第三章 酉变换与Hermite矩阵

核心导读： 本章把实数域中的转置、正交矩阵和实对称矩阵推广到复数域，建立“共轭转置—酉矩阵—Hermite矩阵—正规矩阵”这一条主线。核心目标是理解哪些复矩阵可以酉对角化，以及怎样利用特征值判断Hermite二次型的正定性。

一、共轭转置

对，先逐元素取共轭，再转置，所得矩阵称为共轭转置：

例如

常用性质：

💡 通俗理解

转置只负责“横竖互换”，共轭转置还要把换成。在复数域里，若只转置不共轭，长度与夹角就无法保持，所以才是的真正复数版。

⚡ 避坑指南

标量提出共轭转置时必须取共轭：，不是。当时尤其容易错。

二、复内积与酉空间

在中，常用内积为

相应范数为

它满足共轭对称性、线性或共轭线性、正定性，并有Cauchy-Schwarz不等式

以及三角不等式

⭐ 核心考点

复内积的教材约定可能在第一或第二个变量上线性。做题时先看定义。本讲义采用，因此对第一个变量共轭线性、对第二个变量线性。

三、四类重要矩阵

1. Hermite矩阵与反Hermite矩阵

若

则为Hermite矩阵；若

则为反Hermite矩阵。

常见构造：

都是Hermite矩阵，而

是反Hermite矩阵。

每个复方阵均可唯一分解为

即一个Hermite矩阵与一个反Hermite矩阵之和。

2. 正规矩阵

若

则称为正规矩阵。

Hermite矩阵、反Hermite矩阵和酉矩阵都属于正规矩阵。

3. 酉矩阵

若

则为酉矩阵，因此

的列向量构成的一组标准正交基。

💡 通俗理解

酉矩阵就是复数域中的“刚体运动”：它可以旋转、反射和改变相位，但不会改变向量长度，也不会改变内积。因此用酉矩阵换基数值上更稳定。

⭐ 核心考点

对于正规矩阵：

• 为Hermite矩阵全部特征值为实数；
• 为反Hermite矩阵全部特征值实部为；
• 为酉矩阵全部特征值模长为。

⚡ 避坑指南

“特征值全为实数”不能对任意矩阵推出Hermite。必须加上“正规”这一前提。上三角矩阵可能特征值全实，却并不Hermite。

四、Schur分解与酉对角化

1. Schur分解

任意都存在酉矩阵，使

其中为上三角矩阵，且对角线元素就是的特征值。

2. Schur不等式

设的特征值为。由Schur分解及Frobenius范数的酉不变性，

等号成立的充要条件是Schur三角矩阵的严格上三角部分为零，也就是可以酉对角化，等价地，为正规矩阵。

⭐ 核心考点

Schur不等式比较的是“特征值平方和”与“所有矩阵元素模平方和”。等号不是对所有矩阵都成立，而是恰好刻画正规矩阵。

3. 谱定理

矩阵能被酉对角化的充要条件是正规。即

其中为对角矩阵。

对于Hermite矩阵，对角元全为实数；不同特征值对应的特征向量自动正交。

💡 通俗理解

Schur分解保证任何复矩阵都至少能“整理成上三角”；若矩阵足够规整，即，三角矩阵中的非对角元素会被迫消失，于是升级成对角矩阵。

4. 酉对角化步骤

1. 求特征值；若为Hermite矩阵，特征值应全为实数。
2. 求各特征子空间的基。
3. 对重特征值对应的基做Gram-Schmidt正交化。
4. 单位化并将单位特征向量按列拼成。
5. 得到。

Gram-Schmidt公式为

再令

⚡ 避坑指南

不同特征值对应的特征向量自动正交，但同一重特征值对应的任意一组特征向量未必正交，仍需正交化。

五、Hermite二次型

Hermite二次型写作

作酉变换

若，则

这就是Hermite二次型的标准形。

💡 通俗理解

含有交叉项的二次型像一只倾斜的椭球。酉变换是在不拉伸空间的前提下转动坐标轴，把椭球摆正；摆正后每个方向只剩。

六、正定与半正定

对Hermite矩阵：

• 若任意均有，则正定；
• 若任意均有，则半正定。

1. 正定矩阵的等价条件

以下命题等价：

1. 正定；
2. 的全部特征值大于；
3. 存在可逆矩阵使；
4. 存在可逆矩阵使；
5. 存在唯一Cholesky分解

其中为对角元正的上三角矩阵。

此外，Sylvester判据给出

其中为的前阶顺序主子式。

2. 半正定矩阵的等价条件

以下命题等价：

1. 半正定；
2. 的全部特征值非负；
3. 存在矩阵使。

⭐ 核心考点

正定性在合同变换下保持：若可逆，则

但合同一般不保持特征值，只保持正、负、零惯性指数。

⚡ 避坑指南

半正定不能只检查“所有顺序主子式非负”就草率下结论；安全判据是全部特征值非负，或所有主子式非负。不要把正定的Sylvester判据机械照搬到半正定。

七、加权内积题型

若为正定Hermite矩阵，可定义

它满足内积公理，并诱导范数

对应的Cauchy-Schwarz不等式是

💡 通俗理解

普通内积用同一把尺子测所有方向；-内积会根据给不同方向加权。只要正定，这把“变形的尺子”仍然不会把非零向量量成零长度。

八、考题集汇

例1：正定Hermite矩阵诱导内积

设为阶正定Hermite矩阵，在上定义

证明它是内积，并写出相应的Cauchy-Schwarz不等式。

解答

要证明这是复内积，需要逐条验证共轭对称性、共轭齐次性、可加性和正定性。本讲义采用“第一个变量共轭线性、第二个变量线性”的约定。

（1）共轭对称性

由于是Hermite矩阵，。注意是一个标量，因此

利用乘积共轭转置要反序，

故

（2）第一个变量的共轭齐次性

对任意，

（3）可加性

（4）正定性

因为正定，

并且等号成立当且仅当。

四条性质全部成立，所以确实是上的内积，相应范数为

在这个内积下应用Cauchy-Schwarz不等式：

平方后得到题目所需形式

例2：实对称矩阵的正交对角化

设

求正交矩阵使为对角矩阵。

解答

因为，所以是实对称矩阵，可以用正交矩阵对角化。

第一步：求特征值

计算特征多项式：

所以特征值为

第二步：分别求各特征空间

当时，解，可取特征向量

它的长度为，单位化后

当时，可取

同样，所以

当时，方程的解空间是二维的，可选基

二者已经正交，且长度均为，故

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量自动正交；同一特征值对应的也已正交。因此四个向量组成标准正交组。

第三步：组成正交矩阵

即

由列向量标准正交，。又因为，所以

例3：复Hermite矩阵的酉对角化

设

验证正规，并求酉矩阵使对角化。

解答

第一步：验证正规性

逐项取共轭再转置，可得

所以是Hermite矩阵。于是

故正规。

第二步：求特征值

因此的代数重数为，的代数重数为。

第三步：处理的特征空间

解，可先取两个线性无关的特征向量

先单位化第一个向量：

对做Gram-Schmidt正交化：

由于，

单位化得

第四步：处理

解，可取

其长度为，所以

Hermite矩阵不同特征值的特征向量自动正交，而已经过正交化，因此三者构成标准正交组。

第五步：组成酉矩阵并对角化

于是，且

例4：Hermite二次型化标准形

设Hermite二次型的矩阵为

求酉变换把化为标准形。

解答

第一步：确认Hermite性并求特征值

因为与关于主对角线共轭，故。计算

所以特征值为。

第二步：求的标准正交特征向量

解。可取

二者已经正交，单位化后

第三步：求的单位特征向量

解，可取

单位化得

第四步：组成酉变换

三个列向量标准正交，所以，并且

作变量替换，则

因此标准形为

例5：Cayley变换得到反Hermite矩阵

已知为酉矩阵且可逆，证明

为反Hermite矩阵。

解答

目标是证明。

由乘积共轭转置反序以及，

因为酉，所以。于是

因此

代回：

与都是的多项式，所以它们彼此可交换，也都与、可交换。故

所以是反Hermite矩阵。

例6：正定矩阵与反Hermite矩阵的乘积

设正定Hermite，反Hermite。证明与的特征值实部均为。

解答

因为正定Hermite，所以存在可逆矩阵，使

先研究。将代入：

对做相似变换：

所以与相似，二者有完全相同的特征值。

下面证明是反Hermite矩阵：

因为，

反Hermite矩阵的特征值都是纯虚数或。因此的全部特征值实部都为。

再研究。正定矩阵可逆，并且

所以与相似，特征值完全相同。故的全部特征值实部也为。

例7：半正定矩阵的行列式不等式

设半正定Hermite且，证明

解答

因为是Hermite矩阵，它可以酉对角化。存在酉矩阵使

半正定等价于

又因为，所以特征值不可能全为零，至少存在一个使。

的特征值为

每个因子都不小于，且至少一个严格大于，所以

故

例8：证明det(A+B)>det B

设半正定Hermite且，正定Hermite。证明

解答

因为正定Hermite，所以存在正定平方根，并且存在。

令

先说明半正定。对任意，

所以半正定。又由于可逆而，必有。由例7，

接着把分解：

因此

两边取行列式：

由于且，最终得到

例9：证明A+B可逆

设正定Hermite，反Hermite。证明可逆。

解答

证明方阵可逆，一个直接办法是证明它的齐次方程只有零解。

设

左乘，得到

因为正定，所以当时，

而且它是实数。

另一方面，因为，

一个复数若共轭等于其相反数，则其实部为，所以是纯虚数或。

现在取原等式的实部：

由正定，只能推出。因此

是方阵，核为零等价于满秩，所以

例10：Schur酉三角化

设

求酉矩阵使为上三角矩阵。

解答

Schur分解要求找酉矩阵，使成为上三角矩阵。本题矩阵为实矩阵，因此可把“酉”理解为“正交”。

第一步：求特征值和第一个单位特征向量

唯一特征值为。解，可取

第二步：先把补成标准正交基

解，即

可先取一个单位向量

再取同时与正交的单位向量

令。则，并且

左下角已经出现零；只需继续把右下角二阶块正交三角化。

第三步：对右下角二阶块做Schur分解

记

的特征值仍为。可在这个二维空间中取正交矩阵

使为上三角矩阵。把它嵌入三阶矩阵

最后令，得到

其列向量标准正交，所以。直接相乘得到

右端是上三角矩阵，且对角线正是的三个特征值，满足Schur分解要求。

九、考前速记清单

1. ，乘积共轭转置要反序。
2. Hermite：；反Hermite：；正规：。
3. 酉矩阵：，保持内积与-范数。
4. 任意复矩阵都能Schur三角化；正规矩阵才能酉对角化。
5. Hermite矩阵特征值实，不同特征值对应特征向量正交。
6. Hermite正定全部特征值正可写成。

⚡ 避坑指南

最后自测：一定正定吗？不一定，它总是半正定；只有当列满秩时，才正定。