高等数学速成讲义（上）：函数、微分与多元分析

极限、连续、导数、中值定理、Taylor 公式与多元函数微分学。本文由原始长篇笔记重构而成，保留原题、例题与图片上下文，并按“概念 → 方法 → 易错点 → 例题”组织。

全套导航

• 上册：函数、微分与多元分析
• 中册：积分、几何与向量分析
• 下册：数列、微分方程与级数

本册总览

⭐ 核心结论/面试高频

建议先阅读每章导图与核心结论，再尝试例题；证明与长推导已折叠在 details 容器中，复习时可按需展开。

一元函数：极限、连续、导数与图像

本章摘要： 从极限与连续出发，建立导数、高阶导数和反函数求导工具，最后把导数信息转化为单调性、极值、凹凸性、拐点、值域与渐近线。

本章思维导图

💡 通俗理解

极限描述“靠近时趋向哪里”，连续表示“趋近值就是函数值”，导数描述“这一瞬间变化多快”。三者像道路的目的地、是否断路、局部坡度，层层递进但不能随意反推。

核心是，它并不自动保证可导。

⚡ 避坑指南/易混淆点

判断函数性质时先写清定义域与区间。严格单调递增不要求每一点都有；例如严格递增，但。

极限运算

1. 存在 存在 = 存在

2. 存在 不存在 = 不存在

3. 不存在 不存在 = 不一定

4. 存在 存在 = 存在

5. 存在且非零 不存在 = 不存在

6. 存在且为零 不存在 = 不一定

7. 不存在 不存在 = 不一定

连续性

常见错误

函数不连续时，

导函数不连续时，由此可知，洛必达后得不出如：的解

连续函数和差积商的连续

→
→

两类间断点

若间断点处的左、右极限都存在且有限，则称为第一类间断点；若至少一个单侧极限不存在或为无穷，则称为第二类间断点。

求间断点技巧

（1）先求定义域，并检查定义域内部的可疑点以及被挖去的点；无定义点不一定都是区间端点。
（2）按通常的双侧间断点定义，候选点的某个去心邻域内应有函数定义
例如：（原因：左邻域无定义）

（3）先化简提常数再算左右极限的值
例如：

连续判断

1. 在 上连续 → 它们的加减乘除（分母不为0）复合仍在上连续
2. 在 处连续 → 它们的加减乘除在处连续
3. 若在处连续，且在处连续，则复合函数在处连续。

导数极限定理

设在处连续，并在的某个去心邻域内可导。若存在且有限，则存在，且。

极限与导数极限关系

⚡ 避坑指南/易混淆点

仅凭存在，不能推出存在：函数可能在两侧相差一个跳跃常数。反向推断同样不成立。若额外知道在处连续，并满足上一节的去心邻域可导条件，才可推出存在。

在时，两类极限之间更没有简单的单向蕴含关系，应逐项验证条件。

---

例题
已知函数在上二阶可导，则()
(A) 若，则.
(B) 若，则.
(C) 若，则.
(D) 若，则.

🔍 展开查看：解题过程

(A) 错误。例如满足，但不趋于。

(B) →

(C)

(D) 正确。令。由极限的保号性，存在，使时。Taylor 公式给出某个，使

从而

单调与严格单调

【单调性】对于定义在上的函数 ,若对于 , 时，有,则称函数在上是单调递增(递减)的.

【严格单调】对于定义在区间上的函数，若任意满足时，均有（或），则称在上严格单调递增（或严格单调递减）。

---

例题例 1.2 若 是可导函数, 下列命题中不正确的是______.
① 若 单调递增, 则 ; ② 若 , 则 单调递增;
③ 若 严格单调递增, 则 ; ④ 若 , 则 严格单调递增.

🔍 展开查看：解题过程

③ → 原点处导数等于0

④ 令，

反函数求导

（1）
（2）

求反函数

例1

🔍 展开查看：解题过程

→ →
→ →
→

---

例2

🔍 展开查看：解题过程

因此。

高阶导数

（1）奇偶性（求导改变奇偶性）

函数

例题，求

奇函数求偶数阶导还是奇函数 →

---

（2）公式法

【公式1】

【公式2】

【公式3】

【公式4】

【公式5】

---

（3）泰勒公式

极值点

极值点的定义（极值点指的是一个点的横坐标）

函数在的某邻域有定义，如果存在一个邻域，当时，都有，则称为的一个极小值，点为的一个极小值点

极值的必要条件

函数在处取极值，且存在，则

极值的第一充分条件

（两侧一阶导是否异号）在的领域内,的左右领域变号

设函数在处连续，在点的某去心邻域内可导

(1) 若时，，时，，则是的极小值点

(2) 若时，，时，，则是的极大值点

(3) 若在和上，都（或者都），则不是的极值点

极值的第二充分条件

（本质是泰勒展开）（用和来记忆）

设函数在处二阶可导，且，，则是的极值点

当，极小值点；当，极大值点

极值的第三充分条件

（本质是泰勒展开）（不记）

设函数在处阶可导，且，

若是偶数，则是的极值点（当，极小值点；当，极大值点）

若是奇数，则不是的极值点

注：第二充分条件是第三充分条件的特殊情况

驻点

一阶导为0（平稳点）

拐点

拐点的定义（拐点指的是横纵坐标）

连续曲线上凹、凸弧的分界点称为该曲线的拐点

凹凸函数性质

函数在区间上二阶可导，则有

在上为凹函数在上在上递增

在上为凸函数在上在上递减

曲线取拐点的必要条件

若点是曲线的拐点，且存在，则

拐点的第一充分条件（两侧二阶导是否异号）

设函数在处连续，在点的某去心邻域内二阶可导

(1)若在的左右两侧异号，则点是曲线的拐点

(2)若在的左右两侧同号，则点不是曲线的拐点

拐点的第二充分条件

（本质是泰勒展开）（不记）

设函数在处三阶可导，且，，则点是曲线的拐点

拐点的第三充分条件

（本质是泰勒展开）（不记）

设函数在处阶可导，且，

若是奇数，则点是曲线的拐点

若是偶数，则点不是曲线的拐点

注：第二充分条件是第三充分条件的特殊情形

根据多项式画图（判断正负）

**口诀：**奇穿偶不穿

值域区间

【草图法求值域区间】

（1）求单调区间和极值
（2）求端点函数值（极限值）
（3）画图

例题设,则的值域区间是

🔍 展开查看：解题过程

（1）找极值点

→
→

（2）找区间端点

（3）画图确认

→

渐近线

渐近线的求法：
给出曲线

首先找竖直渐进线：
找出所有无定义点，如果，则说明在该点有垂直渐近线，即该垂直渐近线为：

然后试

若希望判断斜渐近线，不能仅由直接断定其存在；应继续检验：

，得到斜率为
，得到截距为
解得斜渐近线为：

若，若存在，则说明有水平渐近线：

解得水平渐近线为：

---

例题设 在 连续，且 ,其中 为常数，
,则时 有渐近线_______.

🔍 展开查看：解题过程

一侧有斜渐近线。

中值定理与辅助函数

本章摘要： 本章围绕“由端点或积分条件制造相等函数值，再用中值定理得到中间点”这一主线，归纳还原法、微分方程法、柯西中值法与双中值模型。

本章思维导图

⭐ 核心结论/面试高频

中值证明题的稳定流程是：识别目标导数结构 → 反向构造辅助函数 → 找到两个相等函数值 → 核验连续与可导条件 → 套用定理。

端点函数值相等，结论是某点导数为零；最适合“造零点”。

单中值问题

还原法例题

例1.1设在内可导，证明：存在，使得

🔍 展开查看：解题过程

构造函数过程：
→

尝试后发现找不到零点，考虑取指数：
得到构造函数：

答题过程：
令，有
由罗尔定理，
→
→
→

---

例1.2设在上二阶可导，，，证明：存在，使得

🔍 展开查看：解题过程

构造函数过程：
→

得到构造函数：

答题过程：
令，有
→ →

---

例1.3设函数在上具有连续导数，且，证明：
(1) 存在，使得
(2) 存在，使得

🔍 展开查看：解题过程

构造函数过程：
令，并构造。由于，罗尔定理保证存在使

这就证明了（1）。再对在上使用拉格朗日中值定理，存在使

---

例1.4设函数在[0,1]上有连续，在(0,1)内可导，且
证明：存在,使得

🔍 展开查看：解题过程

构造函数：

→

答题过程：

→

→ →

---

例1.5设，在上有二阶导数且，又
证明：存在，使得

🔍 展开查看：解题过程

构造函数：
→
注意到：

→ →

---

例1.6设，在上连续，在内可导，且，
证明：存在，使得

🔍 展开查看：解题过程

令，，并构造。由可知。罗尔定理给出某个使。又、，故，整理即得结论。

---

例1.7设在上有二阶导数且，证明：存在，使得

🔍 展开查看：解题过程

构造。由知，又。根据罗尔定理，存在使。计算得，从而。

---

微分方程法例题

例1.8设在上连续，在内可导，
证明：存在,使得

🔍 展开查看：解题过程

→
→

，，故由罗尔定理可得结论。

---

例1.9奇函数在区间[-1,1]上具有二阶导数，且,证明：
(1) 存在,使得
(2) 存在,使得

🔍 展开查看：解题过程

由为奇函数可知。在上应用拉格朗日中值定理，存在使

又因为偶函数，所以。令，则。由罗尔定理，存在使

故。

---

例1.10设在[0,1]上具有二阶导数，且
求证：存在,使得

🔍 展开查看：解题过程

由拉格朗日中值定理，存在使。构造

则。由罗尔定理，存在使。而

故。

---

例1.11设在上连续，在内可导，，且，证明 ：
1）存在，使得；
2）在内存在一点，使得。

🔍 展开查看：解题过程

令。由题设

积分中值定理保证存在使，即。

再构造。由于且，故。由罗尔定理，存在使。计算得

因此。

---

例1.12设函数在上连续，在内可导，且，，证明
1)存在，使得
2)存在，使得

🔍 展开查看：解题过程

(1)
→

(2)
由的结构，可取辅助函数。

---

设函数在区间[0,1]上具有二阶导数，且
证明：存在,使得

🔍 展开查看：解题过程

→ →

中值定理关于theta的问题

中值定理中关于的问题

问题出现：

（1）积分中值定理

（2）Lagrange中值定理

（3）Taylor中值定理（Lagrange型余项）

---

**原则：**能解出来就解出来，解不出来就用中值定理

---

例题1（能解出来的），求

🔍 展开查看：解题过程

→

---

**例题2（解不出来）**设二阶导连续可导，且, 又，则________.

🔍 展开查看：解题过程

在处展开：

→

---

例题3设在内二阶连续可导且
证明：
（1）对于内的任意，存在唯一的，使得成立
（2）

🔍 展开查看：解题过程

（1）
不妨设
在

（再证唯一）（反证法）
假设不唯一，即至少存在2个

→

又因为严格单调，矛盾

综上所述，对于内的任意，存在唯一的，使得成立

（2）

重要定理

(介值性) 若函数 在闭区间上连续， 与 为闭区间上 的最小值
和最大值，则对于,至少存在一点使得

(零点存在定理) 若函数在闭区间上连续，且与异号，至少存在一点使得。

(平均值定理) 若函数 在闭区间上连续，对于至少存在一点,使得：

(费马引理) 可导函数的极值点是驻点.

(罗尔定理) 若函数在上连续，上可导，且,则 , .

(拉格朗日中值定理) 若函数在上连续，上可导，则

(柯西中值定理) 若与在上连续、在内可导，且，则存在使

(积分中值定理) 若在上连续，则存在（也可取在内）使

(积分第一中值定理) 若与在上连续且不变号，则存在使

重要例题

单中值的罗尔定理问题

例7.1 设在[0,3]上连续，(0,3)上可导，,.证明存在

🔍 展开查看：解题过程

关键步骤：
在取,为最小值、最大值
→
由介值定理，存在使。因为，在上应用罗尔定理，便得到某个使。

---

例 7.2 设 在 上连续， 上二阶可导，，证明:
(1) 存在 ，；
(2) 存在 ，。

🔍 展开查看：解题过程

关键步骤：
由积分中值定理，存在使

故，这证明了（1）。另一方面，，所以介于与之间；由介值定理，存在使。于是。分别在和上使用罗尔定理，可得两个不同的一阶导数零点；再对使用罗尔定理，即得某个满足。

---

例7.3 设与在上连续，上二阶可导，且二者在存在相等的最大值，,,证明：
(1) 存在;
(2)存在

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
不妨设为最大值且
当时，
当时，
设
有

→

→

---

例7.4 设在上二阶可导，,,证明存在

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
不妨设
→
→

由零点存在定理，

→

---

例7.5 设在可导，,,证明：
(1)存在 ;
(2)对于(1)中的,存在

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
（无穷极限表达）

找

介值定理， f(a) = 1

拉中，

以辅助函数为核心的单中值问题

1. 四则运算引出的辅助函数，主要为乘除法，若设问形式明显可以拆解为 或 ，则应构造为 或 .

例7.6 设 与 在 上连续， 上可导，，，证明存在 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

F(a) = F(b) = 0
罗尔定理，

---

例7.7 设函数在[1,2]上可导，证明存在使得

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

由柯西中值定理：

解得：

---

例7.8 设函数在[0,1]上二阶可导，且,证明：
(1)方程 在(0,1)内至少存在一个实根；
(2)方程 在(0,1)内至少存在两个不同实根

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
（极限的保号性）
→

零点存在定理, 有实根

有两个零点 有三个相等根

→

,由罗尔定理，

三个零点, 两次罗尔定理，

---

2. 若形式不便拆解为四则运算，考虑将其拆解为,构造的辅助函数应为,因为此时有 充要于特别地，若中值形式为,辅助函数为

例7.9 设奇函数在[-1,1]上二阶可导，,证明：
(1)存在使得 ;
(2)存在使得

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
拉中，

；又因为偶函数，，所以

---

例 7.10 设 在 上连续， 上可导，，，证明至少存在一点 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

→
→ →

---

例7.11 设在上二阶可导且，证明至少存在一点使。

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
将目标式改写为，可直接构造。

→
罗尔定理, →

罗尔定理,

---

例 7.12 设 在 [0,1] 上二阶可导且 ，，证明至少存在一点 使得

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

拉中， →

罗尔定理，

---

利用柯西中值定理的单中值问题

柯西中值定理是较为冷门的考点，证明题中容易被忽略.中值定理的证明通常是在某个区间 上进行的，若问题中出现了端点 或 相关的其他形式则要考虑构造柯西中值定理的形式. 柯西中值定理的难点在于形式较为隐蔽，需要找到隐藏的零点，格外留意变限积分的上下限相等，或ln1等没有在问题中给出的零点，要补充上之后形式才会明显.

例7.13 设在上连续，上可导，,证明存在使得

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
⇔
⇔
观察到两组拉中形式

由柯西中值定理，

---

例7.14 已知，证明：
(1) 存在
(2)存在 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

柯西中值定理，

双中值的组合模型

（形式一致但不等的双中值问题）
如果问题中出现两个中值形式一模一样，且特意强调了二者不等，那么应该在两个不交的区间分段用拉格朗日.因为拉格朗日只能保证中值点存在，而无法确定位置，若使用的区间有重叠则无法保证二者不等.两区间的分段点通常会在第一问中给出提示，一定要积极联系前几小间.

例 7.15 设 在 上连续， 上可导，，，证明：
(1) 存在 使得 ；
(2) 证明 上存在不相等的 ， 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

由零点存在定理，

由拉格朗日中值定理，
由拉格朗日中值定理，

---

例 7.16 设 在 上连续， 上可导，，，证明：
(1) 存在 使得 ；
(2) 证明 上存在不相等的 ， 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

存在零点

---

例 7.17 设 在 上连续， 上可导，，，证明存在 ， 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

得证：

---

例7.18 设在[0,1]上连续，(0,1)上可导，,,证明(0,1)上存在不相等的,使得

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

由拉格朗日中值定理，
由拉格朗日中值定理，

得证：

---

（形式不一致的双中值问题）
如果问题中出现两个中值形式不一致，则必有形式的简单和复杂之分，简单中值往往通过拉格朗日中值定理得出，复杂的中值则需要构造柯西中值定理的形式.

例 7.19 设 在 上连续， 上可导，证明存在 满足：
(1) 若 ，；
(2) 若 ，；
(3) 若 ，；
(4) 若 ，，。

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
（1）

（2）

（3）

（4）

---

例 7.20 设 在 上连续， 上可导，，若极限 存在，证明：
(1) 在 内有 ；
(2) ，使得 ；
(3) 且 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

→

柯西中值定理，

化简：

若上述等式成立，由（2）可知：

由拉格朗日中值定理，

---

例7.21 设在[1,2]上连续，(1,2)上可导，且导数不为0，证明(1,2)内存在 , , 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

最复杂的拎出来用柯西，单独的导数用拉格朗日，剩下的就是第三个中值，为固定常数

重要步骤：
化简：

柯西中值定理，

拉格朗日中值定理，

，故。

泰勒公式与展开技巧

本章摘要： 用多项式逼近函数，并围绕余项控制，组织定点展开、动点展开、辅助多项式与常数值法。

本章思维导图

关注时的局部等价关系，适合极限与局部性质分析。

⚡ 避坑指南/易混淆点

展开前先确认函数具有所需阶数的导数；使用 Lagrange 余项时，还要核验展开点与代入点之间区间上的高阶可导条件。

泰勒公式

(泰勒公式)
带皮亚诺型余项的泰勒公式：
若 在 处有 阶导数，则有：

带拉格朗日型余项的泰勒公式：
若在上有阶导数，在上有阶导数，则对任意的,至少存在一点使得：

重要例题

泰勒展开证明等式/不等式问题

相较于中值定理，泰勒展开的证明题并没有太多套路化的流程，难度会更大，但在考研真题中出现的泰勒展开问题还是有迹可循的.

（特殊定点展开）
考研范围内的题目，通常需要我们在某一特殊定点展开，这个特殊点按照“导数零点(极值点)一中点一端点”的顺序选取，导数零点展开为了形式简洁，中点和端点展开是为了相消方便. 在展开前可以对出现哪些项进行预判，如果出现无法处理和放缩的项，应考虑换种方式展开.展开后代入的通常按照“函数已知点——中点一端点”进行选取，当然也会有将视作动点的情况.

例 7.22 设在 上二阶可导，且 ,证明 使得

🔍 展开查看：解题过程

看到有驻点信息，在驻点展开

重要步骤：

令

---

例 7.23 设 在 上连续， 上二阶可导，，，证明。

🔍 展开查看：解题过程

令、。因为具有 Darboux 性且，所以在内不变号。分别将与在处作二阶泰勒展开：

两式相加可得。由于两个二阶导数同号且绝对值都不小于，故

于是。

---

例 7.24 设 在 上有三阶连续导数, , , , 证明 , .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

解得：

---

例 7.25 设 在区间 上具有二阶导数，且 ，，，证明：
(1) 使得 ;
(2) 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
积分中值定理，

罗尔定理，

反证：

有矛盾

故

---

例 7.26 设 二阶可导，且 ，，证明：
(1) 当 时，有 ；
(2) 。

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

---

（动点展开）
在定点展开中最后的问题落脚于某几个具体点的性质，若问题侧重于函数的整体性质时，如证明某阶导数的界，考虑动点展开，而代入定点.还有另一个明显的特征，是用高阶导的性质反推低阶导的性质(如导数有界推函数有界),这类问题在考研中几乎不出现，视情况掌握即可.

---

例 7.27 设 在 连续， 可导，且 ，，试证明对 都有 。

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
判断出该题为动点展开，给出需要设出原函数

重新梳理条件：

---

例 7.28 设 在 上二阶可导， , ,证明 ,

🔍 展开查看：解题过程

构造中点：展开，代入

重要步骤：

。取（时结论显然），右端达到最小值，故。

---

例 7.29 设在 上二阶可导，,,证明 ,

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

取（时结论显然），即可使上界最小，得到。

---

辅助多项式法

辅助多项式法适用于类似例 7. 25 的题型，给定某些点的函数值或其它数值， 要证明存在某点使得相比传统的泰勒展开，辅助多项式的运算和书写更为简便，旨在找到一个次(考虑 次)多项式,使其满足函数所满足的一切性质，构造辅助函数,由多项式的构造方法可知由多个零点或驻点，反复利用罗尔定理即得.掌握这样的方法会使此类题目变得简单很多.

---

例 7.30 设 在 连续， 上二阶可导，，，，证明存在 ，

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
令
解得：

令 →

→

---

例 7.31（使用辅助多项式法）设在上二阶可导，、且，证明：
(1) 存在使；
(2) 存在使。

🔍 展开查看：解题过程

由积分中值定理，存在使。在上应用罗尔定理，即得某个满足。

对（2），取并令。此时且。积分中值定理给出使。于是有三个零点，连续两次使用罗尔定理可得某个满足，故。

---

例 7.32 （使用辅助多项式法）设 在 上有三阶连续导数，，，，证明 ，。

条件不够，补条件
推不出三阶导
补条件：
→ →

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
令

解得：

---

例 7.33 设 在区间 上二阶可导， 且有 ，证
明 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
令

→

---

例 7.34 设在上具有连续导数，，，证明存在使。

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
令

得到两个条件： →
但是，是否重合？不能确定

这时候应该需要去找原函数

→ →

---

例 7.35 设 在闭区间 上三阶可导且 , , 证明: 使得 .

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：
三阶导等于0,构造二次多项式

三阶导需要三个一阶导 → 补充条件：
满足：
解得：

积分中值定理，

常数 K 值法

常数 K 值法用于解决一些需要多次泰勒或放缩的问题，其使用条件是最后的问题可化为 ，即一侧为中值（高阶）导，另一侧为只含有区间端点 和 的函数，我们将 记作常数 ，构造辅助函数时将 中的 动起来设为自变量，且在两端同乘来消掉各项分母，这样做的目的与辅助多项式类似，人为构造更多的零点。通过研究辅助函数在区间端点处的函数值与各阶导数来多次利用罗尔定理即可证明。

尽管证明拉格朗日中值定理很容易且方法众多，但我们可利用该定理作为例子演示 K 值法，要证 ，记 ， 动起来变为 ，辅助函数即为 ，显然 ，由罗尔定理知 ，代入即得 。

---

例7.36 设在上二阶可导，证明存在使得

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

有

有

找不到零点，并且代入得不到结果

往回看，一阶导
，得证！

---

例 7.37 设 在 上三阶可导, 证明存在 使得

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

已经三阶导，并且找不到零点，开始代入，找结果
，得证！

---

例 7.38 设在（）上有二阶连续导数，证明存在使

🔍 展开查看：解题过程

重要步骤：

找不到零点，且达到了二阶导，所以开始代入找结果

化简得：

得证：

多元函数微分学

本章摘要： 区分二重极限、连续、偏导存在、可微与偏导连续，并进一步研究全微分、方向导数和有约束最值。

本章思维导图

只检查沿坐标轴方向的变化，信息有限。

⚡ 避坑指南/易混淆点

“偏导数存在”不能推出连续或可微；二元极限也不能直接使用一元函数的洛必达法则。判断二重极限不存在时，应寻找两条给出不同极限值的趋近路径。

极限存在、连续性、可导性、可微性

在处
① 极限存在：

② 连续性：

③ 可导性：

求的偏导可以先将代入，看的极限存不存在（化为一元极限）

④ 可微性：

（1）

（2）

（3）

（4）

结论1（设为非负整数）：

（1） 在点 处连续

（2） 在点 处可微

结论2：若在点处连续，且

（1）
（2）
（3）在可微，且
（4）曲面在点处的切平面为

总结：

注：图中的“连续可偏导”应理解为一阶偏导数在该点连续。

二重极限计算

1. 直接代入计算

2. 等价代换(如：)

3. 化简：拆项、提项、同乘、同除
   但洛必达不可用（二元不可洛必达）

4. 夹逼定理（加绝对值后放缩）

（1）

⇔

（2）

并且

5. 换元（普通换元/极坐标换元）

6. 用结论
   （1）
   

（2）极坐标
令 →

① 若沿两个固定角度得到不同的极限值，则原极限不存在；
② 表达式含并不必然意味着极限不存在，还要判断该依赖是否被趋零因子一致控制。

偏导数

偏导数连续判断条件

例：

二阶偏导定义

（先代后导）求

二阶混合偏导数结论

二阶混合偏导数连续必相等，不连续就不一定相等

反例：

全微分

定义：

相关练习可结合本章“方向导数”部分理解。

极值点与驻点

驻点定义：

结论：

1. 极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点
   反例1：
   反例2：

2. 偏导数存在的极值点一定是驻点

二元函数相除极值点判断结论

给出 且 ，判断点(0,0)是否是的极值点

当时，若点(0,0)是的极小(大)值点，点(0,0)是的极小(大)值点

当时，若点(0,0)是的极小(大)值点，点(0,0)是的极大(小)值点

若点(0,0)不是的极值点，则点(0,0)也不是的极值点

闭区域最值

方法：边界+内部，分别求，再比较

求找偏导为以及不存在的点，求出函数值

边界（条件极值/条件最值成边界最值）
（1）Lagrange乘数法
（2）将条件代入目标函数（降维）
（3）极坐标（条件与圆或椭圆有关）
（4）不等式（柯西、均值）（一边是常数）

注：
（1）内部的可疑点，若不在内部，删点
（2）若内部没有可疑点，则在边界上的最值，即为所求最值
（3）若可疑点只有一个，随便找一个点作比较
（4）用Lagrange乘数法时，若目标函数不好求导，应等价转化
例如：例 , ,
（5）边界曲线不封闭，讨论端点
（6）均值不等式
算术平均值：
几何平均值：
平方平均值： （最大）

（7）柯西不等式（离散型）
乘积和的平方 平方和的乘积

相关例题见下方“柯西不等式解边界上的最值”。

柯西不等式解边界上的最值

例1：求 在条件下的最值

🔍 展开查看：解题过程

当时，

---

例2：求在条件时的最大值和最小值

🔍 展开查看：解题过程

当时,

---

结论：条件和目标函数：一个是乘积和，一个是平方和，则考虑使用柯西不等式

附录：特殊值法与常用函数

本节摘要： 用常见函数的取值、连续性、有界性和可导性快速判断题目中的特殊情形。

函数分类地图

常用特殊函数

1. 常值与符号函数：、、；
2. 代数函数：、、、、；
3. 三角函数：、、、；
4. 对数与指数：、。

研究函数时依次检查连续性、可导性、导数连续性和有界性。

⚡ 避坑指南/易混淆点

该函数在处连续且可导，但导数在处不连续；而有界，导数却无界。