第六章 矩阵函数

核心导读： 本章解决“怎样定义并计算”这一核心问题。普通代入会遇到无穷级数、不可对角化等障碍，因此需要最小多项式压缩次数、Jordan块处理导数信息、幂级数控制收敛。掌握后即可统一计算、、及各种矩阵级数。

一、化零多项式与最小多项式

若多项式

满足

则称为的化零多项式。

在所有首一化零多项式中，次数最低者称为的最小多项式，记为。

💡 通俗理解

最小多项式像矩阵的“最短身份证”。它给出的幂之间最短的线性关系，之后所有高次幂都能降成低次幂，所以复杂矩阵函数最终可以压缩成低次多项式。

Cayley-Hamilton定理

若的特征多项式为

则

因此是化零多项式，且

从Jordan结构求最小多项式

若的Jordan标准型中，对特征值的最大Jordan块阶数为，则

若

则

⭐ 核心考点

• 特征多项式记录每个特征值的代数重数；
• 最小多项式记录每个特征值对应的最大Jordan块阶数；
• 可对角化无重根。

最小多项式的两种求法

1. Jordan法： 求Jordan块，取各初等因子的最小公倍式。
2. 试除验证法： 先分解，逐步降低各因子指数，再代入检查是否为零矩阵。

⚡ 避坑指南

最小多项式不等于特征多项式。只有当每个特征值都恰有一个Jordan块时，两者才相同。

二、矩阵函数的Jordan表示

若

则定义

对阶Jordan块

有

展开为

💡 通俗理解

在对角矩阵上，只需作用于每个特征值；Jordan块多出的超对角线，迫使函数提供导数信息。块越大，需要的导数阶数越高。

做题步骤

1. 求及满足的；
2. 对每个Jordan块写出；
3. 拼成；
4. 计算。

⚡ 避坑指南

相似关系若写成，则，所以。不要把两侧的与颠倒。

三、矩阵函数的多项式表示

若最小多项式次数为，则对在谱上有足够阶导数的函数，存在唯一的次数小于的多项式，使

设

多项式由Hermite插值条件确定：

然后计算

💡 通俗理解

多项式表示像给函数做“定点复刻”：不仅在特征值处函数值相同，还要按Jordan块大小匹配若干阶导数。匹配完成后，这个低次多项式在矩阵上与原函数完全等效。

⭐ 核心考点

若可对角化，则所有，只需满足；若存在二阶Jordan块，还需匹配。

四、矩阵函数的幂级数表示

若

的收敛半径为，且

则

常见矩阵函数：

当时，

⭐ 核心考点

做矩阵级数求和：

1. 先把换成标量；
2. 求标量级数的和函数与收敛半径；
3. 检查；
4. 把换回，严格保留矩阵乘法顺序。

⚡ 避坑指南

标量恒等式推广到矩阵时，若涉及两个不同矩阵，通常需要。不能默认矩阵可交换。

五、常用性质

1. 指数函数

对任意方阵，总可逆，且

若，则

一般情况下该式不成立。

另外

2. 三角函数

若，则标量三角加法公式可直接推广，例如

💡 通俗理解

同一个矩阵的各个幂彼此可交换，所以关于单个的幂级数运算通常和标量很像；一旦出现两个矩阵，就必须先过“是否交换”这一关。

⚡ 避坑指南

最常见的漏条件就是。若不交换，需要更复杂的Baker-Campbell-Hausdorff展开。

六、考题集汇

例1：求四个矩阵的最小多项式

求下列矩阵的最小多项式：

解答

最小多项式必须满足两点：它是首一化零多项式；它整除特征多项式。下面对四个矩阵分别判断。

（1）矩阵

先求特征多项式：

所以最小多项式只可能是、或。计算

但

因此一次式不能化零，而二次式可以，故

这也说明最大的Jordan块阶数为。

（2）矩阵

不同特征值都必须出现在最小多项式中，因此至少含。检验得

说明特征值对应的因子只取一次不够；而

故

（3）矩阵

检验两个一次因子的乘积：

而、，所以两个因子都不能删去。于是

最小多项式无重根，因此可对角化。虽然特征值在特征多项式中出现两次，但其Jordan块均为一阶。

（4）矩阵

直接计算发现

因此

四个答案依次为

例2：利用Jordan表示计算多项式矩阵函数

设

计算。

解答

第一步：写出Jordan分解

矩阵的唯一特征值是，其Jordan标准型由一个二阶块和一个一阶块组成。可取

以及

可直接验证，所以。

第二步：计算

对二阶Jordan块

多项式函数公式为

先计算函数值：

再求导：

所以

一阶Jordan块只需代入，故

第三步：变回原矩阵

矩阵函数保持相似关系：

先算前两个矩阵：

再右乘：

也可直接计算进行验算，结果相同。

例3：统一计算、、与

设

求的Jordan表示，并计算上述四个矩阵函数。

⚡ 避坑指南

原PDF本题把Jordan型第一个特征值误排成，并在部分结果中写成。但本题矩阵第二个对角元是，且，正确特征值应为。以下已按矩阵本身校正；若把中间元素改为，才会回到第二章例4的版本。

解答

以下按题面矩阵的正确特征值计算。

第一步：确定Jordan分解

特征多项式为

特征值的几何重数为，所以它对应一个二阶Jordan块。可取

对应的变换矩阵及其逆为

可验证，故。

第二步：写出一般函数

一阶块只需要；二阶块还需要：

于是

先乘左边两项：

再右乘并整理，得到通用公式

下面只需对不同函数分别计算。

（1）计算

令，则

代入通式：

（2）计算

把视为参数，令，则

所以

令，会回到上一问的，这是一个方便的验算。

（3）计算

令，则

因此

（4）计算

令

则

代入通式：

例4：矩阵函数的多项式表示

设

求的多项式表示，并计算。

解答

第一步：求最小多项式并确定待定多项式次数

矩阵的最小多项式为

其次数为，所以总能唯一表示成次数小于的多项式：

第二步：写出Hermite插值条件

因最小多项式中的最高次数为，在处不仅要匹配函数值，还要匹配一阶导数；在处只需匹配函数值：

由

得到方程组

由第二式

代入第一式得

再代入第三式：

所以

进而

因此一般多项式表示为

其中

第三步：计算

令

则

代入系数公式：

故

计算

所以

例5：矩阵幂级数求和

仍令

求

解答

第一步：先求对应的标量幂级数

从几何级数出发：

两边对求导：

把指标改写为从开始：

令，并乘以：

所以标量级数的收敛半径为。

第二步：检查矩阵级数收敛条件

本题矩阵的唯一特征值为，所以

因此可以把标量变量替换为矩阵：

第三步：计算逆矩阵及其平方

求逆得

将该逆矩阵平方，再乘以，得到

注意表示，整个括号都要先求逆。

七、三种方法怎么选

方法	优点	适用场景
Jordan表示	结构直观，适合统一表达	已知Jordan型与
多项式表示	最终只算有限个矩阵幂	最小多项式次数较低
幂级数表示	直接处理指数、三角与矩阵级数	级数结构明显、收敛易判断

⭐ 核心考点

先看题目给了什么：给Jordan型就走Jordan法；给最小多项式就走插值法；给无穷和式就先求标量和函数。

八、考前速记清单

1. ，且可对角化当且仅当无重根。
2. Jordan块计算时要用到至。
3. 多项式表示的次数严格小于。
4. 矩阵幂级数先检查谱半径与标量收敛半径。
5. 永远可逆，。
6. 两矩阵函数的标量公式通常需要。

⚡ 避坑指南

最后自测：若两个矩阵特征值完全相同，是否一定相同？当然不一定。Jordan块大小与相似变换矩阵都会影响矩阵函数。