第三章 酉变换与Hermite矩阵

核心导读： 本章把实数域中的转置、正交矩阵和实对称矩阵推广到复数域，建立“共轭转置—酉矩阵—Hermite矩阵—正规矩阵”这一条主线。核心目标是理解哪些复矩阵可以酉对角化，以及怎样利用特征值判断Hermite二次型的正定性。

一、共轭转置

对，先逐元素取共轭，再转置，所得矩阵称为共轭转置：

例如

常用性质：

💡 通俗理解

转置只负责“横竖互换”，共轭转置还要把换成。在复数域里，若只转置不共轭，长度与夹角就无法保持，所以才是的真正复数版。

⚡ 避坑指南

标量提出共轭转置时必须取共轭：，不是。当时尤其容易错。

二、复内积与酉空间

在中，常用内积为

相应范数为

它满足共轭对称性、线性或共轭线性、正定性，并有Cauchy-Schwarz不等式

以及三角不等式

⭐ 核心考点

复内积的教材约定可能在第一或第二个变量上线性。做题时先看定义。本讲义采用，因此对第一个变量共轭线性、对第二个变量线性。

三、四类重要矩阵

1. Hermite矩阵与反Hermite矩阵

若

则为Hermite矩阵；若

则为反Hermite矩阵。

常见构造：

都是Hermite矩阵，而

是反Hermite矩阵。

每个复方阵均可唯一分解为

即一个Hermite矩阵与一个反Hermite矩阵之和。

2. 正规矩阵

若

则称为正规矩阵。

Hermite矩阵、反Hermite矩阵和酉矩阵都属于正规矩阵。

3. 酉矩阵

若

则为酉矩阵，因此

的列向量构成的一组标准正交基。

💡 通俗理解

酉矩阵就是复数域中的“刚体运动”：它可以旋转、反射和改变相位，但不会改变向量长度，也不会改变内积。因此用酉矩阵换基数值上更稳定。

⭐ 核心考点

对于正规矩阵：

• 为Hermite矩阵全部特征值为实数；
• 为反Hermite矩阵全部特征值实部为；
• 为酉矩阵全部特征值模长为。

⚡ 避坑指南

“特征值全为实数”不能对任意矩阵推出Hermite。必须加上“正规”这一前提。上三角矩阵可能特征值全实，却并不Hermite。

四、Schur分解与酉对角化

1. Schur分解

任意都存在酉矩阵，使

其中为上三角矩阵，且对角线元素就是的特征值。

2. Schur不等式

设的特征值为。由Schur分解及Frobenius范数的酉不变性，

等号成立的充要条件是Schur三角矩阵的严格上三角部分为零，也就是可以酉对角化，等价地，为正规矩阵。

⭐ 核心考点

Schur不等式比较的是“特征值平方和”与“所有矩阵元素模平方和”。等号不是对所有矩阵都成立，而是恰好刻画正规矩阵。

3. 谱定理

矩阵能被酉对角化的充要条件是正规。即

其中为对角矩阵。

对于Hermite矩阵，对角元全为实数；不同特征值对应的特征向量自动正交。

💡 通俗理解

Schur分解保证任何复矩阵都至少能“整理成上三角”；若矩阵足够规整，即，三角矩阵中的非对角元素会被迫消失，于是升级成对角矩阵。

4. 酉对角化步骤

1. 求特征值；若为Hermite矩阵，特征值应全为实数。
2. 求各特征子空间的基。
3. 对重特征值对应的基做Gram-Schmidt正交化。
4. 单位化并将单位特征向量按列拼成。
5. 得到。

Gram-Schmidt公式为

再令

⚡ 避坑指南

不同特征值对应的特征向量自动正交，但同一重特征值对应的任意一组特征向量未必正交，仍需正交化。

五、Hermite二次型

Hermite二次型写作

作酉变换

若，则

这就是Hermite二次型的标准形。

💡 通俗理解

含有交叉项的二次型像一只倾斜的椭球。酉变换是在不拉伸空间的前提下转动坐标轴，把椭球摆正；摆正后每个方向只剩。

六、正定与半正定

对Hermite矩阵：

• 若任意均有，则正定；
• 若任意均有，则半正定。

1. 正定矩阵的等价条件

以下命题等价：

1. 正定；
2. 的全部特征值大于；
3. 存在可逆矩阵使；
4. 存在可逆矩阵使；
5. 存在唯一Cholesky分解

其中为对角元正的上三角矩阵。

此外，Sylvester判据给出

其中为的前阶顺序主子式。

2. 半正定矩阵的等价条件

以下命题等价：

1. 半正定；
2. 的全部特征值非负；
3. 存在矩阵使。

⭐ 核心考点

正定性在合同变换下保持：若可逆，则

但合同一般不保持特征值，只保持正、负、零惯性指数。

⚡ 避坑指南

半正定不能只检查“所有顺序主子式非负”就草率下结论；安全判据是全部特征值非负，或所有主子式非负。不要把正定的Sylvester判据机械照搬到半正定。

七、加权内积题型

若为正定Hermite矩阵，可定义

它满足内积公理，并诱导范数

对应的Cauchy-Schwarz不等式是

💡 通俗理解

普通内积用同一把尺子测所有方向；-内积会根据给不同方向加权。只要正定，这把“变形的尺子”仍然不会把非零向量量成零长度。

八、原讲义考题集汇

例1：正定Hermite矩阵诱导内积

设为阶正定Hermite矩阵，在上定义

证明它是内积，并写出相应的Cauchy-Schwarz不等式。

解答

共轭对称性来自：

线性与可加性由矩阵乘法的线性直接得到；正定性来自

故这是内积，且

例2：实对称矩阵的正交对角化

设

求正交矩阵使为对角矩阵。

解答

特征多项式为

可取标准正交特征向量

令，则

例3：复Hermite矩阵的酉对角化

设

验证正规，并求酉矩阵使对角化。

解答

，所以是Hermite矩阵，当然也正规。其特征值为。可取

令，则

例4：Hermite二次型化标准形

设Hermite二次型的矩阵为

求酉变换把化为标准形。

解答

的特征值为。可取

于是

故标准形为

例5：Cayley变换得到反Hermite矩阵

已知为酉矩阵且可逆，证明

为反Hermite矩阵。

解答

由，

提取并利用与都是的多项式，二者可交换，得到

例6：正定矩阵与反Hermite矩阵的乘积

设正定Hermite，反Hermite。证明与的特征值实部均为。

解答

由正定，存在可逆使。注意

所以相似于。又

故反Hermite，其特征值均为纯虚数或。因此的特征值实部为。与具有相同的非零特征值；这里可逆，故二者相似，，结论同样成立。

例7：半正定矩阵的行列式不等式

设半正定Hermite且，证明

解答

的特征值且至少一个严格大于。因此

例8：证明

设半正定Hermite且，正定Hermite。证明

解答

令

则半正定且非零，故由例7有。另一方面

所以

例9：证明可逆

设正定Hermite，反Hermite。证明可逆。

解答

若，则

第一项为非负实数且在时严格为正；第二项为纯虚数，因为

实部不可能相消，所以只能有。故的核为零，因而可逆。

例10：Schur酉三角化

设

求酉矩阵使为上三角矩阵。

解答

的特征多项式为。先取特征值的单位特征向量，再补成标准正交基，并在其正交补上继续做一次二阶Schur分解。可取

直接验证，并且

九、考前速记清单

1. ，乘积共轭转置要反序。
2. Hermite：；反Hermite：；正规：。
3. 酉矩阵：，保持内积与-范数。
4. 任意复矩阵都能Schur三角化；正规矩阵才能酉对角化。
5. Hermite矩阵特征值实，不同特征值对应特征向量正交。
6. Hermite正定全部特征值正可写成。

⚡ 避坑指南

最后自测：一定正定吗？不一定，它总是半正定；只有当列满秩时，才正定。