第四章 矩阵分解

核心导读： 矩阵分解的本质，是把一个难处理的线性变换拆成若干结构简单的步骤。本章围绕秩、消元、正交化、奇异值和特征向量，系统整理满秩分解、LU分解、QR分解、SVD与谱分解，并说明它们各自解决什么问题、怎样计算、如何验算。

一、满秩分解

若且，则存在

使得

其中列满秩，行满秩。这称为的满秩分解。

计算方法

1. 对只做初等行变换，得到行最简形。
2. 找出的主元列位置。
3. 从原矩阵取对应列，组成

4. 取的非零行组成。

💡 通俗理解

是一套“独立原材料”，记录原矩阵每一列如何用这些材料配出来。负责列空间的方向，负责组合系数。

⭐ 核心考点

若主元列不是前列也没关系，必须从原矩阵中抽取对应列组成，不能从行化简后的矩阵中抽。

⚡ 避坑指南

满秩分解不唯一。换一组列空间的基，就会得到不同的；只要且两因子分别列满秩、行满秩即可。

二、LU分解

LU分解把方阵写成

其中为下三角矩阵，为上三角矩阵。

若高斯消元无需换行，可把每一步消元矩阵相乘为，使

于是

故。

示例

设

解答

消元可得

从而。

💡 通俗理解

是把方程组消元后的结果；像一份“操作回放”，记录每次用上一行消掉下一行时用了多少倍。

⭐ 核心考点

若消元需要换行，标准形式通常是

其中为置换矩阵。不要忽略换行操作。

⚡ 避坑指南

里的消元乘子符号常被写反。最稳的方法是直接验证，而不是只相信消元草稿。

三、QR分解与UR分解

若列满秩且，则存在

其中满足

为可逆上三角矩阵。若为可逆方阵，讲义中也把同类分解写作，此时为酉矩阵。

计算步骤

设：

1. 对列向量做Gram-Schmidt正交化；
2. 单位化得到；
3. 令；
4. 利用

求。

其中

且时。

💡 通俗理解

把原来斜着、长度不一的列方向整理成互相垂直的单位方向；记录怎样用这些正交方向重新拼回原列。

⭐ 核心考点

若要求对角元为正，则列满秩矩阵的约化QR分解唯一。改变某列相位时，对应行也必须同步改变。

⚡ 避坑指南

矩形一般只有，却未必有。后者是投影矩阵；只有方阵酉矩阵才两边都等于单位阵。

四、奇异值分解

对任意，都存在酉矩阵，使

其中

并且

称为奇异值，满足

计算主线

一种常用路线是：

1. 求的非负特征值与标准正交特征向量；
2. 令；
3. 对正奇异值，计算

4. 分别补齐的标准正交基；
5. 按同一奇异值顺序拼成。

也可从先求，此时

💡 通俗理解

SVD把拆成三步：先旋转输入，沿互相垂直的方向拉伸或压缩，再旋转输出。任意矩阵都可以这样理解，哪怕它不是方阵、不可逆、不能对角化。

⭐ 核心考点

SVD立即给出：

⚡ 避坑指南

矩形矩阵的奇异值不是的特征值开方，而是或的特征值开方。两者非零特征值相同，但零特征值个数可能不同。

一个简洁示例

设

解答

则

特征值为，所以唯一正奇异值为

可取

补齐标准正交基即可得到完整SVD。

五、谱分解

1. 正规矩阵的谱分解

若正规，则存在酉矩阵

使

展开为

矩阵

是到相应特征方向的正交投影。

2. 可对角化矩阵的双正交分解

若，令的列为右特征向量，的第行为，则

并满足

💡 通俗理解

谱分解是在说：矩阵作用可以拆成“先投影到某个特征方向，再乘对应特征值”，最后把所有方向的结果相加。

⚡ 避坑指南

只有正规矩阵才能写成且标准正交。一般可对角化矩阵需要左右特征向量，不能把擅自换成。

六、原讲义考题集汇

例1：满秩分解（秩为）

设

求满秩分解。

解答

行最简形的主元列为第列，因此取

直接相乘可验。

例2：满秩分解不唯一

设

求两种满秩分解。

解答

。选第列可取

选第列也可取

二者均满足。

例3：UR分解

设

求。

解答

对列向量做Gram-Schmidt，可取

由得

例4：矩形矩阵的QR分解

设

求约化QR分解。

解答

可取

检查且。

例5：秩一矩阵的SVD

设

求一个完整SVD。

解答

唯一正奇异值为。可取

于是。

例6：复矩形矩阵的SVD

设

求SVD。

解答

，所以奇异值为。取

因为，故。

例7：反Hermite矩阵的谱分解

设

验证正规并写出谱分解。

解答

，故正规。其特征值为。可取标准正交特征向量

所以

例8：一般可对角化矩阵的双正交谱分解

设

已知可对角化，求谱分解。

解答

特征值为。取右特征向量矩阵

则

令，并令的第行为，则

七、五种分解怎么选

分解	适用对象	主要工具	核心用途
	任意秩为的矩阵	行化简、主元列	揭示秩与列空间
	方阵	高斯消元	快速解方程、求行列式
	列满秩矩阵	正交化	最小二乘、数值稳定计算
	任意矩阵	或	伪逆、低秩逼近、范数
	正规矩阵	特征值与正交特征向量	函数计算、投影分解

⭐ 核心考点

看到题干关键词即可选路：

• “主元列、秩”想到满秩分解；
• “消元、三角”想到LU；
• “列正交”想到QR；
• “任意矩阵、奇异值”想到SVD；
• “正规、特征投影”想到谱分解。

⚡ 避坑指南

灵魂拷问：SVD里的与是否一定由的特征向量组成？不是。来自，来自；只有特殊方阵情形才可能与本身的特征向量重合。