第七章 函数矩阵与矩阵微分方程

核心导读： 本章把普通微积分推广到矩阵值函数，并用矩阵指数统一求解常系数线性微分方程组。难点不在逐元素求导，而在矩阵乘法不可交换：乘积求导必须保序，逆矩阵求导必须左右夹乘，非齐次系统则通过变参数公式累积外部输入。

一、函数矩阵

若矩阵元素都是实变量的函数，则

称为函数矩阵。

其加法、数乘、矩阵乘法与转置规则和常矩阵相同，只是结果中的每个元素仍是函数。

💡 通俗理解

普通函数在每个时刻输出一个数，向量函数输出一列数，矩阵函数则输出一张随时间变化的表。研究它的极限、连续、导数，本质上就是同步研究每个格子的函数。

二、极限、连续与可逆

1. 极限与连续

若对每个均有

则

其中。

在连续，当且仅当所有元素在连续。

2. 函数矩阵的逆

阶函数矩阵在区间上处处可逆的充要条件是

此时

⚡ 避坑指南

原PDF提取中“处处不为零”容易误读。正确条件不是矩阵本身不等于零矩阵，而是行列式处处不为零。

三、函数矩阵的求导与积分

1. 逐元素求导

若每个元素可导，则

线性运算满足

2. 乘积求导

若尺寸相容，则

顺序不能改变。

因此

一般不等于；类似地

💡 通俗理解

标量里能把两项合并成，是因为标量总能交换；矩阵里与可能不同，所以必须把“导数落在每个因子上”的各项按原顺序全部写出。

⭐ 核心考点

一般幂的求导公式为

只有当时，才可简化为

3. 逆矩阵求导

由

两边求导得

右乘，得到

⚡ 避坑指南

不能写成。矩阵没有普通除法，且左右两个缺一不可，顺序也不能变。

4. 逐元素积分

四、齐次常系数矩阵微分方程

考虑初值问题

其中为常矩阵。解为

验证：

且时

💡 通俗理解

标量方程的解是；矩阵方程只是把增长率换成耦合多个变量的矩阵，于是指数也升级为矩阵指数。

⭐ 核心考点

状态转移矩阵

满足

以及

五、非齐次常系数系统

考虑

其解为

这就是常数变易公式，也叫Duhamel公式。

推导

令

代入方程：

所以

从积分到并代回，即得上式。

💡 通俗理解

解由两部分组成：第一项是初始状态自己演化到；第二项把每一时刻注入的外力，继续传播时间后累加起来。

⚡ 避坑指南

积分核是，不是。想清楚：在时刻加入的输入，需要从传播到当前，传播时长是。

六、矩阵指数怎样算

求微分方程前，常需计算。可选：

1. 可对角化： 若，则

2. Jordan法： 若，则

且对，

3. 最小多项式法： 将写成次数小于的的多项式。

⭐ 核心考点

Jordan块不仅产生，还会产生等项。最大多项式次数比Jordan块阶数少。

七、变系数系统的提醒

若

一般不能直接写

只有在不同时刻的矩阵两两可交换，即

该公式才可安全使用。

⚡ 避坑指南

本章公式建立在为常矩阵的前提上。看到时不要无条件套用。

八、原讲义考题集汇

例1：用两种方法求逆矩阵的导数

设

求。

解答

先写出

逐元素或用标量乘矩阵的乘积法则求导，得到

用逆矩阵求导公式也有

这里，所以结果就是，与上式一致。

例2：求非齐次常系数微分方程组

求解

初始条件为

解答

写成

因为满足，所以

代入变参数公式

化简后得到

将代入，可立即验得初值。

九、考前速记清单

1. 函数矩阵极限、连续、导数与积分都按元素进行。
2. 区间上处处可逆处处不为零。
3. ，必须保序。
4. 。
5. 齐次系统：。
6. 非齐次系统：初态响应加卷积积分。
7. 变系数矩阵指数公式必须检查不同时刻是否可交换。

⚡ 避坑指南

最后自测：若与不交换，是否成立？一般不成立；这条简单公式仅在适当交换条件下成立。