第五章 范数序列与级数

核心导读： 本章研究如何用一个实数衡量向量或矩阵的大小，并利用这种“大小控制”判断矩阵序列和矩阵级数是否收敛。核心链条是：范数提供上界，谱半径刻画幂的长期行为，而几何级数与一般幂级数最终把标量收敛理论推广到矩阵。

一、范数是什么

范数是把向量或矩阵映射为非负实数的函数，用于衡量对象的“大小”。

1. 向量范数

若满足：

1. 正定性：，且；
2. 齐次性：；
3. 三角不等式：；

则称其为向量范数。

2. 矩阵范数

矩阵范数除满足上述三条外，通常还要求次乘性：

💡 通俗理解

范数像一把尺子。不同范数是不同测量标准：有的计算总消耗，有的只看最大分量，有的测欧氏长度。答案可能不同，但都必须尊重“零对象长度为零、缩放同比、走弯路不比直达短”。

⚡ 避坑指南

单纯把矩阵看成维向量得到的范数，未必自动满足矩阵乘法次乘性。题目若明确要求“矩阵范数”，四条性质都要检查。

二、常用向量范数

对：

1. -范数

2. -范数

3. -范数

4. -范数

当时，

是范数。当时，它不满足三角不等式，不是范数。

⭐ 核心考点

有限维空间中所有范数等价：对任意两种范数，存在常数使

因此有限维中的“是否收敛”与具体选哪种范数无关。

三、常用矩阵范数

设。

1. 元素型范数

矩阵元素绝对值之和：

Frobenius范数：

讲义中的一种最大元素矩阵范数经过尺度修正后可写为

尺度因子用于保证对不同尺寸可乘矩阵的次乘性。

2. 诱导算子范数

由向量范数诱导的矩阵范数定义为

三个最常用公式：

即最大列绝对值和；

即最大行绝对值和；

💡 通俗理解

诱导范数问的是：矩阵这台机器最多能把输入向量放大多少倍。就是最极端方向上的最大拉伸倍数，也就是最大奇异值。

⭐ 核心考点

口诀：

• 算子-范数看列和；
• 算子-范数看行和；
• 算子-范数看最大奇异值；
• Frobenius范数看全部元素平方和。

⚡ 避坑指南

与不是一回事。前者是最大奇异值，后者是全部奇异值平方和开根号。

四、酉不变范数

若对任意尺寸相容的酉矩阵均有

则称该范数为酉不变范数。常见例子包括

原因是酉变换不改变奇异值。

💡 通俗理解

酉变换只是在输入端和输出端旋转坐标系。真正的拉伸能力没变，所以只依赖奇异值的尺子读数也不变。

五、矩阵序列与矩阵幂

矩阵序列收敛到，等价于每个元素收敛：

在有限维空间中，也等价于任一种矩阵范数意义下

若存在一种次乘矩阵范数使

则

从而

更强的充要条件是

⭐ 核心考点

“存在范数使”是很好用的充分条件；“”才是的充要条件。

⚡ 避坑指南

某个常见范数算出，不能据此断言发散。范数判据只有在时能直接给出收敛；否则应改查谱半径或Jordan结构。

六、谱半径

矩阵的谱半径定义为

对任意相容矩阵范数，都有

证明思路：若且，则

所以。

💡 通俗理解

范数给的是“最坏情况下的一步放大”，谱半径描述“反复作用很多次后的指数增长率”。短期可能受非正规结构影响，但长期底色由最大特征值模控制。

七、矩阵幂级数

设标量幂级数

的收敛半径为。对方阵：

• 若，则矩阵级数

绝对收敛；

• 若，则发散；
• 边界需具体分析。

Neumann级数

矩阵几何级数

收敛的充要条件为

此时

有限部分和满足

令即可得到结论。

⭐ 核心考点

若能找到范数满足，则不仅级数收敛，而且余项可估计：

⚡ 避坑指南

表示，不是。矩阵函数中的负指数作用在整个括号上。

八、原讲义考题集汇

例1：复向量的三种常用范数

取

解答

则

⚡ 避坑指南

复数分量必须取模：，不能把直接带进“绝对值求和”。计算-范数时用。

例2：矩阵元素范数与算子范数

设

求讲义中列出的各种元素范数与算子范数。

解答

对，元素绝对值和、Frobenius范数和尺度化最大元素范数分别为

最大列和与最大行和均为：

又

其最大特征值为，故

对，

的特征值为，所以

例3：判断矩阵幂序列的敛散性

分别判断下列矩阵的：

解答

对，

故发散。

的谱半径为，即使有二阶Jordan块，，所以。

对，

对，最大列和为，所以，从而。

例4：矩阵几何级数求和

设

证明绝对收敛并求和。

解答

最大行和为，故

所以级数绝对收敛，且

计算得到

例5：证明尺度化最大元素范数是矩阵范数

对定义

证明它满足矩阵范数公理。

解答

正定性、齐次性和三角不等式由绝对值性质直接得到。若、，则

又

故

例6：证明谱范数酉不变

证明对酉矩阵，有

解答

因为

故与的奇异值相同。又

它与酉相似，所以特征值相同。于是与的最大奇异值相同；组合两步即得的结论。

例7：逆矩阵范数的双边估计

若，证明可逆，且

其中为诱导算子范数。

解答

由可知Neumann级数收敛，因此可逆，并且

另一方面，

且，故

九、考前速记清单

1. 范数三公理：正定、齐次、三角不等式；矩阵范数再加次乘性。
2. 算子-范数最大列和，-范数最大行和，-范数最大奇异值。
3. Frobenius范数是所有元素模平方和开根号。
4. 。
5. 。
6. 收敛，和为。
7. 一般幂级数先看标量收敛半径，再比较。

⚡ 避坑指南

最后自测：若，是否一定有发散到无穷？不是。例如时有界但不趋于零；不同Jordan结构会产生不同表现。