线性代数（中）：相似理论与二次型

本文由完整线性代数笔记按知识主线重构而成。公式采用 MathJax3 语法，长推导与答案默认折叠，原始图片保留在对应知识点附近。

上册：行列式与矩阵 ｜ 中册：相似理论与二次型 ｜ 下册：向量组与方程组

本册定位

围绕特征值与不变量，建立相似对角化、正交对角化和二次型标准化的统一视角。

学习主线
等价与相似 → 特征理论 → 实对称与正交 → 二次型与合同
使用建议
先阅读每章摘要与思维导图，再掌握核心结论，最后展开例题答案和证明细节。

---

矩阵等价、相似与特征理论

本章摘要： 区分等价、相似与可对角化，利用特征值、特征向量、秩与迹研究谱结构。

本章思维导图

等价
，完全分类量是秩。
相似
，表示同一线性变换在不同基下的矩阵。
合同
，保持正、负惯性指数。

核心结论/高频考点

的几何重数为。矩阵可对角化，当且仅当每个特征值的几何重数都等于代数重数。

矩阵等价

矩阵A与B等价的充要条件

⇔ A可经过有限次的初等变换化为B（可行列混用）
⇔
⇔
⇔

矩阵A与B行等价的充要条件

⇔ A可经过有限次的初等行变换化为B
⇔
⇔

矩阵A与B列等价的充要条件

⇔ A可经过有限次的初等列变换化为B
⇔
⇔

矩阵相似

矩阵相似的性质

（1） 只有方阵，才谈相似

（2）对于阶方阵，若存在可逆矩阵使，则称与相似，记作

（3）若，则
①

与共用

→
→
→

→

→
②

（4）若A可逆，则

证明：

（5）若，则

（6）相似关系不保持对称性，所以实对称矩阵可能与非对称矩阵相似。

（7）相似关系保持可对角化性，因此可对角化矩阵与不可对角化矩阵一定不相似。

**注意：**已知与均可相似对角化且时，可利用共同的相似标准形求。

展开查看：构造过程

若

则

因此取，即有。矩阵也可通过分块矩阵的列变换求得：

注意：
已知A,B均不可相似对角化，且，求可逆阵P，使得

（待定系数法）令，利用求各列。

展开查看：示例推导

设

取、，并令。由得

故。可取

于是

判断A与B是否相似

（1）用性质排除

（2）

例题
下列矩阵中, 与矩阵 相似的为( )

(A) . .
. .

展开查看：解题过程

题干和选项的特征值均为三重k特征值，且均

三阶不可相似对角化矩阵可考虑第三种判断方法：
题干：（A）
逐项计算可知，只有（A）满足秩条件。

矩阵相似对角阵结论

，即
有结论：
（1）主对角线元素为A的全部特征值
（2）P的各列向量为A的n个无关的特征向量且顺序与相同，一定成立

展开查看：相似对角化公式证明

证明：
→ ，对P按列分块
→
→
→

矩阵可相似对角化条件

（1）充要条件
⇔ A恰有n个线性无关的特征向量
⇔ 对于A的每个k重特征值，都有k个无关特征向量
⇔ 对于A的每个k重特征值，

证明：k重特征值基础解系有k个无关解向量 → →

（2）充分条件
← A有个互不相同的特征值
← A是实对称矩阵
← 存在多项式使，且中的两两不同

（3）必要条件
→ 在可对角化前提下，等于的非零特征值个数（按重数计）

注：一般非零特征值的个数

常用结论：
① 幂零矩阵可相似对角化 ⇔ A = 0
注：幂零矩阵的特征值全为0

② 若A的特征值只有k(n重)，A可相似对角化 ⇔ A = kE

③ 秩为1矩阵可相似对角化 ⇔

---

例题设三阶矩阵有特征值,且A不能相似于对角阵,则=( ).

A. 3
B. 4
C. 6
D. 7

展开查看：解题过程

答案：.
解：不能相似于对角矩阵,,又,,则.

---

例题下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是

展开查看：判定过程

• A 的特征值互异，可对角化；
• B 为实对称矩阵，可正交对角化；
• C 中，特征值的几何重数为，可对角化；
• D 中，特征值的几何重数仅为，不可对角化。

故答案为 D。

展开查看：原始手写判定图

---

(2017,数一、二、三)设,则

(A)与相似，与相似

(C)与不相似， 与相似

(B)与 相似， 与 不相似

(D)与不相似， 与不相似

---

例题下列矩阵中，与矩阵相似的为

(A) (B) (C) (D)

矩阵A和A伴随秩的关系

（1）只能等于（三种情况）
（2）

矩阵的特征值和特征向量

两条特征值重要结论

（1）特征值乘积 = 行列式值

（2）特征值之和 = 迹

（3）如果主对角线上的元素，所在行或所在列的其他元素值为0，则该值为矩阵的一个特征值

求解矩阵的特征值

注：利用 解特征值时，利用某一行（列）的k倍加到其他行（列），把某行/列消出一个0，另外的元素有公因式（转圈）

秩一矩阵的特征值

（1）秩为1的矩阵，特征值为

注：
① 列乘行矩阵 ⇔ 秩为1矩阵 ⇔ 各行各列成比例
② ，则

回看秩一矩阵解矩阵n次方

上三角矩阵的特征值

上三角矩阵的特征值为对角线元素

特征值重要结论

注：从左往右随便推，从右往左只有标箭头的三个并满足括号内容才可以回推

特征向量的定义

每一个特征值都对应着一个特征向量

抽象矩阵求特征值和特征向量

（1）
不可逆 → → 为A的一个特征值
→ 为A的一个特征值
齐次方程组有非0解 → → 为A的一个特征值

（2）A的各行元素之和为a，则A有一个特征值a，对应特征向量

（3）是的基础解系
→ →
对应特征向量为：

（4）若 →
→A有特征值k，对应特征向量B的非0列

（5） / n阶矩阵A不可逆 / A的列向量组线性相关 / → A有特征值0

（6） → （A的所有特征值一定满足，但所有满足的不一定都是A的特征值）

（7）特征值重数 对应的无关特征向量的个数

实对称矩阵与正交矩阵

本章摘要： 利用谱定理研究实对称矩阵，并通过正交矩阵保持内积、长度和夹角。

本章思维导图

通俗理解

正交变换只做旋转或镜像，不改变长度与夹角；正交对角化相当于把坐标轴旋转到相互正交的主方向。

实对称矩阵

定义：

实对称矩阵的性质

（1）不同特征值对应特征向量正交
（2）必能相似对角化，且
注：只有对称矩阵才能通过正交矩阵相似对角化
（3）k重特征值恰有k个无关的特征向量
（4）非0特征值个数等于矩阵的秩
（5）适用谱分解定理
（6）也为实对称矩阵
（7）任意矩阵，一定是实对称矩阵

实对称矩阵的结论

有3阶实对称矩阵A，特征值为，对应特征向量为
问：和正交的向量，一定是对应的特征向量吗？

答：不一定。

例如：3阶实对称矩阵A，特征值为

---

有3阶实对称矩阵A，特征值为，对应特征向量为
问：和正交的向量，一定是对应的特征向量吗？

答：一定。

---

总结：若只剩下一个特征值（不管几重），求特征向量，与其他特征向量正交的向量，一定全是这个特征值的特征向量。

定理1：n阶实对称矩阵A的特征值，为对应的特征向量，有，与正交，则一定是对应的特征向量

定理2：3阶实对称矩阵A的特征值，分别是对应的特征向量，有与均正交，则一定是对应的特征向量。

注：求与两个向量均正交的向量，可以用叉乘计算：

定理3：3阶实对称矩阵A的特征值，分别是对应的特征向量，有与均正交，则一定是对应的特征向量。

---

例题设矩阵 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第一列为 ，求

正交矩阵

正交矩阵定义：满足 (或者)的矩阵称之为正交矩阵

正交矩阵的性质
性质一：设 是正交矩阵，则 或-1
性质二：设是正交矩阵，则也是正交矩阵，且
性质三：两个正交矩阵的乘积依旧是正交矩阵
性质四： 是正交矩阵 的各列 (行)都是单位向量且两两正交
性质五：正交变换不改变向量之间的内积、向量的模长
设 是正交矩阵，则且
性质六： 是正交矩阵，若有实数特征值，则这个实数特征值只能是-1 或1
注：正交矩阵不一定有实数特征值，比如没有实数特征值

性质七：关于及是否为零？(即判断-1和1是否是特征值)
设 是正交矩阵且,则-1必是特征值(1995年考察过)
设 是偶数阶正交矩阵且,则-1和1都是特征值
设 是奇数阶正交矩阵且,则1必是特征值设 是奇数阶正交矩阵则-1和1必有一个是特征值
性质八：设 是正交矩阵，若有特征值-1和1，则-1和1对应的特征向量正交

是正交矩阵且
是正交矩阵且 (2013 考察过)
是正交矩阵且
是正交矩阵且

二次型与合同

本章摘要： 将二次型写成，通过配方法、正交或合同变换化为标准形，并用惯性指数判断正定性。

本章思维导图

配方法
运算直观，可直接得到可逆线性变换。
正交变换
标准形系数就是实对称矩阵的特征值。
合同变换
行列配对变换并记录，得到。

避坑指南/易混淆点

正定二次型的正惯性指数是，Sylvester判据要求各阶顺序主子式均大于。

二次型

二次型的定义 含有 n 个变量 x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n} 的二次齐次函数 (每一项都是二次)

称为 n 元二次型，记作 ，其中 为实对称矩阵，称 A 为二次型的矩阵，称 A 的秩为二次型的秩，记作 .

**评注：**二次型与实对称矩阵一一对应，二次型的矩阵 A 的主对角线元素为平方项的系数，其余元素 为交叉项系数的一半.

可逆线性变换定义

可逆线性变换的定义 关系式

即 ，其中

称为由变量 到 的线性变换。若 为可逆矩阵，则称 为可逆线性变换。

标准型

标准型是指只含有平方项的二次型
即: 标准形

标准型结论

（1）二次型经正交变换为标准形，其特征值不变（常用结论）

求标准形

例题：

拉格朗日配方法

(以三元二次型为例)

(1) 若二次型含有平方项, 不妨设含有 , 先将含有 的项配方, 再将含有 的项配方, 换元得标准形 及所用的可逆线性变换 ;

**总结：**第一个括号把配干净，第二个括号把配干净，第三个括号把配干净

(2) 若二次型不含平方项，可先作可逆换元制造平方项，再按(1)配方。

展开查看：拉格朗日配方法示例

对

配方得

令

则标准形与规范形分别为

正交变换法三大步

(1) 求二次型的矩阵 的 个特征值 ;

(2) 求 的 个线性无关的特征向量 ;

(3) 将不同特征值的特征向量分别 Schmidt 正交化, 得 , 得到正交矩阵 .

经过正交变换 ，二次型化为标准形。

展开查看：正交变换法示例

对

有

故标准形与规范形分别为

合同变换法求标准形

合同变换其实就是行列合作共同进行初等变换
一步合同变换：

使用合同变换将A化简成对角阵：

原理：

令
有：
又因为：
得到：

展开查看：合同变换计算示例

继续作配对的行、列变换：

规范形

规范形的定义 若标准形的系数为1，-1或 0,即 ,称为二次型的规范形.

标准形的正的改成1，负的改成-1，0还是0

正定

正定的定义

设二次型，如果对，都有，则为正定二次型

注：若正定，则当且仅当；只要，就有。
例：

正定的充要条件

⇔
⇔ 的标准形，系数全大于0 （等于0也不行）
⇔ A的所有特征值都大于0
⇔ A的正惯性指数等于
⇔ A与E合同
⇔ A的各阶顺序主子式全大于0 （常用）

正定的必要条件

→ A是实对称矩阵
→ A的主对角线元素全大于0（等于0也不行）
→ （等于0也不行）
→ A可逆
→ A中最大的数，一定在主对角线上

正定的常用结论

（1）A正定 → 全正定，当且不全为0时，也正定

总结：已知具体二次型正定，问参数的范围
（1）配方法化成标准型 → 系数全正
（2）A的特征值全正
（3）A的各界顺序主子式全正（取交集）（常用）

惯性

惯性指数

惯性指数：
标准形中
正平方项的个数称为正惯性指数
负平方项的个数称为负惯性指数
或二次型矩阵的正特征值的个数称为正惯性指数
负特征值的个数称为负惯性指数

惯性定理

惯性定理：
二次型的标准形是不唯一的，但标准形中正平方项的个数和负平方项的个数是唯一的，
即经可逆线性变换，二次型的秩，正、负惯性指数，正定性都不变

**注意：**可逆线性变换可以理解为可逆换元：（其中C可逆）

例题
二次型的正惯性指数 . 则
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

展开查看：解题过程

二次型矩阵为

由得

正惯性指数为要求恰有一个正特征值，因此

即。

题面勘误

按题面给出的特征值，该范围与四个选项均不完全一致；原题选项可能漏印端点。

二次型与曲面关系

对三元二次型的规范形，曲面由惯性指数决定：

	无意义	两个平面	椭圆柱面	椭球面
	无意义	双曲柱面	单叶双曲面	不可能
	无意义	双叶双曲面	不可能	不可能
	无意义	不可能	不可能	不可能

展开查看：原始曲面分类图

合同

合同的来源（可逆线性变换）

（A，B合同）（A可经合同变换到B）

什么叫合同变换

【类比】A与B等价 ⇔ A可经有限次初等变换到B
A与B合同
⇔ A可经有限次合同变换到B
→ A与B等价

回顾

合同总结

（1）实对称矩阵A与B合同的条件
⇔
⇔ 和有相同的正负惯性指数
⇔ A与B有相同的正负特征值的个数
→
→ 与合同，和合同，与合同

实对称矩阵A与B相似 → A与B合同

（2）A与B等价，相似，合同的关系
相似 合同 → 等价

注：合同变换保持对称性，因此对称矩阵与非对称矩阵一定不合同；是否相似需另行判断。

---

← 上一册：线性代数（上）：行列式与矩阵 ｜ 下一册：线性代数（下）：向量组与线性方程组 →