线性代数（上）：行列式与矩阵

本文由完整线性代数笔记按知识主线重构而成。公式采用 MathJax3 语法，长推导与答案默认折叠，原始图片保留在对应知识点附近。

上册：行列式与矩阵 ｜ 中册：相似理论与二次型 ｜ 下册：向量组与方程组

本册定位

从行列式计算进入矩阵运算，再以矩阵幂和秩建立后续理论所需的工具链。

学习主线
行列式 → 矩阵运算与可逆性 → 矩阵幂与秩
使用建议
先阅读每章摘要与思维导图，再掌握核心结论，最后展开例题答案和证明细节。

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行列式

本章摘要： 从排列定义出发，掌握代数余子式、初等变换、特殊结构、分块与抽象行列式。

本章思维导图

行列式
只对方阵定义，结果是一个数；交换两行会变号。
矩阵
可以是长方阵，表示线性变换；初等变换改变矩阵本身。

核心结论/高频考点

具体行列式优先遵循“找结构 → 做零 → 选零最多的行列展开”。抽象行列式优先使用、与。

避坑指南/易混淆点

交换两行要变号，某行乘会使行列式乘；只有“某行的倍加到另一行”才保持行列式不变。

行列式的定义

定义：所有取自不同行，不同列元素乘积的代数和

注：
指的是的逆序数
【例】
指的是全排列

代数余子式

核心关系： 的计算不包含本身；同一行（列）的元素与另一行（列）的对应代数余子式乘积之和为。

余子式求和

1.余子式求和
转化为代数余子式求和
角标和奇数添负号，偶不变

2.具体代数余子式求和
把所求行换成系数
构造新行列式

3.与各行/列元素之和结合
（1）设出来
若给各行元素之和，把每一列都加到第一列，提数字再利用展开定理给各列元素之和
（2）乘1列向量，再求伴随特征值，写出伴随定义

4.求所有代数余子式之和
（1）求伴随矩阵（即求行列式和逆）
把伴随矩阵的所有元素加起来
（2）求四次各行元素代数余子式之和

三阶行列式的对角线法则

与二阶行列式相似，正对角线加，反对角线减

具体行列式的计算

1.做零展开
做零：将行列式某行（某列）的k倍加到其他行（列）行列式的值不变
展开：将行列式按行或按列展开

2.利用行列式的性质化成特殊行列式计算
（1）行列式的性质
① 行列式转置后，行列式的值不变，即
② 某行（列）有公因数k，则将k提到行列式的外面
③ 两行成两列互换，行列式变号
④ 将行列式某行（某列）的k倍加到其他行（列）行列式的值不变
⑤ 某行（某列）所有元素都是两个数的和，可将其拆成两个行列式。

展开查看：拆分示例

（2）特殊行列式
① 上（下）三角行列式的值等于它的主对角线元素乘积

② 副对角线的上（下）三角行列式的值等于它的负对角线元素乘积乘以

【记忆】23阶添负号，45阶不变号

③ 范德蒙德行列式

例：计算。

展开查看：解题过程

3.每行（列）和相等，每列（行）都加到第1列（行），提k做1消0。

展开查看：示例推导

4.爪形行列式
方法：用中爪干掉一个边爪，用上（下）三角行列式去做。

例如，计算。

展开查看：解题过程

5.利用分块矩阵计算行列式（拉普拉斯）

例：计算。

展开查看：解题过程

6.三线形行列式

有相同的结论：

7.三线形行列式的变形

8.ab形行列式

展开查看：ab 形行列式证明

证明：

9.叉形行列式

通俗理解

叉形行列式仍按行（列）展开：利用零元素锁定非零排列，再拆成低阶行列式，并记录行列交换符号。图中两个结果可写为

以及

展开查看：原始叉形行列式手写图

抽象行列式的计算

行列式的公式：
①
②
③
④
⑤
⑥ 特征值乘积
⑦
⑧ 正交矩阵的行列式为

行列式重要结论

A为n阶矩阵，如果有k阶子式行列式的值不为0，则说明

矩阵运算与可逆性

本章摘要： 统一整理矩阵乘法、转置、逆、伴随、分块、初等矩阵与矩阵方程。

本章思维导图

转置
，不要求矩阵可逆。
逆矩阵
，前提是相关方阵均可逆。
伴随矩阵
；若可逆，则。

通俗理解

矩阵乘法可看成“左矩阵依次作用于右矩阵的每一列”。因此解时，可以分别解，再把列解拼成。

矩阵的运算

相关矩阵运算参考资料]

方阵满足乘法交换律的条件

乘法交换律即：

（1） 与可交换
（2） A的两个多项式可交换
（3） 对角矩阵和对角矩阵可交换
（4） A与kE可交换

例如：

注：若A与B可交换，则关于AB的运算和数的运算是一样的
例如：

逆运算

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

转置运算

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

幂运算

1、

2、

3、

4、

5、

6、

伴随运算

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

转置、逆、伴随、k次幂可交换

分块矩阵

分块矩阵的运算

（1）
（2）
（3）
（4）拉普拉斯

注：

分块矩阵结论

(1)

---

(2)

对角矩阵

初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

口诀：左行右列

初等矩阵的指令

（1）交换行列
（2）乘k倍加到行列上
（3）行列乘以k倍

作用在矩阵上的口诀：左行右列

广义初等变换(分块矩阵)

【例 2.7】（2018 数一二三）设 A B为n阶矩阵 表示分块矩阵，则【】

(A)

(B)

(C)

(D)

展开查看：解题过程

(A) 可以将第一块列右乘后加到第二块列上，故

(B) 无法用对应的初等列变换消去，故错误。

(C) 一般只有

(D) 转置后应为纵向分块矩阵，原等式不成立。因此选 A。

代数余子式

余子式：

代数余子式：

---

【例2.9】(2023，数一)设n阶矩阵A,B,C满足ABC=O，记矩阵，，的秩分别为r₁,r₂,r₃，则【 】

---

设,,均为阶矩阵，则是的列向量可由的列向量线性表示的

(A) 必要非充分条件

(B) 充分非必要条件

(C) 充分必要条件

(D) 既非充分又非必要条件

展开查看：解题过程

**必要性：**若的列向量可由的列向量线性表示，则存在矩阵使，于是

故。

**非充分性：**令，，。此时秩等式成立，但的列向量不能由的列向量线性表示，故选 A。

矩阵乘法

向量角度计算矩阵乘法

手写图可完整转写为：

若，则。

展开查看：原始矩阵乘法手写图

伴随矩阵

定义：

性质：
（1）
（2） →
（3）
（4）

伴随矩阵的秩

二阶矩阵的伴随

二阶矩阵的伴随： （口诀：正对调，副取反）

---

---

例题：矩阵的伴随矩阵,则

展开查看：解题过程

令 则，

元素之和

各行元素之和：

各列元素之和：

逆矩阵

可逆的定义

定义：若n阶方阵,满足
则称，

结论1：n阶方阵, ⇔
证明：，所以均可逆且，从而。

结论2:若n阶方阵，满足或
→

可逆六充要

阶矩阵 可逆

的列（或行）向量组线性无关

齐次线性方程组 只有零解

非齐次线性方程组 有唯一解

的特征值均不为零

**速记：**秩满可逆不为0 无关唯一只零解

常规求逆

二阶矩阵的逆

常用伴随矩阵计算：

参考这个口诀快速计算

三阶矩阵求逆

【机械三阶求逆法】

示例矩阵为

展开查看：机械求逆步骤

第一步：先将前两列往第三列后面抄

第二步：再将前两行往第三行后面抄

第三步：划掉第一行和第一列

第四步：竖算横抄得伴随（算：如第一个数为）

第五步：伴随转逆

初等矩阵的逆

初等矩阵均可逆，且它的逆矩阵是同类型的初等矩阵
（1）交换矩阵的两行（列）形成的初等阵，逆矩阵是它本身
（2）某一行（列）乘以k倍形成的初等阵，逆矩阵是该行（列）乘以倍形成的初等阵
（3）矩阵某一行（列）的k倍加到另外一行（列）形成的初等阵，逆矩阵是该行（列）的倍，加到另外一行（列）形成的初等阵

对角矩阵的逆

分块矩阵的逆

前提：

对称矩阵与反对称矩阵定义

设 为 阶矩阵，若 ，则称 为对称矩阵。若 ，则称 为反对称矩阵。

**评注：**任意 阶矩阵均可分解为对称矩阵与反对称矩阵的和。

解矩阵方程

解矩阵方程

取逆

（1）求
（2）求

由（1）可得，
由（2）可得，

---

(2014, 数一、二、三)设.

(I) 求线性方程组的一个基础解系;

(II) 求满足的所有矩阵.

展开查看：解题过程

先作行变换：

(I)
基础解系：

(II)

---

已知 是常数，且矩阵 可经初等列变换化为矩阵 B

(I)求

(II)求满足的可逆矩阵

展开查看：解题过程

解 (Ⅰ) 由于矩阵A可经初等列变换化为矩阵B, 故矩阵方程AX=B有解. 于是, r(A)=r(A,B).
对(A,B)作初等行变换.

当且仅当a=2时, r(A)=r(A,B)=2.
或者, 由矩阵A可经初等列变换化为矩阵B可知, A的列秩等于B的列秩, 从而r(A)=r(B). 同上面的计算可知r(A)=2, 当且仅当a=2时, r(A)=r(B).
因此。

当时，的一个基础解向量为。逐列求解得

所以时，可逆且满足。

展开查看：原始分步解答截图

待定系数法

令代入方程组

分块矩阵法(重要)

（1）将按列分块

（2）解三个非齐方程组

（同时求3个非齐方程组通解）
（3）将拼成

矩阵幂与秩

本章摘要： 以低秩、幂零、分块和相似对角化计算矩阵幂，并用非零子式、阶梯形与秩不等式刻画矩阵。

本章思维导图

直接找规律
适合等低阶关系。
二项式展开
适合且幂零的情形。
相似对角化
若，则。

避坑指南/易混淆点

寻找原列向量组的极大无关组时，应根据行变换后主元所在的原列编号回到原矩阵取列。

矩阵的次方

找规律

方法：求一下找规律

例：已知 ,求

展开查看：解题过程

列乘行矩阵（秩为1）

列乘行是一个矩阵，行乘列是一个数

列乘行矩阵特征：
（1）
（2）秩为1
（3）各行/各列成比例，如：

列乘行矩阵性质：

注：
① 列乘行矩阵 ⇔ 矩阵秩为1 ⇔ 矩阵各行/列成比例
② 若 →
例如： →
③ 若，则。

展开查看：公式推导

因为，所以

递推可得

特殊的幂0矩阵

幂0矩阵的定义：存在某个幂次，再次之后全为0

矩阵对角线元素全为0，对角线一侧也全为0
例如：

求。

展开查看：计算结果

对上三角示例矩阵，逐次相乘得到

二项式定理

为幂0矩阵

二项式定理：

注：

例：,求

展开查看：解题过程

分块矩阵的n次方

相似对角化

方法： → → →

（1）

（2）找成
→ →

例题：设 ，其中 ，，则 .

展开查看：解题过程

行阶梯和行最简

（1）行阶梯形矩阵
1.零行在最后
2.主元下面全为0
3.越往下主元越靠右

（2）行最简形矩阵
1.零行在最后
2.主元上下全为0
3.越往下主元越靠后
4.主元全是1

矩阵的秩

秩的定义

（1）A有r阶子式不为0
（2）A的所有阶子式都为0

另一种描述：
秩等于最高阶非零子式阶数

求矩阵A的秩

（1） 行阶梯
（2）画梯子，非零台角的个数为A的秩

求含参矩阵A的秩

（1） 行阶梯 （注意：不允许除以含参项）
（2）画梯子，讨论：
① 先讨论台角全不为0
② 再分别讨论台角为0

矩阵的秩结论

秩不变口诀

【注意区分】左行右列是初等矩阵相乘，是讨论具体矩阵乘积。

左列右行用来讨论矩阵乘积后的秩。
左乘列满秩，秩不变。
右乘行满秩，秩不变。

乘可逆矩阵，秩不变

---

消除律

【消除律】
总结：左乘列满秩，右乘行满秩，可消去

展开查看：消除律证明

（1），若，则

是n阶矩阵且
即证：

（2），若，则

是n阶矩阵且
即证：

---

【列/行满秩】
有一个行列矩阵，列满秩说明,行满秩说明

四秩相等口诀

AB=0

展开查看：秩不等式证明

证明：如果，那么的每个列都是齐次方程组的解。设，那么方程组最多有个线性无关的解，所以：。因此，。称为元齐次线性方程组。

西尔维斯特不等式

→

---

例题设 为 的矩阵， 为 的矩阵， 为 阶矩阵，其中 ，且满足 ，给出下列四个结论：
(1)
(2)
(3)
(4)
其中正确的是 ( )
(A) (1) (3).
(B) (1) (4).
(C) (2) (3).
(D) (2) (4).

展开查看：解题过程

说明上述不等式，实则均相等

→
→

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