数字信号处理

傅里叶变换

前置知识

公式一：计算原向量投影后的坐标

$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_p^{{}^{\prime }}& y_p^{{}^{\prime }}& z_p^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_p& y_p& z_p\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{i}^{{}^{\prime }}& j{}^{\prime }& k^{{}^{\prime }}\end{array}\right]$$

即：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& u_j^T=u_i^T\cdot v_{ij}\end{array}$$

$u_i$表示在向量u在i坐标系下的坐标。
$v_{i,j,k}\mathrm{表}\mathrm{示}j\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{系}\mathrm{下}\mathrm{第}k\mathrm{个}\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{基}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{在}i\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{系}\mathrm{下}\mathrm{的}\mathrm{坐}\mathrm{标}$

\begin{bmatrix} \end

公式二：用新的基函数和坐标复原原向量

$$\left[\begin{array}{c}{x}_p\\ y_p\\ z_p\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{i}^{{}^{\prime }}& j{}^{\prime }& k^{{}^{\prime }}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_p^{{}^{\prime }}\\ y_p^{{}^{\prime }}\\ z_p^{{}^{\prime }}\end{array}\right]$$

即：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& u_i=v_{ij}\cdot u_j\end{array}$$

空间坐标变换总结

1. 坐标系中的基向量，由两两正交（内积为零）且长度为1的n（n为空间维度）个向量组成。
2. 坐标系中任意一个向量可表示为基向量的线性组合，其系数即为坐标。
3. 向量丛一个坐标系变换到另一个坐标系，需要求向量在新坐标系的每个基向量的投影。

向量的内积（投影）

其他补充文章：👉️向量的内积外积与其几何意义👈️ 假设有一个k维的向量u，这个k维向量在某个基向量$v_i$上的投影为：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& u_{(v_i)}=u_1{v}_{i1}+u_2{v}_{i2}+\cdots +u_k{v}_{ik}=\sum _{n=1}^k{u}_n{v}_{in}\end{array}$$

一般来说$u_1\cdot u_2=|a||b|cos\theta$有因为$v_i$为基向量，故有(3)式成立

那么如果把向量的维度看作成数组，就可以计算两数组之间的内积。
如果把数组中n的间隔逐渐变得密集，就可以看作成函数，从而计算两函数之间的内积。

函数内积(两个无穷维向量的投影)

参考链接：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& <f(x),g(x)>={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)g(x)dx\end{array}$$

将(4)式理解成对应点的值相乘再求和的极限形式

$$<f(x),g(x)>\approx f(1)g(1)+f(2)g(2)+\cdots +f(n)g(n)+\dots$$$$<f(x),g(x)>\approx 0.01(f(0.01)g(0.01)+f(0.02)g(0.02)+\cdots +f(0.01n)g(0.01n)+\dots$$

当取值密度趋向于无穷大时，得到(4)式积分形态

积分变换

第一章 绪论

四种信号类型

1. 连续时间信号 $x_a(t)$
2. 离散时间信号 $x(nT)$
3. 模拟信号 $x_a(t)$
4. 数字信号 $x(n)$

信号类型	时间	幅度
连续时间信号	连续	可连续、可离散
离散时间信号	离散	可连续、可离散
模拟信号	连续	连续
数字信号	离散	离散

三种频率的关系

1. 模拟频率$f$
2. 模拟角频率$\mathrm{\Omega }$
3. 数字频率$\omega$

1. 模拟信号$x_a(t) = Acos(2\pi ft+\phi) $
2. 模拟频率$f$
3. 模拟角频率$\mathrm{\Omega }$
4. 数字信号$x(n)=Acos(\omega n+\varphi )$
5. 数字频率$\omega$
6. 采样周期$T$ <==> 采样率$f_s=1/T$

数字频率$\omega$、模拟角频率$\omega$和模拟频率$f$的关系为

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \omega =\mathrm{\Omega }T=\frac{\mathrm{\Omega }}{f_s}=\frac{2\pi f}{f_s}\end{array}$$

第二章 离散时间信号与系统

奈奎斯特采样定理

若$x_a(t)$是带限信号，要想采样后的信号能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于信号最高频率分量的两倍。
条件：

1. 带宽有限
2. 理想采样
3. ${\mathrm{\Omega }}_s>2{\mathrm{\Omega }}_h$

tip: 采样频率${\mathrm{\Omega }}_s$， 信号最高频率${\mathrm{\Omega }}_h$

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这是一个分割线~

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例题：$f(t)$的最高频率为8kHz，则对3$f(t)$、$f(t{)}^2$、$f(t)\ast f(t)$分别进行采样时需要的最低采样频率为？

$$3f(t)\to 3F(j\mathrm{\Omega })\to {\mathrm{\Omega }}_c=2\pi \cdot 8kHz\to {\mathrm{\Omega }}_s=2\cdot 2\pi \cdot 8kHz$$

解得：$f_s=16kHz$

$$f(t{)}^2=f(t)\cdot f(t)\to \frac{1}{2\pi }F(j\mathrm{\Omega })\ast F(j\mathrm{\Omega })\to {\mathrm{\Omega }}_c^{\prime }={\mathrm{\Omega }}_c+{\mathrm{\Omega }}_c\to {\mathrm{\Omega }}_c^{\prime }=2\cdot 2\pi \cdot 2\cdot 8k{H}_e$$

解得：$f_s^{\prime }=32kHz$

$$f(x)\ast f(x)\to F(j\mathrm{\Omega })\cdot F(j\mathrm{\Omega })\to {\mathrm{\Omega }}_c^{\prime }={\mathrm{\Omega }}_c\to {\mathrm{\Omega }}_c^{\prime }=2\cdot 2\pi \cdot 8k{H}_2$$

解得：$f_s=16kHz$

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这是一个分割线~

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结论： $a(t)+b(t)\to A(j\mathrm{\Omega })+B(j\mathrm{\Omega })max({\mathrm{\Omega }}_a,{\mathrm{\Omega }}_b)$
$a(t)\times b(t)\to A(j\mathrm{\Omega })\ast B(j\mathrm{\Omega }){\mathrm{\Omega }}_a+{\mathrm{\Omega }}_b$
$a(t)\ast b(t)\to A(j\mathrm{\Omega })\cdot B(j\mathrm{\Omega })min({\mathrm{\Omega }}_a,{\mathrm{\Omega }}_b)$

实际采样与理想采样的异同

本质不同 ==> 采样序列不同：采样序列由单位冲激串变为矩形脉冲串
相同点：周期延拓仍为${\mathrm{\Omega }}_s$
不同点：幅度加权因子由$\frac{1}{T}$ ==> $\frac{\tau }{T}Sa(\frac{n\mathrm{\Omega }\tau }{2})$

插值重构

理想低通滤波器的截止频率满足： ${\mathrm{\Omega }}_h<{\mathrm{\Omega }}_c<{\mathrm{\Omega }}_s-{\mathrm{\Omega }}_h$
tip: 采样频率${\mathrm{\Omega }}_s$， 信号最高频率${\mathrm{\Omega }}_h$

典型序列

1.矩形序列

$$R_N(n)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le n\le N-1\\ 0,& \text{其他}n& \end{array}$$

2.实指数序列

$$x(n)=a^{n}u(n)$$

3.复指数序列

$$x(n)=e^{(\sigma +j{\omega }_0)n}$$

4.正弦型序列

$$x(n)=A\sin ({\omega }_{0}n+\phi )$$

序列的周期性

定义：如果对于所有的n，存在一个最小的正整数N $(\mathbb{N}\ge 2)$ ,下列等式成立

$$x(n)=x(n+N)$$

则称序列x(n)为周期序列，其周期为N。

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这是一个分割线~

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例题：计算$x(n)=\sin \frac{2}{\pi }3n\cdot \cos \frac{4\pi }{5}n$的周期 法1： 积化和差分解成相加形式：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}x(n)& =\frac{1}{2}[\sin (\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{5})n-\sin (\frac{4\pi }{5}-\frac{2\pi }{3})n]\\ & =\frac{1}{2}\sin (\frac{22}{15}\pi n)-\frac{1}{2}\sin (\frac{2}{15}\pi n)\end{array}\end{array}$$

找最小公倍数，对第一个sin有：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{ll}\frac{22}{15}\pi N=2k\pi & k\text{是整数}\\ N=\frac{15}{11}k& N\text{为整数}\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3)}& k=11\mathrm{时}，N=15\end{array}$$

对第二个sin有：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \{\begin{array}{l}\frac{2}{15}\pi N=2k\pi .\\ N=15k& \end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(5)}& k=1\mathrm{时}，N=15\end{array}$$

解得：周期为15

序列运算

卷积：
1.有限长序列：
使用冲激法计算卷积
写了一个简陋的冲激法实现，仅供理解

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N], b[N];
int n, m;
int ans[N];

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
	cin >> m; 
	for(int i = 0; i < m; i ++) cin >> b[i];
	for(int i = 0; i < n; i ++)
	{
		for(int j = 0; j < m; j ++)
		{
			ans[i + j] += a[i] * b[j];
			cout << a[i] * b[j] << ' ';
		} 
		cout << endl;
	}
	for(int i = 0; i < n + m - 1; i ++) cout << ans[i] << ' ';
	return 0; 
}
//目的：计算{1, 1, 2}0 * {1, 2, 3, 4}0
//输入
//3
//1 1 2
//4
//1 2 3 4
//结果
//1 2 3 4
//  1 2 3 4
//    2 4 6 8
//1 3 7 11 10 8

系统性质

1. 线性：输入为线性组合 ==> 输出同线性组合

$$T[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=a{y}_2(n)+b{y}_2(n)$$

2. 时不变：输入时延 ==> 输出同时延

$$T[x(n-n_0)]=y(n-n_0)$$

3. 因果 常用判定：系统输出仅与当前或过去值有关
   LTI独有判定：满足$h(n),n<0$ 或 $H(z)$ 收敛域向外的，包括$\mathrm{\infty }$ 则是因果系统
4. 稳定 常用判定：有限输入 ==> 有限输出
   LTI独有判定：满足$\sum |h(n)|$有限 或$H(z)$ 收敛域包含单位圆 则是稳定系统

Tips: $T[x_1(n-n_0)]$ 就是将所有的$x(n)$变为$x(n-n_0)$
$y(n-n_0)$ 就是将所有的$n$ 变为 $n-n_0$

LTI(Linear Time-invarient)系统 线性时不变系统
性质：
存在冲激响应$h(n)$，系统函数$H(z)$

$$y(n)=T[x(n)]=h(n)\ast x(n)$$

输入为$\delta (n)$冲激序列时，输出为$h(n)$冲激响应

DTFT

1.定义：
正变换：

$$X(e^{jw})=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(n)e^{-jwn}$$

反变换：

$$X(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{jw})e^{jwn}dw$$

Z变换

1.定义：
正变换：

$$H(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}h(n)z^{-n}z\mathrm{为}\mathrm{复}\mathrm{数}$$

收敛域：$|z|<\mathrm{或}>\mathrm{固}\mathrm{定}\mathrm{值}$

第三章 离散傅里叶变换

DFS

正变换：

$$\tilde{X}(k)=DFS[\tilde{x}(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}\tilde{x}(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$

反变换：

$$\tilde{x}(n)=IDFS[\tilde{X}(k)]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$

DFT

正变换：

$$X(k)=DFT[x(n)]=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$

反变换：

$$x(n)=IDFT[X(k)]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$

圆周卷积

N点圆周卷积：

$$y(n)=x_1(n)\text{textcircled}L{x}_2(n)$$

计算方法：
1.先算线性卷积 2.再剪断，补充相加

第四章 DFT应用

重叠相加法与重叠保留法

直接上例题：
序列x(n)={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}0，h(n)={1,2,-1}0，请利用重叠相加法计算x(n)和h(n)的线性卷积结果。

$x(n)$长度为10,$h(n)$长度为3,可把$x(n)$按照$N=4$进行分段,

$$\{\begin{array}{l}{x}_0(n)=\{1,2,3,4{\}}_0\\ x_1(n)=\{5,6,7,8{\}}_4\\ x_2(n)=\{9,10,0,0{\}}_8& \end{array}$$

计算各段线性卷积结果，

$$\{\begin{array}{l}{y}_0(n)=\{1,4,6,8,5,-4{\}}_0\\ y_1(n)=\{5,16,14,16,9,-8{\}}_4\\ y_2(n)=\{9,28,11,-10,0,0{\}}_8\end{array}$$

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这是一个分割线~

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请利用重叠保留法重新计算。

把$x(n)$按照$N=6$进行分段，前后数据段重叠长度为$M-1=2$，并且在第1段数据前补2个零值，

$$\{\begin{array}{l}{x}_0(n)=\{0,0,1,2,3,4{\}}_{-2}\\ x_1(n)=\{3,4,5,6,7,8{\}}_2\\ x_2(n)=\{7,8,9,10,0,0{\}}_6\end{array}$$

计算各段圆周卷积结果

$$\{\begin{array}{l}{y}_0(n)=\{5,-4,1,4,6,8{\}}_{-2}\\ y_1(n)=\{12,2,10,12,14,16{\}}_2\\ y_2(n)=\{7,22,18,20,11,-10{\}}_6& \end{array}$$

第五章 FFT

DIT-FFT

DIF-FFT

第六章 IIR数字滤波器的设计

脉冲响应不变法求解系统函数

两个重要结论：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& H_a(s)=\frac{A}{s+s_0}⟹H(z)=\frac{AT}{1-e^{-s_{0}T}{z}^{-1}}\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& H_a(s)=\frac{A}{(s+s_0{)}^n}⟹H(z)=\frac{A{T}^n{s}^{-s_{0}T}{z}^{-1}}{(1-e^{-s_{0}T}{z}^{-1}{)}^n}(n>=2)\end{array}$$

双线性变换法求解系统函数

记住变换公式即可：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& H(z)=H_a(s){|}_{s=\frac{T}{2}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{array}$$

第七章 FIR数字滤波器的设计

线性相位

第一类线性相位： $\theta (\omega )=-\tau \omega$
第二类线性相位： $\theta (\omega )=-\tau \omega +\beta$

四类线性相位FIR数字滤波器特点

滤波器类型、幅度函数和相位函数

类型	h(n)	N	低通	高通	带通	带阻
第1类	偶	奇	√	√	√	√
第2类	偶	偶	√	×	√	×
第3类	奇	奇	×	×	√	×
第4类	奇	偶	×	√	√	×

窗函数设计法

1. 根据具体需求，确定FIR数字滤波器技术指标；
2. 根据阻带最小衰减，确定窗函数类型；
3. 根据过渡带宽，确定窗函数长度；
4. 确定窗函数$w(n)$和理想滤波器$h_{ideal}(n)$；
5. 计算实际滤波器单位脉冲响应$h(n)=h_{ideal}(n)·w(n)$;
6. 验证实际滤波器是否满足设计指标。

频率采样设计法

1：对理想滤波器的频率响应等间隔采样，

$$H_{ideal}(k)=H_{ideal}(e^{j\omega }){|}_{\omega =\frac{2\pi }{N}k}$$

2：将采样值作为实际FIR滤波器频率响应样本值。

$$H_{ideal}(k)=H(k)=H(e^{j\omega }){|}_{\omega =\frac{2\pi }{N}k}$$

3：对H(k)进行IDFT，将得到的N点h(n)作为实际FIR滤波 器的单位脉冲响应，

$$h(n)=IDFT[H(k)]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}H(k)e^{j\frac{2\pi }{N}nk}$$