上官呆呆的笔记

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高等数学速成讲义（下）：数列、微分方程与级数 ​

数列极限、常微分方程、无穷级数、幂级数与公式速查。本文由原始长篇笔记重构而成，保留原题、例题与图片上下文，并按“概念 → 方法 → 易错点 → 例题”组织。

全套导航 ​

本册总览 ​

⭐ 核心结论/面试高频

建议先阅读每章导图与核心结论，再尝试例题；证明与长推导已折叠在 details 容器中，复习时可按需展开。

数列与极限 ​

本章摘要： 从收敛数列的基本性质出发，系统整理单调有界、递推数列、Riemann 和、夹逼、裂项相消及振荡型极限。

本章思维导图 ​

识别，把离散求和转成定积分。

⭐ 核心结论/面试高频

递推数列求极限不能一上来就“对等式取极限”。应先证明极限存在，通常路径是：证明有界与单调 → 得到收敛 → 再代入递推式求不动点。

数列收敛的结论 ​

  1. 唯一性：存在 → 极限值唯一
  2. 有界性：收敛有界；反向不成立，例如。
  3. 单调有界准则：有界 + 单调 → 收敛 （反推不成立，反例：)
  4. 保号性：（脱极限号） → 当时（n足够大时），
    （带极限号） （当收敛时）
  5. 数列极限存在且极限值为A ⇔ 所有子列极限都存在且都为A

数列单调有界 ​

单调证明 ​

  1. 求导法
    令
    (1)数列满足：，，如果在上，，则单调 （若单调增，若单调减）
    (2)数列满足：, ,如果在,上，,则单调
    注：此时不单调，除非

  2. 作差/作比法
    (1)作差：

  3. 1 与0比较

  4. 2 与 比较（同号则单调）
    (2)作比： （若>1，则单调增）（若<1，则单调减）

  5. 数学归纳法：先验证初值，再由归纳假设推出下一项的界或符号。

有界证明 ​

  1. 分离常数
  2. 数学归纳法（常用）（界就是极限）
  3. 常见不等式

数列不存在证明 ​

例题1 设 , , 则 ___.

🔍 展开查看：解题过程

证有界：
显然，有下界

证单调：

→ 单调递增

假设有上界，则，令其为A
→ → 与矛盾

说明无上界 → 极限不存在或为正无穷

例题2设 ，，则 ________。

🔍 展开查看：解题过程

（1）若，显然，即：有界

→ 单调递减
由单调有界准则可得：极限存在，令其为A
→ →

（2）若，显然
→ → 单调递减

假设有下界，则极限存在，令其为A → → 矛盾

说明没有下界，极限不存在或为负无穷

（3）若，显然 →

综上：

常见不等式 ​


  2. 或者
  4. （当且仅当时，等号成立）
  12. （a,b同号）

(1)当时，

(2) 当 时
当 时

(3)当 时 ,
当 时
当时，

(4)当时

(5)当时

⭐ 核心结论/面试高频

这些不等式在极限、放缩与级数判敛中会反复出现，建议熟练掌握其适用区间与等号条件。

数列极限 ​

定积分定义 ​

步骤：
(1)先提（不管小区间的长度是不是）

例题1（插入点为端点）
求极限

🔍 展开查看：解题过程

分成n份，取右端点

例题2（插入点为中点）
求极限

🔍 展开查看：解题过程

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→

区间划分：

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→

例题3（插入点非中点、端点的情况）

求极限

🔍 展开查看：解题过程

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例题4（类似例题3）
求极限

🔍 展开查看：解题过程

→

同理（例题3）

例题5（出现连乘，先取对数，化累和）
求极限

🔍 展开查看：解题过程

例题6
求极限

🔍 展开查看：解题过程

取对数后有，因此。

夹逼准则 ​

形如，其中且

当时，上面不等式两边的极限相等，此时一定可以用夹逼准则

例题1
求极限

🔍 展开查看：解题过程

且 →

例题2
求极限

🔍 展开查看：解题过程和

→

例题3
求极限

🔍 展开查看：解题过程

将其写成。因在上一致成立，故极限为。

求含有sin无穷的数列极限 ​

总结：求含有的数列极限
（1）减去等价无穷大，把无穷大拉回常数
（2）提出等价无穷大，把无穷大拉回常数

例题1数列极限 ______.

🔍 展开查看：解题过程

例题2数列极限 _____.

例题3数列极限 _______.

🔍 展开查看：解题过程

裂项相消法例题 ​

例题1设 , 则 ___.

🔍 展开查看：解题过程

例题2 求数列极限

🔍 展开查看：解题过程

例题3 求数列极限 , 其中 。

🔍 展开查看：解题过程

开n次根号 ​

若且，则。

有限项最大值公式 ​

为非负，则

🔍 展开查看：最大项公式证明

不妨设

得证：。

常微分方程 ​

本章摘要： 识别线性、Bernoulli 与 Euler 方程，掌握二阶常系数方程的解结构，并用微分算子快速寻找非齐次特解。

本章思维导图 ​

解集对线性组合封闭，通解由线性无关的基础解组成。

⚡ 避坑指南/易混淆点

微分算子法是常系数线性方程的快捷记号，不适用于任意变系数或非线性方程。遇到共振时，特解需要乘以足够次数的。

微分方程概述 ​

  1. n阶微分方程的通解应该含有n个不能合并的任意常数
  2. n阶齐次微分方程的通解是n个线性无关的特解的线性组合

线性微分方程概述 ​

（要么看未知函数，要么看未知函数)
① 未知函数及未知函数的导数都是一次的
② 未知函数及未知函数的导数只能线性组合

例：判断下列微分方程是否为的线性微分方程

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）

（1）（2）（3）是y的线性微分方程

一阶微分方程通解 ​

通解：

伯努利方程 ​

通过换元，将非线性方程化简成线性

则为线性直接做

① 两边同除

② 令,两边同时对x求导

③ 代入求

总结：必须干净没有，盯着换元（那一项）

欧拉方程 ​

① 令(化成常系数)
则是对的微分算子

② 解得y(t)，再代入为y(x)

例：方程的通解
令

二阶齐次微分方程通解 ​

特征方程：

①

②

③

二阶齐次微分方程特解结论 ​

的任意两个解一定满足（其中C可以通过两个解确定为常数）

🔍 展开查看：Abel 恒等式推导

证明：

令，则有：

得证：。

该结论常用于判断两个解的线性相关性。

解的结构 ​

非齐次齐次

① 和 是齐次线性无关的解，则 是齐次的通解
② 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
③ 是齐次的解，仍是齐次的解
④ 是非齐次的解

非齐次的解齐次的解

⑤ 非齐次解 + 齐次解 = 非齐次解

微分算子法（算非齐特解） ​

一、引入记号

（1）表示求导

（2）表示积分

二、步骤

特征方程：

记成：

计算： → 没有的形式

如：

型一 ​

方法： 见就换

时，
时，

例一： 求

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例二： 求

🔍 展开查看：解题过程

例三： 求

🔍 展开查看：解题过程

，则

例四： 求

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例五： 求

🔍 展开查看：解题过程

型二 ​

方法： 见就换，剩下的用平方差

与型一一样，就求导提一个x出来

例一： 求

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例二： 求

🔍 展开查看：解题过程

例三： 求

🔍 展开查看：解题过程

例四： 求

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型三 ​

多项式

方法：

例一： 求

🔍 展开查看：解题过程

型四 ​

的多项式

**方法：**化简成等比数列级数的形式，然后展开

例一： 求

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例二： 求

🔍 展开查看：解题过程

例三： 求

🔍 展开查看：解题过程

型五 ​

算子计算顺序为：多项式

(1) ;

利用欧拉公式将三角函数化为

(2)

该复合型算子计算较繁，重点掌握指数平移与复指数表示两步。

微分方程的换元 ​

题型：关于y和x的微分方程 关于y和t的微分方程，可以有

方法：链式求导法

例题作变量替换，方程简化为________。

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无穷级数与幂级数 ​

本章摘要： 从部分和定义出发，依次研究正项级数、交错级数、绝对与条件收敛，最后进入幂级数的收敛域和逐项运算。

本章思维导图 ​

可使用比较、极限比较、比值和根值判别法。

⚡ 避坑指南/易混淆点

只是收敛的必要条件，不是充分条件；比值或根值判别得到时也必须改用其他方法。

常数项级数 ​

级数的收敛与发散 ​

令 ，则称数列 为级数 的部分和数列。
如果级数 的部分和数列 有极限 ，即
则称无穷级数 收敛，这时极限 叫做级数的和，并写成

如果 没有极限，则称无穷级数 发散。

级数的基本性质 ​

(1) 如果级数收敛于和S，则级数也收敛(k为常数)，且收敛于kS；
(2) 如果级数，分别收敛于S，σ，则级数也收敛，且收敛于S±σ；
(3) 若和中一个收敛，另一个发散，则级数发散(a，b为非零常数)；

**注意：**若级数与都发散，则的敛散性不确定(a，b为常数).

(4) 在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的收敛性；
(5) 如果级数 收敛，则对此级数的项加上括号后的级数仍收敛，且其和不变；
**注意：**若加括号后形成的级数收敛，不能断定去括号后原来的级数收敛。例如级数 收敛于零，但级数 却是发散的。

(6) 级数收敛的必要条件：如果级数收敛，则它的一般项趋于0，即：

收敛 → →

**注意：**常用来判定级数发散，即若，则级数必发散。

拆分级数性质 ​

（1）若收敛，收敛，则一定收敛

（2）若收敛，发散，则一定发散

（3）若发散，发散，则可能收敛可能发散

例 1若 ，且级数 收敛，则级数 收敛性的结论是 【 】
(A) 收敛.
(B) 发散.
(C) 不能确定.
(D) 与 正负有关.

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**技巧：**消去型级数用定义

例2【例 7.2】设级数 收敛, 则下列结论不正确的是
(A) 必收敛.
(B) 必收敛.
(C) 必收敛.
(D) 必收敛.

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(B) 【消去型级数】用定义

(C) 内部加括号

例题3对无穷级数 和 ，下列命题成立的是（ ）

（A）若 ，则 和 中至少有一个收敛.
（B）若 ，则 和 中至少有一个发散.
（C）若 ，则 收敛时 收敛.
（D）若 ，则 发散时 发散.

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通项趋于0不能推收敛(A)错误

→ 不都成立 → 至少有一个发散(B)正确

**注意：**只有正项级数可用比较审敛法等，普通级数只能用，收敛+收敛，同敛散，改变有限项，通项趋于0（必要条件）来判别
(C)(D)错误

例题4设 ，若 发散， 收敛，则下面结论正确的是（ ）
（A） 收敛， 发散.
（B） 收敛， 发散.
（C） 收敛.
（D） 收敛.

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收敛＋发散 = 发散
发散 － 收敛 = 发散

(C)级数发散，内部加括号，不知道
(D)级数收敛，内部加括号，收敛

典型级数的敛散性 ​

(1) 几何级数：在时收敛于, 当 时发散;
(2) 级数: , 当 时收敛, 当 时发散;
(3) 对数型级数：当时对任意均收敛；当时对任意均发散；临界情形时，当且仅当收敛。

注： 当取 , 对数 级数变为 , 此时, 当 时收敛, 当 时发散.

正项级数 ​

常数项级数的各项非负，即：的级数称为正项级数。

收敛 ⇔ 有界

加括号问题 ​

（1）若为正项级数，则收敛收敛。

（2）若 ，则 收敛 收敛

正项级数审敛法 ​

① 比较判别法【适合于抽象级数】: 设 , 为正项级数, 且 ,
若 收敛, 则 收敛;
若 发散, 则 发散.

例题判断敛散性
（1）

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收敛

（2）, 己知收敛

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② 比较判别法的极限形式【实现等价无穷小，易于判别】: 设 , 为正项级数, 若 ,
当 时, 与 同敛散;
当 且 收敛时, 则 收敛;
当 且 发散时, 则 发散.

例题判断下列级数敛散性

🔍 展开查看：解题过程
🔍 展开查看：解题过程
🔍 展开查看：解题过程

③ 比值判别法（达朗贝尔判别法）【适用于带阶乘级数】：设 为正项级数，若 ，则

收敛发散无法判定

例题判断下列级数敛散性

(1)

🔍 展开查看：解题过程

当时，，故单调递增，特别地。 →

发散收敛发散

④ 根值判别法(柯西判别法)【适用于带幂级数】: 设 为正项级数, 若 , 则

收敛发散无法判定

例题

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当时，发散

发散收敛发散

【综合例题】

例题1已知是初始值问题

的解，判断级数的敛散性。
（A）发散.
（B）条件收敛.
（C）绝对收敛.
（D）收敛性与 的取值有关.

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→
→ 绝对收敛

例题2设为正项级数，下列结论中正确的是（）
（A）若，则级数收敛
（B）若存在非零常数，使得，则级数发散.
（C）若级数收敛，则.
（D）若级数发散，则存在非零常数，使得.

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正确选项为 (B)：若，则，故级数发散。(A) 可由否定。

交错级数 ​

若 ，则级数 或 称为交错级数，其展开形式有以下两种：

，

。

交错级数的敛散性判定(莱布尼茨判别准则) ​

对于交错级数 , 若:
① ;
② ,
则级数收敛, 且其和 .

例题判断下列级数的敛散性

(1)

🔍 展开查看：解题过程

在时，单调减，趋于0 → 级数收敛

(2)

🔍 展开查看：解题过程

单调减，趋于0，级数收敛

一般项级数 ​

绝对收敛与条件收敛的概念 ​

对于一般项级数，
如果级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；
如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛.

绝对收敛与条件收敛的性质 ​

(1) 绝对收敛的级数一定收敛, 即若 收敛, 则 收敛;

(2) 条件收敛的级数所有正项 (或负项) 构成的级数一定发散;

注意： 由级数所有正项或负项构成的级数可分别表示为 和 .

(3) 绝对收敛的级数重新排列后, 级数仍收敛且和不变.

例题设常数λ＞0，且级数∑收敛，则级数∑（　　）
（A）发散.
（B）条件收敛.
（C）绝对收敛.
（D）敛散性与λ有关.

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收敛

→ 绝对收敛

例题2设常数 ，则级数 （ ）
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 收敛性与 取值有关.

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单调减，趋于0，收敛

，发散加收敛，级数发散，说明是条件收敛

例题3关于级数 的敛散性说法正确的是（ ）
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 敛散性与 取值有关.

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，收敛

，发散

→ 级数发散

例题4设 收敛，则级数 （ ）
(A) 条件收敛
(B) 绝对收敛
(C) 发散
(D) 敛散性不定

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绝对收敛

例题5判别级数 的收敛性, 其中 是单调递增而且有界的正项级数

🔍 展开查看：解题过程

由 收敛

收敛

幂级数 ​

幂级数的概念 ​

各项都是幂函数的函数项级数即所谓幂级数，形如，称为在 处的幂级数.

阿贝尔定理及其推论 ​

如果幂级数 当 () 时收敛，则对 的一切 ， 绝对收敛。反之，如果幂级数 当 时发散，则对 的一切 ， 发散。

【推论】如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则可以一个确定的正数 ，使得当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；当 时，幂级数可能收敛也可能发散。

正数 叫做幂级数的收敛半径，开区间 叫做幂级数的收敛区间。再由幂级数在 处的收敛性就可以决定它的收敛域是 、、 或 这四个区间之一。

**注意：**在求收敛域时，一定不要忘记判断端点处幂级数的敛散性，这也是其与收敛区间的区别。

幂级数收敛半径的求法 ​

对于幂级数 ，若（或），则幂级数的收敛半径为

例题求下列幂级数的收敛域

(1)

🔍 展开查看：解题过程

(2) .

🔍 展开查看：解题过程

收敛区间

时， 发散
时，收敛

收敛域为，即。

(3) .

🔍 展开查看：解题过程

时，发散
时， 发散

收敛域： →

幂级数和函数 ​

(1) 幂级数 的和函数 s(x) 在其收敛域 上连续.

(2) 幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并有逐项积分公式

**注：**逐项积分后所得到的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.

【母型级数】
(1)

(2)

(3)

(4)

例题求下列幂级数的和函数

🔍 展开查看：解题过程

端点处均绝对收敛，故收敛域为。

例题计算级数

🔍 展开查看：解题过程

例题求下列幂级数的和函数

🔍 展开查看：解题过程

，收敛区间

\text is only supported in math modex=\pm 1 \text { \text{时}, } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1)}收敛 →

(3) 幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可导，且有逐项求导公式

**注：**逐项求导后所得到的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.

【子型级数】
（1）

（2）

（3）

例题

🔍 展开查看：解题过程

，即：，收敛区间

发散

【带阶乘级数】
（1）

例题求下列幂级数的收敛域与和函数

(1)

🔍 展开查看：解题过程

(2)

🔍 展开查看：解题过程

常用级数推导 ​

都还记得高中的等比数列求和公式吧？

当

注意到如果 ，的级数展开就是公比为x的等比数列

换一个形式：

改成：

我们知道，那么先求导再积分可得：

化简一下：

我们知道，同理可得：

由 Taylor 公式可统一得到常见初等函数的幂级数展开：

又知的n次导始终为，得：

同理，对，
顺序循环地取0，1，0，-1，...
得：

再求导可得：

还有这个：

上面这个级数你可以使用幂级数展开式自行验证。
总结：

常见参数曲线 ​

本章摘要： 认识高频参数曲线及其几何背景，为参数积分、弧长和旋转曲面问题建立图像直觉。

本章思维导图 ​

💡 通俗理解

摆线可以想象成圆周上一点随圆在直线上无滑动滚动时留下的轨迹。参数既编码圆的转角，也编码轨迹的位置。

摆线 ​

摆线又称旋轮线、圆滚线，也与最速降线问题密切相关。
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公式速查与助记 ​

本章摘要： 集中整理基础积分、高阶导数、反三角函数、Taylor 展开、积化和差与典型级数，适合作为复习索引。

本章思维导图 ​

⚡ 避坑指南/易混淆点

速查表用于检索与复习，不能替代定义域、收敛域、参数范围和等号条件。记公式时务必同时记住适用条件。

积分表 ​

①是常数②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬

高阶导数表 ​

①②③④⑤

三角函数反解 ​

对自变量x，左加右减
对反余弦或反正弦关系，应结合函数的定义域与主值区间判断整体符号。
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常用泰勒展开 ​

和差化积 ​

⭐ 核心结论/面试高频

同名三角函数相加减时，可将和差化为乘积：

常见级数（特值法） ​

常见的收敛级数：，，，，，．

常见的发散级数：，，，．

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