第四章 矩阵分解

核心导读： 矩阵分解的本质，是把一个难处理的线性变换拆成若干结构简单的步骤。本章围绕秩、消元、正交化、奇异值和特征向量，系统整理满秩分解、LU分解、QR分解、SVD与谱分解，并说明它们各自解决什么问题、怎样计算、如何验算。

一、满秩分解

若且，则存在

使得

其中列满秩，行满秩。这称为的满秩分解。

计算方法

1. 对只做初等行变换，得到行最简形。
2. 找出的主元列位置。
3. 从原矩阵取对应列，组成

4. 取的非零行组成。

💡 通俗理解

是一套“独立原材料”，记录原矩阵每一列如何用这些材料配出来。负责列空间的方向，负责组合系数。

⭐ 核心考点

若主元列不是前列也没关系，必须从原矩阵 中抽取对应列组成，不能从行化简后的矩阵中抽。

⚡ 避坑指南

满秩分解不唯一。换一组列空间的基，就会得到不同的；只要且两因子分别列满秩、行满秩即可。

二、LU分解

LU分解把方阵写成

其中为下三角矩阵，为上三角矩阵。

若高斯消元无需换行，可把每一步消元矩阵相乘为，使

于是

故。

示例

设

解答

LU分解本质上就是记录高斯消元时使用的乘子。

从

开始消元。

第一步：消去第一列下方元素

第二行减去第一行的倍：

第三行加上第一行：

得到

这里两个消元乘子分别为

注意第三步写作，所以虽然实际操作是“加第一行”，记录在中的乘子仍是。

第二步：消去第二列下方元素

得到上三角矩阵

这一轮的消元乘子为。

第三步：组成

把三个消元乘子放在单位下三角矩阵的相应位置：

因此

直接相乘：第一行是，第二行是，第三行是，恰好恢复原矩阵。

💡 通俗理解

是把方程组消元后的结果；像一份“操作回放”，记录每次用上一行消掉下一行时用了多少倍。

⭐ 核心考点

若消元需要换行，标准形式通常是

其中为置换矩阵。不要忽略换行操作。

⚡ 避坑指南

里的消元乘子符号常被写反。最稳的方法是直接验证，而不是只相信消元草稿。

三、QR分解与UR分解

若列满秩且，则存在

其中满足

为可逆上三角矩阵。若为可逆方阵，讲义中也把同类分解写作，此时为酉矩阵。

计算步骤

设：

1. 对列向量做Gram-Schmidt正交化；
2. 单位化得到；
3. 令；
4. 利用

求。

其中

且时。

💡 通俗理解

把原来斜着、长度不一的列方向整理成互相垂直的单位方向；记录怎样用这些正交方向重新拼回原列。

⭐ 核心考点

若要求对角元为正，则列满秩矩阵的约化QR分解唯一。改变某列相位时，对应行也必须同步改变。

⚡ 避坑指南

矩形一般只有，却未必有。后者是投影矩阵；只有方阵酉矩阵才两边都等于单位阵。

四、奇异值分解

对任意，都存在酉矩阵，使

其中

并且

称为奇异值，满足

计算主线

一种常用路线是：

1. 求的非负特征值与标准正交特征向量；
2. 令；
3. 对正奇异值，计算

4. 分别补齐的标准正交基；
5. 按同一奇异值顺序拼成。

也可从先求，此时

💡 通俗理解

SVD把拆成三步：先旋转输入，沿互相垂直的方向拉伸或压缩，再旋转输出。任意矩阵都可以这样理解，哪怕它不是方阵、不可逆、不能对角化。

⭐ 核心考点

SVD立即给出：

⚡ 避坑指南

矩形矩阵的奇异值不是的特征值开方，而是或的特征值开方。两者非零特征值相同，但零特征值个数可能不同。

一个简洁示例

设

解答

这是一个秩为的矩阵，用它可以快速理解SVD的主线。

先计算

特征多项式为

所以特征值为。奇异值是非负特征值的平方根，因此唯一正奇异值为

对应于特征值，可取单位左奇异向量

由

得到

这时已经有秩一紧SVD：

若题目要求完整SVD，还需分别在和中补齐标准正交基；本章后面的例5会完整展示补基过程和的写法。

五、谱分解

1. 正规矩阵的谱分解

若正规，则存在酉矩阵

使

展开为

矩阵

是到相应特征方向的正交投影。

2. 可对角化矩阵的双正交分解

若，令的列为右特征向量，的第行为，则

并满足

💡 通俗理解

谱分解是在说：矩阵作用可以拆成“先投影到某个特征方向，再乘对应特征值”，最后把所有方向的结果相加。

⚡ 避坑指南

只有正规矩阵才能写成且标准正交。一般可对角化矩阵需要左右特征向量，不能把擅自换成。

六、考题集汇

例1：满秩分解（秩为）

设

求满秩分解。

解答

满秩分解要求列满秩、行满秩，并且二者的中间维数等于。

第一步：行化简并确定秩

只对做初等行变换，得到行最简形

有三个非零行，所以

主元位于第列，因此原矩阵的第列构成列空间的一组基。

第二步：构造

从原矩阵中取主元列：

这三列线性无关，所以列满秩。

第三步：构造

行最简形中的三个非零行直接组成

前三列为，因此行满秩。

还可以逐列理解：其第列给出的第列用的三列线性表示时的系数。例如

因此全部五列同时写成矩阵形式就是

尺寸也吻合：为，为，乘积为。

例2：满秩分解不唯一

设

求两种满秩分解。

解答

第一步：确定秩与第一组主元列

对行化简：

有两个非零行，所以；主元列是第列。取原矩阵对应列组成

将行最简形的两个非零行作为系数矩阵：

例如第列满足，第列满足

这些系数正是相应的列。因此

第二步：改选另一组列空间基

满秩分解不唯一。第列也线性无关，所以可改取

由于，有。把每一列改用表示，得到

例如

与的第列一致。故

两种分解中，均为列满秩矩阵，均为行满秩矩阵。

例3：UR分解（原讲义本节例1）

设

求。

解答

把的三列记为

对它们做Gram-Schmidt正交化。

第一列

所以

第二列

因为，

单位化得

第三列

这里

代入可得

于是

列向量标准正交，所以。由，左乘得

故

例4：矩形矩阵的QR分解（原讲义本节例2）

设

求约化QR分解。

解答

把三列记为

第一列

第二列

所以

第三列

计算两个投影系数：

代入并整理：

其长度为，故

将三个单位正交向量按列排列：

约化QR分解中为，满足。再算

最终

把相乘可逐列恢复原矩阵，这也是最直接的验算。

例5：秩一矩阵的SVD（原讲义本节例1）

设

求一个完整SVD。

解答

第一步：求奇异值和左奇异向量

其特征值为，所以唯一的正奇异值为

对应于特征值与，可分别取单位特征向量

因此

第二步：求第一个右奇异向量

对正奇异值使用

于是

第三步：补齐零奇异值对应的右奇异向量

由方程给出，是二维空间。可在其中取一组标准正交向量

于是

第四步：写出完整SVD

、，并且

因此

例6：复矩形矩阵的SVD（原讲义本节例2）

设

求SVD。

解答

第一步：求奇异值

其特征值为，所以正奇异值为

第二步：求左奇异向量

已经是对角矩阵，对应的标准正交特征向量就是标准基。因此可取

即。

第三步：求右奇异向量

由：

对于，

给出。

对于，要求

由于的第二列为，取

时，。因此

第四步：写出SVD

于是

故

例7：反Hermite矩阵的谱分解（原讲义本节例1）

设

验证正规并写出谱分解。

解答

第一步：验证正规性

逐项取共轭转置可得

所以是反Hermite矩阵。于是

故正规，可以酉对角化并进行正交谱分解。

第二步：求特征值

所以

它们均为纯虚数，符合反Hermite矩阵的性质。

第三步：求标准正交特征向量

对，解得到二维特征空间。在其中做Gram-Schmidt，可取

对，可取单位特征向量

可以直接检查

并且

令，则

第四步：展开谱分解

由，

其中每个都是到相应特征方向的正交投影。

例8：一般可对角化矩阵的双正交谱分解（原讲义本节例2）

设

已知可对角化，求谱分解。

解答

本题矩阵不是正规矩阵，所以不能直接使用。应使用右特征向量与左特征向量构成的双正交谱分解。

第一步：求特征值

所以特征值为。

第二步：求右特征向量

当时，解，可取两个线性无关的特征向量

当时，可取

将它们按列排列：

，所以三个特征向量构成一组基，可对角化，并有

第三步：求与右特征向量双正交的左向量

计算

把的第行记作，即

由可知

第四步：展开对角化公式

按列乘行展开，得到

前三项分别对应三个特征方向；由于矩阵不正规，左向量一般不等于右向量。

七、五种分解怎么选

分解	适用对象	主要工具	核心用途
	任意秩为的矩阵	行化简、主元列	揭示秩与列空间
	方阵	高斯消元	快速解方程、求行列式
	列满秩矩阵	正交化	最小二乘、数值稳定计算
	任意矩阵	或	伪逆、低秩逼近、范数
	正规矩阵	特征值与正交特征向量	函数计算、投影分解

⭐ 核心考点

看到题干关键词即可选路：

• “主元列、秩”想到满秩分解；
• “消元、三角”想到LU；
• “列正交”想到QR；
• “任意矩阵、奇异值”想到SVD；
• “正规、特征投影”想到谱分解。

⚡ 避坑指南

灵魂拷问：SVD里的与是否一定由的特征向量组成？不是。来自，来自；只有特殊方阵情形才可能与本身的特征向量重合。