第六章 矩阵函数

核心导读： 本章解决“怎样定义并计算”这一核心问题。普通代入会遇到无穷级数、不可对角化等障碍，因此需要最小多项式压缩次数、Jordan块处理导数信息、幂级数控制收敛。掌握后即可统一计算、、及各种矩阵级数。

一、化零多项式与最小多项式

若多项式

满足

则称为的化零多项式。

在所有首一化零多项式中，次数最低者称为的最小多项式，记为。

💡 通俗理解

最小多项式像矩阵的“最短身份证”。它给出的幂之间最短的线性关系，之后所有高次幂都能降成低次幂，所以复杂矩阵函数最终可以压缩成低次多项式。

Cayley-Hamilton定理

若的特征多项式为

则

因此是化零多项式，且

从Jordan结构求最小多项式

若的Jordan标准型中，对特征值的最大Jordan块阶数为，则

若

则

⭐ 核心考点

• 特征多项式记录每个特征值的代数重数；
• 最小多项式记录每个特征值对应的最大Jordan块阶数；
• 可对角化无重根。

最小多项式的两种求法

1. Jordan法： 求Jordan块，取各初等因子的最小公倍式。
2. 试除验证法： 先分解，逐步降低各因子指数，再代入检查是否为零矩阵。

⚡ 避坑指南

最小多项式不等于特征多项式。只有当每个特征值都恰有一个Jordan块时，两者才相同。

二、矩阵函数的Jordan表示

若

则定义

对阶Jordan块

有

展开为

💡 通俗理解

在对角矩阵上，只需作用于每个特征值；Jordan块多出的超对角线，迫使函数提供导数信息。块越大，需要的导数阶数越高。

做题步骤

1. 求及满足的；
2. 对每个Jordan块写出；
3. 拼成；
4. 计算。

⚡ 避坑指南

相似关系若写成，则，所以。不要把两侧的与颠倒。

三、矩阵函数的多项式表示

若最小多项式次数为，则对在谱上有足够阶导数的函数，存在唯一的次数小于的多项式，使

设

多项式由Hermite插值条件确定：

然后计算

💡 通俗理解

多项式表示像给函数做“定点复刻”：不仅在特征值处函数值相同，还要按Jordan块大小匹配若干阶导数。匹配完成后，这个低次多项式在矩阵上与原函数完全等效。

⭐ 核心考点

若可对角化，则所有，只需满足；若存在二阶Jordan块，还需匹配。

四、矩阵函数的幂级数表示

若

的收敛半径为，且

则

常见矩阵函数：

当时，

⭐ 核心考点

做矩阵级数求和：

1. 先把换成标量；
2. 求标量级数的和函数与收敛半径；
3. 检查；
4. 把换回，严格保留矩阵乘法顺序。

⚡ 避坑指南

标量恒等式推广到矩阵时，若涉及两个不同矩阵，通常需要。不能默认矩阵可交换。

五、常用性质

1. 指数函数

对任意方阵，总可逆，且

若，则

一般情况下该式不成立。

另外

2. 三角函数

若，则标量三角加法公式可直接推广，例如

💡 通俗理解

同一个矩阵的各个幂彼此可交换，所以关于单个的幂级数运算通常和标量很像；一旦出现两个矩阵，就必须先过“是否交换”这一关。

⚡ 避坑指南

最常见的漏条件就是。若不交换，需要更复杂的Baker-Campbell-Hausdorff展开。

六、原讲义考题集汇

例1：求四个矩阵的最小多项式

求下列矩阵的最小多项式：

解答

根据Jordan块的最大阶数，分别得到

例如，但且，所以最小多项式只有二次。

例2：利用Jordan表示计算多项式矩阵函数

设

计算。

解答

可取

因为、，

故

例3：统一计算、、与

设

求的Jordan表示，并计算上述四个矩阵函数。

⚡ 避坑指南

原PDF本题把Jordan型第一个特征值误排成，并在部分结果中写成。但本题矩阵第二个对角元是，且，正确特征值应为。以下已按矩阵本身校正；若把中间元素改为，才会回到第二章例4的版本。

解答

可取

于是

并可化为

因此

令，则、、，所以

例4：矩阵函数的多项式表示

设

求的多项式表示，并计算。

解答

最小多项式为

设，匹配条件

得到

当时，、、，故

例5：矩阵幂级数求和

仍令

求

解答

标量恒等式为

因为，所以

七、三种方法怎么选

方法	优点	适用场景
Jordan表示	结构直观，适合统一表达	已知Jordan型与
多项式表示	最终只算有限个矩阵幂	最小多项式次数较低
幂级数表示	直接处理指数、三角与矩阵级数	级数结构明显、收敛易判断

⭐ 核心考点

先看题目给了什么：给Jordan型就走Jordan法；给最小多项式就走插值法；给无穷和式就先求标量和函数。

八、考前速记清单

1. ，且可对角化当且仅当无重根。
2. Jordan块计算时要用到至。
3. 多项式表示的次数严格小于。
4. 矩阵幂级数先检查谱半径与标量收敛半径。
5. 永远可逆，。
6. 两矩阵函数的标量公式通常需要。

⚡ 避坑指南

最后自测：若两个矩阵特征值完全相同，是否一定相同？当然不一定。Jordan块大小与相似变换矩阵都会影响矩阵函数。