第一章 线性空间和线性变换

核心导读： 本章解决两个根本问题：一是怎样用“基、维数与坐标”刻画抽象线性空间，二是怎样把抽象的线性映射翻译成可以计算的矩阵。学完后，你应能熟练处理基变换、子空间的和与交、核空间，以及线性变换在不同基下的矩阵表示。

一、线性空间：什么样的集合才算“空间”

设是数域上的非空集合。若对向量加法与数乘封闭，并满足交换律、结合律、分配律、零元与负元等公理，则称为数域上的线性空间。

判断题中最实用的封闭性写法是：对任意和任意，都有

💡 通俗理解

把想成一个“向量加工车间”。从车间里任选两个向量，做加法、缩放、取反，成品仍留在车间里，这才叫封闭。比如过原点的平面是线性空间；不过原点的平面通常不是，因为它连零向量都没有。

⭐ 核心考点

判断子集是不是线性子空间，常用一条判据：

1. ；
2. 对任意及任意，有。

特别注意：任何线性空间都必须包含零向量。

⚡ 避坑指南

集合为什么不是子空间？因为齐次性被破坏：零向量不满足方程。看到非齐次约束，先检查零向量，往往一秒就能排除。

二、基、维数与坐标

1. 基的定义

设中有个向量

若它们线性无关，并且中任意向量都能由它们线性表示，则称其为的一组基。任意可唯一写成

列向量

称为在基下的坐标；基向量个数称为空间维数，记作

💡 通俗理解

基就是空间的“坐标尺”。它必须做到两点：方向不能重复，也不能遗漏空间中的方向。记住讲义里的好话——多一个太多，少一个太少。

⭐ 核心考点

• 基一定线性无关，且同一空间的基通常不唯一。
• 同一向量的几何对象不变，但换基后坐标会改变。
• 求坐标的本质：解方程。

2. 核空间

齐次线性方程组

的全部解构成的核空间，也叫零空间：

由秩-零度定理，若有列，则

⚡ 避坑指南

核空间维数等于“未知数个数减秩”，不是“方程个数减秩”。未知数个数就是系数矩阵的列数。

三、过渡矩阵与坐标变换

设与是的两组基。若

则称为由基到基的过渡矩阵。它的第列恰好是在基下的坐标。

若同一向量满足

则

💡 通俗理解

换基像“换一种语言描述同一个人”。人没变，描述他的词变了。新基用旧基表示时乘，同一向量的坐标必须反方向乘，才能抵消尺子的变化。

⭐ 核心考点

口诀：基顺着乘，坐标反着变。

若表示“新基由旧基表示”，那么坐标满足。

⚡ 避坑指南

不要凭“从到”几个字猜乘法方向。先写

再代入同一向量，方向就不会错。

四、线性子空间、生成空间、和与交

1. 生成子空间

由向量组生成的子空间为

其维数等于该向量组的秩。求基时，只需从生成向量中抽出一个极大线性无关组。

💡 通俗理解

生成空间就是“这些原料能拼出的全部成品”。若某个原料本身能由其他原料拼出，它就是冗余向量，不会增加空间维数。

2. 和空间

若

则

做法：合并生成向量，再求极大线性无关组。

3. 交空间

设公共向量，则

因此可解齐次方程

维数公式为

⭐ 核心考点

• 求和：生成向量放在一起，求秩。
• 求交：两种表示令其相等，解参数。
• 维数验算：。

⚡ 避坑指南

不能通过“把两组基里长得一样的向量挑出来”获得。两组基可能没有任何相同向量，但两个空间仍可能有非零交集。

五、线性映射与线性变换

1. 线性映射

映射若满足

则称为线性映射。若定义域和值域相同，即，则称为线性变换。

💡 通俗理解

线性映射是一台“守规矩的机器”：先把原料相加再加工，等于分别加工后相加；先把原料放大再加工，等于加工后再放大。

2. 线性映射的矩阵表示

设的基为，的基为。若

则

若，则

⭐ 核心考点

映射基向量，坐标按列放。 矩阵第列就是在值域基下的坐标。

3. 不同基下的变换矩阵

若在旧基下的矩阵为，由旧基到新基的过渡矩阵为，则在新基下的矩阵为

这说明同一线性变换在不同基下的矩阵彼此相似。

⚡ 避坑指南

与不能混用。只要你的过渡矩阵定义为，新基下矩阵就一定是。

六、考题集汇

例1：证明矩阵向量组线性无关

证明中的矩阵

线性无关。

解答

要证明一组向量线性无关，标准做法是：先假设它们的一个线性组合等于零，再证明所有系数只能为零。

设

把四个矩阵代入左端：

因此原等式等价于

两个矩阵相等意味着对应位置的元素分别相等，所以

也就是说，使线性组合等于零矩阵的系数只有全零解。故线性无关。

例2：求核空间的两组基

给定

求的两组基。

解答

核空间的定义是

所以本题就是求齐次方程组的基础解系。令

先对做初等行变换：

其中主元变量是，自由变量是。对应方程为

所以

把自由变量记为，通解可写为

为了避免分数，把第一个向量乘以。于是可取

它们都满足，并且显然不成比例，所以线性无关。因此第一组基为

基不是唯一的。保留，再把第二个向量换成

便得到另一组基

从到只是做了可逆的线性组合，因此两组向量张成同一个空间。最终

例3：矩阵在给定基下的坐标

在中，求

在基

下的坐标。

解答

设。要求在这组基下的坐标，就是寻找系数，使

把右端逐项相加：

与

比较对应元素，得到方程组

由第二式减第三式得；第二式减第四式得。继续代回可解得

因此

故在基下的坐标为

最后把直接相加，确实得到，答案与题目对应无误。

例4：多项式空间、Taylor坐标与过渡矩阵

证明

是维线性空间；求在基

下的坐标，并求由标准幂基到该平移基的过渡矩阵。

解答

本题分三问处理。

（1）证明空间维数为

先证明线性无关。设

对所有恒成立。多项式恒等于零，当且仅当每个次数的系数都为零，因此

所以这个多项式线性无关。

另一方面，任意都具有形式

因此都能由线性表示。这组多项式既线性无关又张成整个空间，所以是一组基，故

（2）求在平移基下的坐标

记

由于的次数不超过，它在处的Taylor展开没有余项：

直接读取每个基向量前的系数，得到

（3）求过渡矩阵

令标准幂基为

按照本讲义的约定，若，则的第列就是在标准幂基下的坐标。由二项式公式

令，便得到

而时。因此是上三角矩阵，其前几列为

例如第二列来自，第三列来自，与通式一致。

例5：过渡矩阵与一般向量的坐标

在中给定两组基

求由基到基的过渡矩阵，并求在基下的坐标。

解答

本题要区分两个矩阵：过渡矩阵用来描述两组基之间的关系；坐标矩阵用来把标准坐标转换为基坐标。

（1）求过渡矩阵

记

按照求，等价于分别解

行化简，或者逐列求解，可以得到

把这四组系数依次放在列上，得到由基到基的过渡矩阵

（2）求在基下的坐标

设

由，有

计算得

所以

这里求过渡矩阵用的是，求基坐标用的是，二者不要混淆。

例6：生成子空间的基与维数

设

求的基与维数。

解答

设

先观察三个向量之间的关系：

所以可以由前两个向量线性表示，加入它不会扩大生成空间，即

还要检查是否线性无关。设

比较第一分量得到，再比较第二分量得到，所以二者线性无关。

因此的一组基为

并且

例7：求和空间与交空间

设

并令、。求与的基和维数。

解答

本题分为和空间、交空间两部分。

（1）求

根据和空间的定义，直接合并两组生成向量：

把四个向量按列排成矩阵并行化简：

主元在前三列，所以构成极大线性无关组。因此

一组基为

（2）求

设，则它在两个空间中各有一种表示：

移项后得到齐次方程

行化简可得

取以消去分母，则。因此一个非零公共向量为

所以

最后用维数公式验算：

与前面的行化简结果一致。

例8：求导映射的矩阵

设

定义域基为，值域基为。

解答

求线性映射的矩阵时，要逐个处理定义域基向量，并把每个像在值域基下的坐标依次放成列。

记定义域基与值域基分别为

逐个求导：

例如，在下的坐标是零列；的坐标是；的坐标是。

将这些坐标列按顺序排列，得到

矩阵有行、列，正好对应“值域维数、定义域维数”。

💡 通俗理解

第列只看定义域第个基向量被送到哪里。不要试图“一次性猜整张矩阵”，逐列计算最稳。

例9：线性变换在两组基下的坐标

线性变换把基

依次变成

求在原基下的矩阵；再求及在两组基下的坐标。

解答

记

本题分三问。

（1）求在原基下的矩阵

题目给出。要得到，需要把每个重新用原基表示。分别解

得到

把三组坐标依次放在列上：

（2）求和在原基下的坐标

先解

即

解得

利用线性变换的坐标公式：

若换回标准坐标，可验得

（3）求二者在像基下的坐标

解，得到

又因为把依次变为，所以线性组合的系数保持不变：

这也可通过直接验算。

七、考前速记清单

1. 线性空间：加法、数乘封闭，且必须含零向量。
2. 基：线性无关且张成全空间；维数等于基向量个数。
3. 坐标：向量由基线性表示时的系数列。
4. 过渡矩阵：新基用旧基表示，坐标反向变换。
5. 生成空间维数：等于生成向量组的秩。
6. 和空间：合并生成向量；交空间：两种表示令其相等。
7. 核空间：的解空间，维数为。
8. 线性映射矩阵：映射基向量，坐标按列放。
9. 换基公式：。

⚡ 避坑指南

最后自测：同一个向量换基后，是“向量变了”还是“坐标变了”？正确答案是向量本身没变，坐标变了。若这句话不够坚定，请回看第三节。