阵元素都是实变量的函数，则

称为函数矩阵。

其加法、数乘、矩阵乘法与转置规则和常矩阵相同，只是结果中的每个元素仍是函数。

💡 通俗理解

普通函数在每个时刻输出一个数，向量函数输出一列数，矩阵函数则输出一张随时间变化的表。研究它的极限、连续、导数，本质上就是同步研究每个格子的函数。

二、极限、连续与可逆

1. 极限与连续

若对每个均有

则

其中。

在连续，当且仅当所有元素在连续。

2. 函数矩阵的逆

阶函数矩阵在区间上处处可逆的充要条件是

此时

⚡ 避坑指南

原PDF提取中“处处不为零”容易误读。正确条件不是矩阵本身不等于零矩阵，而是行列式处处不为零。

三、函数矩阵的求导与积分

1. 逐元素求导

若每个元素可导，则

线性运算满足

2. 乘积求导

若尺寸相容，则

顺序不能改变。

因此

一般不等于；类似地

💡 通俗理解

标量里能把两项合并成，是因为标量总能交换；矩阵里与可能不同，所以必须把“导数落在每个因子上”的各项按原顺序全部写出。

⭐ 核心考点

一般幂的求导公式为

只有当时，才可简化为

3. 逆矩阵求导

由

两边求导得

右乘，得到

⚡ 避坑指南

不能写成。矩阵没有普通除法，且左右两个缺一不可，顺序也不能变。

4. 逐元素积分

四、齐次常系数矩阵微分方程

考虑初值问题

其中为常矩阵。解为

验证：

且时

💡 通俗理解

标量方程的解是；矩阵方程只是把增长率换成耦合多个变量的矩阵，于是指数也升级为矩阵指数。

⭐ 核心考点

状态转移矩阵

满足

以及

五、非齐次常系数系统

考虑

其解为

这就是常数变易公式，也叫Duhamel公式。

推导

令

代入方程：

所以

从积分到并代回，即得上式。

💡 通俗理解

解由两部分组成：第一项是初始状态自己演化到；第二项把每一时刻注入的外力，继续传播时间后累加起来。

⚡ 避坑指南

积分核是，不是。想清楚：在时刻加入的输入，需要从传播到当前，传播时长是。

六、矩阵指数怎样算

求微分方程前，常需计算。可选：

1. 可对角化： 若，则

2. Jordan法： 若，则

且对，

3. 最小多项式法： 将写成次数小于的的多项式。

⭐ 核心考点

Jordan块不仅产生，还会产生等项。最大多项式次数比Jordan块阶数少。

七、变系数系统的提醒

若

一般不能直接写

只有在不同时刻的矩阵两两可交换，即

该公式才可安全使用。

⚡ 避坑指南

本章公式建立在为常矩阵的前提上。看到时不要无条件套用。

八、考题集汇

例1：用两种方法求逆矩阵的导数

设

求。

解答

先检查逆矩阵是否存在：

当时，，所以在整个区间上可逆，并且

下面按题目要求用两种方法计算。

方法一：使用标量函数乘矩阵的乘积法则

令

则。分别求导：

由乘积法则，

代入：

把第二项通分到：

因此

方法二：使用逆矩阵求导公式

由，两边求导：

右乘，得到

本题

所以

先平方：

取负号后得到

与方法一完全一致。

例2：求非齐次常系数微分方程组

求解

初始条件为

解答

第一步：写成矩阵微分方程

令

原方程组可写为

其中

非齐次常系数系统的解公式为

第二步：计算矩阵指数

把写成

直接计算可得。由于与可交换，

又因为，指数级数从二次项开始全为零：

所以

第三步：计算初值响应

令。则

第四步：计算非齐次积分项

在积分中令。先做矩阵乘法：

因此三个分量分别积分。

第一分量：

第二分量：

第三分量：

第五步：初值响应与积分响应相加

第一分量为

第二分量的初值响应为，所以

第三分量还要加上，得到

故方程组的解为

第六步：验算初值

令，则，逐项得到

与题目给定的初值完全一致。

九、考前速记清单

1. 函数矩阵极限、连续、导数与积分都按元素进行。
2. 区间上处处可逆处处不为零。
3. ，必须保序。
4. 。
5. 齐次系统：。
6. 非齐次系统：初态响应加卷积积分。
7. 变系数矩阵指数公式必须检查不同时刻是否可交换。

⚡ 避坑指南

最后自测：若与不交换，是否成立？一般不成立；这条简单公式仅在适当交换条件下成立。