第一章 线性空间和线性变换

核心导读： 本章解决两个根本问题：一是怎样用“基、维数与坐标”刻画抽象线性空间，二是怎样把抽象的线性映射翻译成可以计算的矩阵。学完后，你应能熟练处理基变换、子空间的和与交、核空间，以及线性变换在不同基下的矩阵表示。

一、线性空间：什么样的集合才算“空间”

设是数域上的非空集合。若对向量加法与数乘封闭，并满足交换律、结合律、分配律、零元与负元等公理，则称为数域上的线性空间。

判断题中最实用的封闭性写法是：对任意和任意，都有

💡 通俗理解

把想成一个“向量加工车间”。从车间里任选两个向量，做加法、缩放、取反，成品仍留在车间里，这才叫封闭。比如过原点的平面是线性空间；不过原点的平面通常不是，因为它连零向量都没有。

⭐ 核心考点

判断子集是不是线性子空间，常用一条判据：

1. ；
2. 对任意及任意，有。

特别注意：任何线性空间都必须包含零向量。

⚡ 避坑指南

集合为什么不是子空间？因为齐次性被破坏：零向量不满足方程。看到非齐次约束，先检查零向量，往往一秒就能排除。

二、基、维数与坐标

1. 基的定义

设中有个向量

若它们线性无关，并且中任意向量都能由它们线性表示，则称其为的一组基。任意可唯一写成

列向量

称为在基下的坐标；基向量个数称为空间维数，记作

💡 通俗理解

基就是空间的“坐标尺”。它必须做到两点：方向不能重复，也不能遗漏空间中的方向。记住讲义里的好话——多一个太多，少一个太少。

⭐ 核心考点

• 基一定线性无关，且同一空间的基通常不唯一。
• 同一向量的几何对象不变，但换基后坐标会改变。
• 求坐标的本质：解方程。

2. 核空间

齐次线性方程组

的全部解构成的核空间，也叫零空间：

由秩-零度定理，若有列，则

⚡ 避坑指南

核空间维数等于“未知数个数减秩”，不是“方程个数减秩”。未知数个数就是系数矩阵的列数。

三、过渡矩阵与坐标变换

设与是的两组基。若

则称为由基到基的过渡矩阵。它的第列恰好是在基下的坐标。

若同一向量满足

则

💡 通俗理解

换基像“换一种语言描述同一个人”。人没变，描述他的词变了。新基用旧基表示时乘，同一向量的坐标必须反方向乘，才能抵消尺子的变化。

⭐ 核心考点

口诀：基顺着乘，坐标反着变。

若表示“新基由旧基表示”，那么坐标满足。

⚡ 避坑指南

不要凭“从到”几个字猜乘法方向。先写

再代入同一向量，方向就不会错。

四、线性子空间、生成空间、和与交

1. 生成子空间

由向量组生成的子空间为

其维数等于该向量组的秩。求基时，只需从生成向量中抽出一个极大线性无关组。

💡 通俗理解

生成空间就是“这些原料能拼出的全部成品”。若某个原料本身能由其他原料拼出，它就是冗余向量，不会增加空间维数。

2. 和空间

若

则

做法：合并生成向量，再求极大线性无关组。

3. 交空间

设公共向量，则

因此可解齐次方程

维数公式为

⭐ 核心考点

• 求和：生成向量放在一起，求秩。
• 求交：两种表示令其相等，解参数。
• 维数验算：。

⚡ 避坑指南

不能通过“把两组基里长得一样的向量挑出来”获得。两组基可能没有任何相同向量，但两个空间仍可能有非零交集。

五、线性映射与线性变换

1. 线性映射

映射若满足

则称为线性映射。若定义域和值域相同，即，则称为线性变换。

💡 通俗理解

线性映射是一台“守规矩的机器”：先把原料相加再加工，等于分别加工后相加；先把原料放大再加工，等于加工后再放大。

2. 线性映射的矩阵表示

设的基为，的基为。若

则

若，则

⭐ 核心考点

**映射基向量，坐标按列放。**矩阵第列就是在值域基下的坐标。

3. 不同基下的变换矩阵

若在旧基下的矩阵为，由旧基到新基的过渡矩阵为，则在新基下的矩阵为

这说明同一线性变换在不同基下的矩阵彼此相似。

⚡ 避坑指南

与不能混用。只要你的过渡矩阵定义为，新基下矩阵就一定是。

六、原讲义考题集汇

下面完整恢复原PDF中的九道例题。为方便博客阅读，题目直接展示，推导与答案放入折叠容器。

例1：证明矩阵向量组线性无关

证明中的矩阵

线性无关。

解答

设

则

从而，故四个矩阵线性无关。

例2：求核空间的两组基

给定

求的一组基。

解答

行化简得到

取为自由变量，则

为避免分数，可分别赋值，得到基础解系

所以第一组基为

将第二个基向量替换为，又可得到另一组基

因此

例3：矩阵在给定基下的坐标

在中，求

在基

下的坐标。

解答

令，比较四个位置的元素，得到

所以

例4：多项式空间、Taylor坐标与过渡矩阵

证明

是维线性空间；求在基

下的坐标，并求由标准幂基到该平移基的过渡矩阵。

解答

线性无关且张成，故。由Taylor公式

所以坐标为

若、，且，则当时

当时。

例如前三列分别来自、和。

例5：过渡矩阵与一般向量的坐标

在中给定两组基

求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标。

解答

由，得到

令，则，即

例6：生成子空间的基与维数

设

求的基与维数。

解答

因为

且线性无关，所以一组基为

维数为。

例7：求和空间与交空间

设

并令、。求与的基和维数。

解答

构成合并向量组的极大无关组，因此

令公共向量的两种表示相等，解得可取

故

用维数公式验算：。

例8：求导映射的矩阵

设

定义域基为，值域基为。

解答

由于

故

💡 通俗理解

第列只看定义域第个基向量被送到哪里。不要试图“一次性猜整张矩阵”，逐列计算最稳。

例9：线性变换在两组基下的坐标

线性变换把基

依次变成

求在原基下的矩阵；再求及在两组基下的坐标。

解答

把像向量用原基表示：

因此

坐标计算结果为

七、考前速记清单

1. 线性空间：加法、数乘封闭，且必须含零向量。
2. 基：线性无关且张成全空间；维数等于基向量个数。
3. 坐标：向量由基线性表示时的系数列。
4. 过渡矩阵：新基用旧基表示，坐标反向变换。
5. 生成空间维数：等于生成向量组的秩。
6. 和空间：合并生成向量；交空间：两种表示令其相等。
7. 核空间：的解空间，维数为。
8. 线性映射矩阵：映射基向量，坐标按列放。
9. 换基公式：。

⚡ 避坑指南

最后自测：同一个向量换基后，是“向量变了”还是“坐标变了”？正确答案是向量本身没变，坐标变了。若这句话不够坚定，请回看第三节。