线性代数（下）：向量组与线性方程组

本文由完整线性代数笔记按知识主线重构而成。公式采用 MathJax3 语法，长推导与答案默认折叠，原始图片保留在对应知识点附近。

上册：行列式与矩阵｜中册：相似理论与二次型｜ 下册：向量组与方程组

本册定位

从向量组的线性关系出发，用秩和解空间贯通基础解系、同解条件及综合应用。

学习主线
向量组与向量空间 → 线性方程组 → 综合专题
使用建议
先阅读每章摘要与思维导图，再掌握核心结论，最后展开例题答案和证明细节。

向量组与向量空间

本章摘要： 从线性相关、线性表示和向量组等价出发，建立极大无关组、秩、基、维数与过渡矩阵。

本章思维导图

线性相关
存在不全为零的系数，使线性组合等于零。
可线性表示
目标向量属于给定向量组的张成空间。
向量组等价
两个向量组可以互相表示，张成空间相同。

核心结论/高频考点

“组能表示组”意味着，故。

向量组的思维定势

（1） →
（2） →

向量组线性相关（无关）

定义：
若只有零解，则向量组线性无关；若存在不全为零的系数使其成立，则向量组线性相关。

（2）向量组线性相关 ⇔ 至少存在一个向量可以由其余向量线性表示（谁的系数不是0，谁就可以被表示）

（3）向量组线性无关 ⇔ 任何一个向量都不可以由其余向量线性表示

（4）一个向量构成的向量组线性相关 ⇔ 它是零向量
注：一个无关向量 = 一个非零向量

（5）两个向量构成的向量组线性相关 ⇔ 坐标成比例

（6）
① 线性相关 ⇔
② 线性无关 ⇔

（7）n个n维向量
① 线性相关 ⇔
② 线性无关 ⇔
注：能取行列式,就取行列式

（8）n+1个n维向量必相关（个数 > 维数，必相关）

向量组线性无关定理

n个线性无关的n维向量可以表示任何一个n维向量

向量组线性表示的等价命题

（1）向量可由向量组线性表示且表示法唯一
⇔

（2）向量可由向量组线性表示且表示法不唯一（无穷多种）
⇔

（3）非零向量可由向量组线性表示
非齐次线性方程组

有解

（4）向量不可由向量组线性表示
⇔
⇔

（5）线性无关，且不能由表示，则线性无关
证明：

（6）向量组可以表示向量组
⇔
→

口诀：我能表示逆，我比你厉害，我的秩大于等于你的秩

向量组不可以表示向量组
⇔

（7）
向量组线性相关，再加n个还是相关的（少的相关，多的也相关）
向量组线性无关，去掉n个还是无关的（多的无关，少的也无关）

（8）
向量组线性无关，再加上n个维度还是无关的（低维无关，高维也无关）
向量组线性相关，去掉n个维度还是相关的（高维相关，低维也相关）

（9）向量组线性无关，线性相关，则一定能由向量组表示且表示法唯一
证明：

→ 由（1）可证得

（10）n个线性无关的n维向量可以表示任何一个n维向量
n个n维向量不能表示某一个n维向量 → n个n维向量一定线性相关

（11）向量组可由向量组线性表示，则向量组一定线性相关（多的能被少的表示，多的必相关）

（12）向量组可以表示向量组且向量组线性无关，则
（我能表示线性无关的逆，我的个数大于等于你的个数）

(II)若,求所有既可由线性表示，又可由线性表示的向量.

展开查看：两个张成空间交集的计算

两个平面的法向量分别为

交集方向应同时垂直于，故

因此所有满足条件的向量为

【例 3.9】(2007, 数一、二、三) 设向量组 , , 线性无关, 则下列向量组线性相关的是【】

(A) , ,

(B) , ,

(D) , ,

展开查看：解题过程

对于 A，

右侧系数矩阵的行列式为，故该向量组线性相关，应选 A。

例如，对于 B，系数矩阵

的行列式为，所以对应向量组仍线性无关。

7.设 4 阶矩阵不可逆的代数余子式为矩阵的列向量组为的伴随矩阵，则方程组的通解为( )

A. x= ,其中为任意常数.

,其中为任意常数.

展开查看：解题过程

由不可逆且，知且，所以的基础解系含个向量。

又说明线性无关，而

故的列向量均为的解。因此可作为基础解系，选 C。

向量组等价

（1）定义：两个向量组可以互相表示，则两向量组等价

（2）向量组和向量组等价
⇔
（你的秩 = 我的秩 = 拼起来的秩）缺一不可

（3）若且组可以表示组或组可以表示组
→ 向量组和向量组等价

(3) 设向量满足为常数，且,则( ).
A. 与等价
与等价

与等价

C. 与等价

展开查看：解题过程

由，可分别解出

所以与可以互相线性表示，二者等价，选 C。由于可能为，其余选项不能由题设确定。

列向量组等价

行向量组等价

极大线性无关组

向量组的秩

向量组的极大无关组所含的向量个数称为向量组的秩，记为
规定：只含有零向量的向量组秩为0

极大无关组的定义

（1）向量组之间线性无关
（2）组内再加一个就相关

自由未知量与极大无关组

自由未知量 → 基础解系 → 非主元列元素
约束未知量 → 极大无关组 → 主元列元素

自由未知量

去掉极大无关组（约束未知量），剩下的为自由未知量

自由位置量个数 $为系数方程$

求向量组的极大线性无关组

（1）将向量按列排成矩阵
（2）初等行变换化成行阶梯
（3）每层梯子选一列，即为极大线性无关组

注：
（1）若要求表示法，则进一步化为行最简
（2）若该层梯子为0，则退到上一层梯子
（3）一般极大无关组不唯一，但个数是相同的

例：向量组，，，，的一个极大线性无关组是 __________且其他向量的表示为 __________。

展开查看：解题过程

将向量按列组成矩阵并作行变换：

主元列为第列，因此可取为极大无关组，且

向量空间

总结：向量空间V中的一个向量组
满足： $线性无关中每个向量都能由它线性表示$
则称为向量空间的一个基（基底）
其中所含向量个数为该空间的维数，用该基表示其他向量时，例如：，称为在这组基下的坐标
设和为n维向量空间V中的两组基，
若
即：（基变换公式）
则C称为从基到基的过渡矩阵

线性方程组

本章摘要： 由秩判定齐次与非齐次方程组的解，构造基础解系和通解，并研究同解问题及。

本章思维导图

齐次
永远有零解；时存在非零解，基础解系含个向量。
非齐次
先比较与，再与未知量个数比较。

避坑指南/易混淆点

“秩相等”只能说明两个齐次方程组的解空间维数相同，不能单独推出同解；同解要求行空间相同。

求齐次方程组通解(基础解系)

（1）系数矩阵A $行变换$ 行最简（只能行变换）
（2）写同解方程组
（3）自由未知量 $（或或$ 赋值，构造基础解系
（4）基础解系线性组合，构造通解

注意：
约束未知量：主元列对应未知量
自由未知量：非主元列对应未知量

例题：求齐次线性方程组的基础解系。

展开查看：解题过程

将系数矩阵化为行最简形：

同解方程组为

取自由变量，得到一个基础解系

展开查看：“反号顺抄”的原理

若行最简形为

则、。依次令与，得到

这里必须使用行最简形，不能只停在一般行阶梯形。

基础解系结论

注意：
基础解系有无穷多种，但是个数相等
任意个线性无关的齐次解向量都可构成基础解系

(2011，数一、二) 设为 4 阶矩阵，为线性方程组的基础解系，则的基础解系可为【】

(A)

(B)

(C)

(D)

展开查看：解题过程

由

→ → $相关$
→ → → → 需要三个无关解
→ $为两组极大无关组$
→ 的每一列都是的解 → 的任一极大无关列向量组都可作为的基础解系

故选(D)

已知基础解系反求A

齐次方程基础解系反解

原理：
设是方程组
的基础解系
即：的基础解系

→

转 置

看成，只需求的基础解系，竖着拼成，再转置得到

【步骤】
（1）把基础解系横着拼成一个矩阵B
（2）解的基础解系
（3）横着拼成A

注意：
A不唯一（行数可以随便加），可以看例题加深理解

例题：已知，是齐次线性方程组的基础解系，则系数矩阵可以是 ___________.

展开查看：解题过程

，解：

反 号 顺 抄

→

多加一行可以得到原题的选项：

再多加n行：

非齐次方程基础解系反解

总结：已知的通解，反求

非齐次线性组 , 即

通解为

的基础解系
→ 求出对应齐次方程组

令非齐次方程组

代入求出：

例题
已知是非齐次线性方程组
的通解，则该线性方程组可以是？

展开查看：解题过程

（1）先求齐次方程组

负 号 顺 抄

的

为

令，

代入：

即：，

线性方程组解的判定

（1）解有2种情况：① 唯一解（只有0解）② 无穷多解（有非0解）
（2）解有3种情况：① 唯一解② 无穷多解 ③ 无解
（3）解的判定（n为A的列数）
① 只有0解
⇔
⇔ A的列向量组线性无关
⇔ （A为方阵）

② 有非0解
⇔
⇔ A的列向量组线性相关
⇔ （A为方阵）

（4）解的判定（n为A的列数）
① 无解
⇔
⇔
⇔ r(A) < r(A | b)
⇔ b不能由A的列向量组线性表示
→ （A为方阵）

② 有唯一解
⇔
⇔ b能由A的列向量z组线性表示，且表示法唯一
⇔ （A为方阵），可以用克拉默法则解
→ A的列向量组线性无关
→ 只有0解

③ 有无穷多解
⇔
⇔ b能由A的列向量组线性表示，且表示法不唯一
→ （A为方阵）
→ A的列向量组线性相关
→ 有非0解

**总结：**线性方程组解的情况的判断

非齐次

无解：；
唯一解：；
无穷多解：。
齐次
只有零解：；
有非零解：；
齐次方程组永远不会无解。

展开查看：原始方程组判定表

alt text

(2001, 数三) 设为阶矩阵, 为维列向量, 且 , 则线性方程组

(A) 有无穷多解

(B) 有唯一解

(D) 有非零解

展开查看：解题过程

对(C)(D)
分块矩阵秩与列数作比较

，有非0解

对(A)(B)

→ → 有解

例题设矩阵, . 若集合, 则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为（）

(A)

(B)

(C)

(D)

解的结构

（1）设都是的解，则仍是的解，为任意常数。
（2）设都是的解，则

是 的 解 是 的 解

特别地，是是解
（3）设都是线性无关的解，则为的个线性无关的解
（4）设是的解，是的解，则是的解
（5）的任意个线性无关的解，都可以构成的基础解系，并且，如果是的基础解系，则是的通解
（6）的通解 $齐次通解非齐特解$

(2011,数三)设为阶矩阵，为非齐次线性方程组的 3 个线性无关的解，为任意常数，则的通解为[]

(2002,数一、二、三)设为4阶矩阵，其中线性无关。.若,求线性方程组的通解.

展开查看：解题过程

$无关$ →
→

基 础 解 系 个 数 ：

→

(2017, 数一、二、三) 设 3 阶矩阵有三个不同的特征值，其中 .

(I) 证明 ;

(II) 若，求线性方程组的通解.

展开查看：解题过程

(I)
→
有3个不同特征值 →

→ $若则$
→

(II) 同上道例题理

例题设 4 阶矩阵，其中线性相关，线性无关。若为线性方程组的解。

(I) 求 ;

(II) 若为的解，，求 .

展开查看：解题过程

详解：(I) 由线性无关，知线性无关。又线性相关，故可唯一线性表示。

由，得，故。

若，则线性相关，矛盾。

(II)

→

例题设A为4阶矩阵，k为任意常数，，，为非齐次线性方程组的三个解，满足，. 若，则的通解为【】

(A)

(B)

(C)

(D)

展开查看：解题过程

选(C)

AB=0的三个角度

（1）（n是AB消掉的那个）
例如：

（2）
⇔ B 的列都是的解
⇔ B 的列向量与A的行向量两两正交

展开查看：列解与正交性的证明

证明（2.2）；
注：齐次方程组的解与系数矩阵的行向量正交

是 的 解

（3）
若，则A的列向量组线性相关

又

的 列 向 量 组 线 性 相 关

若，则B的行向量组线性相关

例题设为四阶矩阵，为的伴随矩阵，若 ,且 ,则的可能取值为( )

(A)0或1

(B)1或3

(D)1或2

展开查看：解题过程

→
→ → →
→ $或$

AB=E

长得差不多放一起

又有：说明 $满秩可交换$

【例1】设阶矩阵,满足，则________.

展开查看：解题过程

答案：n

【例2】设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位阵,则必有
(A) ACB=E.
(B) CBA=E.
(C) BAC=E.
(D) BCA=E.

展开查看：解题过程

答案：(D).

**解：**由得,则,应选(D).

AB=C

【例 3.2】(2013, 数一、二、三) 设 n 阶矩阵 A, B, C 满足 AB = C, 且 B 可逆, 则【】

(A) C 的行向量组与 A 的行向量组等价

(B) C 的列向量组与 A 的列向量组等价

(D) C 的列向量组与 B 的列向量组等价

展开查看：解题过程

说明A经过初等列变换可化成C，可知A的列可表示C
说明C经过初等列变换可化成A，可知C的列可表示A

同解方程组

什么是同解方程组

对应的系数矩阵：

上式与下式的区别是做了一次初等行变换，它们的解是一样的，它们显然是同解方程组！

齐次方程组同解

齐次方程组与同解

⇔ A可经过有限次初等行变换到B
⇔ 可逆阵，使得
⇔ A与B的行向量组等价
⇔
⇔ 与基础解系等价
⇔ A与B的列向量组有相同的表示关系

注意：
（1）若的解均是的解，且，则与同解
（2）与同解
（3）左乘列满秩，齐次方程组同解，与同解
（4）对阶方阵，与同解。

非齐次方程组同解

非齐次方程组与即：与

⇔ 与行向量组等价
⇔

齐次方程组同解的结论

和同解 ⇔和有相同或等价的基础解系
和同解 → ⇔ tips:秩相同推不出同解
的解是的解 ⇔ 与同解 ⇔ →
同解的充要命题，和同解 ⇔ （即A与B的行向量组等价）
若的解都是的解,且,则与同解
由(2)可知,若想证明,且A,B列数相同,则考虑证明: 和同解

例题设 3 阶矩阵 ,，若向量组可以由向量组线性表出，则（）。

(A) 的解均为的解

(B) 的解均为的解

(D) 的解均为的解

展开查看：解题过程

A 可由 B线性表出 ⇔
(A) ⇔

(B) ⇔

(D) ⇔

→

设矩阵 , , 二次型 .

已知方程组的解均是的解，但这两个方程组不同解.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ) 求正交变换将化为标准形.

展开查看：解题过程

(I)
方程组的解均是的解，但这两个方程组不同解 ⇔

→

(II)

→
→ $与正交$
→

→ 单位正交化：，，

→

例题设为阶矩阵为阶可逆矩阵为维列向量.下列命题中，错误的是()
( A) 若方程组有解 ,则方程组有解.

( B) 若方程组有解 ,则方程组有解.

( C) 若方程组有非零解，则方程组有非零解.

( D) 若方程组有非零解 ,则方程组有非零解.

例题设A,B为n阶方阵, 若线性方程组Ax=0的解均为Bx=0的解, 则下列方程组与Ax=0同解的个数为【】

①(A+B)x=0 ②ABx=0 ③BAx=0 ④(A-B)(A+B)x=0 ⑤(A)(B)x=0

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

展开查看：解题过程

**详解：**令B=-A, 排除①; 令B=O, 排除②、③.

由Ax=0的解都是Bx=0的解, 知Ax=0与(A)(B)x=0同解.

又行, 故与同解, 故应选(B).

综合专题

本章摘要： 汇总答案不唯一、伴随与秩、谱结构、同解方程组和二次型等综合题。

本章思维导图

核心结论/高频考点

综合题先识别不变量：等价看秩，相似看特征多项式、迹与行列式，合同看惯性指数，方程组看系数矩阵与增广矩阵的秩。

答案不唯一的典型场景

（1）的基础解系，的通解，答案不唯一
（2）已知基础解系反求，已知通解反求，答案不唯一
（3）向量组的极大无关组不唯一（线性相关），向量组线性无关时，极大无关组就是本身
（4）用施密特正交化求正交的向量组不唯一
（5）特征向量不唯一的，故也是不唯一的
（6）二次型矩阵是不唯一的（写成对称矩阵是唯一的）
（7）在配方法求二次型的标准形是不唯一的

小题综合

图片首题问：若的特征值为，求。

展开查看：解题过程

的特征值为，所以。的特征值为，故

展开查看：原始综合题截图

设A为3阶实对称矩阵，A的各行元素之和均为0，若A的全部非零特征值为1,6,则下列命题中，正确的个数为（）

① 的全部元素均不为.

②.

③ 是的唯一非零特征值.

④ 与有非零公共解.

设阶矩阵的伴随矩阵为非齐次线性方程组的互不相等的解，则的线性无关解向量的个数为

展开查看：解题过程

→ $或$
$有四个解$ → 方程组有无穷多解 →
解向量个数：（基础解系＋特解）

设 3 阶非零矩阵满足 ,非齐次线性方程组有解，则的线性无关解向量的个数为

展开查看：解题过程

→
$有解$ → →

(4)设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵，已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是( )

(A)

(B)

(D)

(C)

展开查看：解题过程

有： →

→
→

(7) 设是秩为 2 的 3 阶矩阵，是满足的非零向量。若对满足的 3 维列向量，均有，则

A. 的迹为 2.

B. 的迹为 5.

C. 的迹为 8.

D. 的迹为 9.

展开查看：解题过程

→ →
有两个解
→ →
→

(A) → 特征值为： →
同理：其他迹均为2

设, 均为3阶非零矩阵, 若且矩阵与相似, 则

展开查看：解题过程

→
又 $且$

的 特 征 值 ：

的 特 征 值 ：

的 特 征 值 ：

当时，

的 特 征 值 ：

的 特 征 值 ：

当时，

的 特 征 值 ：

的 特 征 值 ：

→

当时，

的 特 征 值 ：

的 特 征 值 ：

→

综上，答案为3

(10) 设 A, B 为 2 阶矩阵, 且 AB=BA, 则 “A 有两个不相等的特征值” 是 “B 可对角化”的

A. 充分必要条件.

B. 充分不必要条件.

C. 必要不充分条件.

D. 既不充分也不必要条件.

展开查看：解题过程

必要性：
→ $的特征值均为$ （与题设矛盾）

充分性：
有：

→ →
→

时 为 的 特 征 向 量 时 为 的 特 征 值 的 特 征 向 量

→ → $仍为的特征向量$

综上， $为的特征向量$

同理可得， $为的特征向量$

$与$ 无关，故B可相似对角化

大题综合

例题三阶矩阵满足：每行元素之和为，且、。求二次型的标准形与规范形。

展开查看：解题过程

由及每行元素之和为，得

二次型只由的对称部分决定：

取正交矩阵

则。经，标准形为

再令，规范形为。

原稿勘误

原稿该题第二问文字已损坏，无法构成完整问题；此处依据可验证的矩阵条件整理为标准形与规范形问题。

设为阶非零矩阵，为的代数余子式，证明：

(I) 且

(II) 且

展开查看：解题过程

(I)
→ →
→
→

(II)
同理

【记住推导过程即可】

【2021，数一】设 .

(I) 求正交矩阵 P，使得为对角矩阵；

(II) 求正定矩阵 C，使得 .

展开查看：解题过程

(1)

→
构造符合的特征向量:

，
单位化后：令，则，故为所求正交矩阵。

(2)
由(1)知,

令

, 则 . 故所求正定矩阵是

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线性代数（下）：向量组与线性方程组 ​

向量组与向量空间 ​

本章思维导图 ​

向量组的思维定势 ​

向量组线性相关（无关） ​

向量组线性无关定理 ​

向量组线性表示的等价命题 ​

向量组等价 ​

列向量组等价 ​

行向量组等价 ​

极大线性无关组 ​

向量组的秩 ​

极大无关组的定义 ​

自由未知量与极大无关组 ​

自由未知量 ​

求向量组的极大线性无关组 ​

向量空间 ​

线性方程组 ​

本章思维导图 ​

求齐次方程组通解(基础解系) ​

基础解系结论 ​

已知基础解系反求A ​

齐次方程基础解系反解 ​

非齐次方程基础解系反解 ​

线性方程组解的判定 ​

解的结构 ​

AB=0的三个角度 ​

AB=E ​

AB=C ​

同解方程组 ​

什么是同解方程组 ​

齐次方程组同解 ​

非齐次方程组同解 ​

齐次方程组同解的结论 ​

综合专题 ​

本章思维导图 ​

答案不唯一的典型场景 ​

小题综合 ​

大题综合 ​

线性代数（下）：向量组与线性方程组

向量组与向量空间

本章思维导图

向量组的思维定势

向量组线性相关（无关）

向量组线性无关定理

向量组线性表示的等价命题

向量组等价

列向量组等价

行向量组等价

极大线性无关组

向量组的秩

极大无关组的定义

自由未知量与极大无关组

自由未知量

求向量组的极大线性无关组

向量空间

线性方程组

本章思维导图

求齐次方程组通解(基础解系)

基础解系结论

已知基础解系反求A

齐次方程基础解系反解

非齐次方程基础解系反解

线性方程组解的判定

解的结构

AB=0的三个角度

AB=E

AB=C

同解方程组

什么是同解方程组

齐次方程组同解

非齐次方程组同解

齐次方程组同解的结论

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