上官呆呆的笔记

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高等数学速成讲义（中）：积分、几何与向量分析 ​

一元积分、反常积分、重积分、几何应用、线面积分与向量分析。本文由原始长篇笔记重构而成，保留原题、例题与图片上下文，并按“概念 → 方法 → 易错点 → 例题”组织。

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本册总览 ​

⭐ 核心结论/面试高频

建议先阅读每章导图与核心结论，再尝试例题；证明与长推导已折叠在 details 容器中，复习时可按需展开。

一元积分与可积性 ​

本章摘要： 从原函数、黎曼可积性与变限积分出发，重点掌握区间再现、对称性、比较定理、积分中值定理和整体换元。

本章思维导图 ​

💡 通俗理解

定积分可以看成“无数个小矩形面积的总和”；区间再现公式则像把区间沿中点折叠，让与成对出现，从而暴露隐藏的常数或对称结构。

连续是黎曼可积的充分条件，也是存在原函数的充分条件。

初等函数 ​

初等函数是由基本初等函数（反对幂三指）进行有限次的加减乘除复合，并且能用一个解析式表达的函数（分段函数不是初等函数）

原函数 ​

  1. 原函数定义
    ① → 的全体原函数
    ② → 的一个原函数

  2. 原函数存在定理（原函数存在指的是不定积分）
    ① 区间上连续函数必有原函数, 并且原函数为
    ② 函数在区间上有第一类或无穷间断点时, 必不存在原函数
    ③ 函数有震荡间断点时, 不一定存在原函数

不连续且有震荡间断点

  1. 关于 在 上有原函数 ，要注意以下几点：在 上
    (1) 不一定连续；
    (2) 不一定是初等函数；
    (3) 不一定是初等函数；
    (4) 由原函数定义，，因而 连续.

导函数的奇偶性与周期性 ​

可导的奇函数的导函数为偶函数
可导的偶函数的导函数为奇函数
可导的周期函数的导函数仍然是周期函数且周期不变

求导会改变奇偶性
求导周期不变

原函数的奇偶性与周期性 ​

  1. 连续的奇函数的所有原函数均为偶函数
  2. 连续的偶函数只有一个原函数为奇函数（C = 0）
  3. 连续的周期函数的所有原函数均为周期函数 ⇔

连续的周期奇函数的所有原函数均为周期函数

【奇偶性口诀】奇导偶，偶导奇，奇原偶，偶原非奇

例题判断的奇偶性

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函数可积（仅黎曼可积） ​

  1. 可积定理（定积分 存在）

① 充分条件
(1)设 在区间 上连续，则 在 上可积。
(2)设 在区间 上有界，且只有有限个间断点，则 在 上可积。
(3)设 在区间 上单调有界，则 在 上可积。

② 必要条件
定理：若函数在上可积，则在上必有界。
该定理指出，任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积，如狄利克雷函数在[0,1] 上有界
但是不可积。

  1. 关系速记
    （1）可导必连续，连续必可积，可积必有界；
    （2）无界必不可积，但有界不一定可积；
    （3）间断点无限多个并不能直接推出不可积，例如 Thomae 函数仍然黎曼可积。

  2. 设
    ① 在上可积，则在上连续
    ② 在上连续，则在上可导，且
    ③ 若为的可去间断点，则在处可导，且；当未取该极限值时，。
    ④ 若为的跳跃间断点，则在处不可导

  3. 连续、可积、原函数存在关系
    虚线表示推导不出

  1. 绝对值讨论
    (1)在可积，在不一定可积 （反例：为有理数为无理数）
    (2)在可积，在一定可积

可积运算 ​

因为可积说明存在，所以与极限运算一样

  1. 可积 可积 = 可积

  2. 可积 不可积 = 不可积

  3. 不可积 不可积 = 不一定

  4. 可积 可积 = 可积

  5. 可积 不可积 = 不一定

  6. 不可积 不可积 = 不一定

定积分两个公式 ​

区间再现公式 ​

应用1 ​

当 时，
该恒等式是区间再现类题目的常见构造方式：选取不同的即可得到一组同型积分。

例题1

例题2

例题3

应用2 ​

把x取成得

出题

把x取成得

出题出题为偶函数

把x取成得

出题

把x取成得

出题

所以碰到, , , 要敏感, 考虑利用区间再现公式

例题1

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例题2

例题3

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例题4

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例题5

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计算：

解得：

应用3 ​

消去
当(其中满足)时，

例题1

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例题2

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例题3

🔍 展开查看：解题过程对称

例题4
,其中 为正整数。

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例题5

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例题6

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例题7

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例题8

🔍 展开查看：解题过程对称

公式2 ​

若 收敛，则对任意的正数 ，都有

常用 的情形

当时，

当取、或时，可化为常数。因此，被积函数含时，应优先检查变换。

例题1

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例题2

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例题3

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例题4

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积分比较定理 ​

  1. 若与在上连续，，则。
  2. 若与在上连续，（且），则。
  3. 若与在上连续，，则。
  4. 若在上连续，且，则。
  5. 若在上可积，且，则。

积分中值定理 ​

  1. 若在上连续，则
  2. 若在上连续，则
  3. 若与在上连续，不变号，则

整体换元法 ​

整体换元法触发特征：

变限积分求导 ​

（1）直接提

（2）换元

（3）二重积分交换积分次序

反常积分与敛散性 ​

本章摘要： 分别处理无穷区间与有限区间瑕点，并用积分、比较法和奇偶性判断敛散性。

本章思维导图 ​

关注时的衰减速度；在时收敛。

⚡ 避坑指南/易混淆点

反常积分的奇偶化简必须以积分收敛为前提。标准意义下的要求左右两部分分别收敛，不能用对称抵消掩盖发散。

反常积分的敛散性 ​

  1. 无穷积分的反常积分 → 积分： 收敛发散
  2. 有瑕点（无界的点）的反常积分 → 积分： 收敛发散

口诀：想要收敛看无穷和瑕点，无穷用p积分，瑕点用q积分，P大Q小（收敛），形式不符合就放缩成pq积分形式。

反常积分的奇偶性 ​

设 收敛，则为偶为奇

反常积分敛散性的四则运算 ​

  1. （拆积分区间）

收敛 收敛 = 收敛
收敛 发散 = 发散
发散 发散 = 发散

  1. （拆被积函数）

收敛 收敛 = 收敛
收敛 发散 = 发散
发散 发散 = 不一定

重积分与坐标变换 ​

本章摘要： 以积分区域为核心，训练直角坐标换序、极坐标、柱坐标、球坐标、对称性、形心和三重积分。

本章思维导图 ​

⭐ 核心结论/面试高频

重积分计算的第一步不是积分，而是画出或准确描述积分区域；第二步才是选择让区域边界最简单的坐标系与积分次序。

边界可表示为上下函数或左右函数时最直接，换序时必须重新描述区域。

奇偶对称性 ​

若积分区域 关于关于轴对称，且被积函数是关于 的奇函数，则

若积分区域 关于关于轴对称，且被积函数是关于 的奇函数，则

注：可以用两点法证明

积分区域的对称性如何判断？可以利用如下结论

若,则曲线 关于 轴对称

若,则曲线 关于轴对称

轮换对称性 ​

若 关于 对称，则

若 关于 对称，则

若 关于 对称，则 （当被积函数中 不对称时，可以考虑利用这个结论）

积分区域的对称性如何判断？可以利用如下结论

若 ，则 关于 对称

二重积分换序例题 ​

题一：改变积分次序

四条线：

题二：改变积分次序

题三：改变积分次序

题四：改变积分次序

题五：交换积分次序

题六：交换积分次序

极坐标交换积分次序 ​

① 将改成x，改成

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求含有二重积分的极限 ​

  1. 二重积分的积分中值定理（被积函数 ）
    内容：设在闭区域上连续，为区域的面积，则

  2. 洛必达（被积函数 --> ）
    化简二重积分：
    （1）换序
    （2）换坐标系
    （3）换元

  3. 广义的积分中值定理（被积函数为两个函数相乘时）
    内容：
    （1）（定积分）若在上连续，且不变号，则
    （2）（二重积分）若在闭区域上连续，不变号，则

注意：不能确定被积函数是否趋于0，当它不为0，用中值定理

形心 ​

平面曲线的形心

曲面的形心

平面区域的形心

空间实心体的形心

三重积分 ​

三重积分的定义 ​

设 是有界闭区域 上的有界函数. 将闭区域 任意分成 个小的闭区域 , , …, , 在每个 上取一点 , 若当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时, 极限

存在, 则称此极限为函数 是有界闭区域 上的三重积分, 记作

**注意：**三重积分实际上是求实心几何体质量

三重积分的性质 ​

  1. 线性性质
    设 , 在空间 内可积, 则
为常数
  1. 区域可加性

其中 且 与 的内部交集为空集 .

  1. 比较定理
    如果在空间Ω上有, 则.

推论: .

  1. 估值定理
    设和分别是在上的最大值和最小值，为的体积，则
  1. 中值定理
    设函数在空间Ω上连续, V为空间Ω的体积, 则在Ω上至少存在一点, 使得
    .

三重积分的计算 ​

  1. 直角坐标下三重积分的计算
    ① 穿线法（先一后二法）: 先求关于某个变量的定积分, 然后求关于另外两个变量的二重积分, 例如: 先对 积分, 则将 投影到 平面得投影域 , 过 内任意一点 作平行于 轴的直线, 使之与 相穿, 下部边界穿入点得 , 上部边界穿出点得 , 则

**注：**此方法为最基本的方法, 应熟练掌握, 但因求解过程较为复杂, 故在考试中有简便方法可用的, 尽量用其他方法.

②切片法（先二后一法或截面法）：先求关于某两变量的二重积分，然后再求定积分，例如，先计算关于x,y的二重积分，然后计算关于z轴的定积分，此时应先将Ω投影到z轴得坐标z∈[c,d]，然后对坐标取平行于Oxy平面的一个平面，截Ω得到一个平面闭区域Dz，则

若仅为的函数，且的面积仅为z的函数，记作，则

  1. 柱坐标下三重积分的计算
    柱坐标 (r, φ, z) 与直角坐标的关系为
  1. 球坐标下三重积分的计算
    采用表示方位角、表示极角，则

因此

  1. 利用对称性计算三重积分
    ① 积分区域 Ω 关于 xOy 坐标平面对称，则

其中 Ω_1 为 Ω 在平面 xOy 上侧的部分.

② 轮转对称性: 若 x, y 互换后, 积分区域 Ω 所满足的表达式不变,则：

若 x, y, z 互换后, 积分区域 Ω 所满足的表达式不变, 则

例题1计算 ， 由 ，，，， 围成。

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例题2已知 是由曲线 ² 绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 围成的立体, 求 ²²

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例题3求 , 其中 .

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关于对称，

例题4Ω: ，三重积分 的值为
(A)
(B)
(C)
(D)

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例题5计算三重积分

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例题6设Ω:，则三重积分____
(A) .
(B) .
(C) .
(D)

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由得，并隐含。

例题7求，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体。

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绕z轴旋转 → →

如果是： →

微积分中的几何量 ​

本章摘要： 汇总弧长、旋转体体积、旋转曲面面积和曲率公式，并强调参数化与微元选择。

本章思维导图 ​

💡 通俗理解

弧长微元测量“走过了多远”，面积微元测量“铺了多大一块”，体积微元测量“占了多少空间”。先认清微元，公式就不容易混淆。

把每一小段曲线近似成线段，再累加。

弧长公式 ​

  1. 若，，则，从而
  1. 若，，则，弧长为
  1. 若，，则，弧长为

旋转体体积 ​

绕x轴旋转旋转体体积
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看成柱体
绕y轴旋转旋转体体积
alt text
看成长方体

旋转体侧面积 ​

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曲率公式 ​

设曲线的直角坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M处的切线的斜率为，所以

又，故曲线L在M点处的曲率为

设曲线是由参数方程给出，利用参数方程求导法可得

曲率半径：

线面积分与向量分析 ​

本章摘要： 统一曲线积分、曲面积分、Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式以及梯度、散度、旋度和方向导数。

本章思维导图 ​

对弧长或面积积分，与曲线、曲面的定向无关，常解释为质量。

⚡ 避坑指南/易混淆点

使用 Green、Gauss 或 Stokes 公式前，必须检查：区域是否闭合、方向是否匹配、偏导是否连续、内部是否含奇点。有缺口就补边界，有奇点就挖洞。

第一类曲线积分 ​

第一类曲线积分的定义 ​

设 为 平面上一条光滑曲线， 为定义在 上的有界函数。在 上插入点 ，，…， 将 分成 个小段。第 段长度记作 ，在第 段上取点 ，令 ，若极限

存在，则称此极限为函数 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作

【几何意义】求线的质量，f(x,y)为线密度

第一类曲线积分的性质 ​

(1) 线性性质：在上可积，为任意常数，则

(2) 可加性：若积分弧段可分成两段光滑曲线弧，则

(3) 比较性质：若在上，则

推论：

第一类曲线积分的计算 ​

(1) 曲线 L 由直角坐标 y = y(x), a ≤ x ≤ b 表示, 则

(2) 曲线 L 由极坐标 r = r(θ), α ≤ θ ≤ β 表示, 则

(3) 曲线 L 由参数方程 , α ≤ t ≤ β 表示, 则

(4) 空间曲线 L 由参数方程表示, 则

(5) 利用对称性计算第一类曲线积分
① 积分曲线 关于 轴对称，则

其中 为曲线 在 轴右侧的部分.
② 利用轮转对称性: 若积分曲线 关于直线 对称，则

例题1平面曲线 为下半圆周 ，则 ___________.

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例题2计算 , 其中

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**总结：**曲线积分要代入！！！

例题3 计算，其中。

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例题4求第一型曲线积分ds,其中为摆线 ,

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例题5为双纽线全弧段，则

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→ →

角度1：（确认角的范围，在第一象限中，如果角度扩大，则减小到0）有：

角度2： → →

角度3： → →

设第一象限的弧段为

例题6设曲线 （具有一阶连续偏导数），过第二象限内的点 和第三象限内的点 ， 为 上从点 到点 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）
(A) .
(B)
(C) .
(D) .

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→ 偏导数为0

由于在第二象限、在第三象限，沿有。因此选项 (B) 为负；(C) 为正，(D) 为零，而 (A) 的符号无法仅由象限确定。

第二类曲线积分 ​

第二类曲线积分的定义 ​

设 为 平面上连接 , 两点的有向光滑曲线弧, 函数 , 为定义在 上的有界函数. 在 上插入点 , , , , 将 分成 个有向弧段:

设 , , 点 为 上任一点. 取 为各小弧段长度最大值, 则当极限

存在, 则称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分, 记作

则称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分，记作

以上两个积分称为第二类曲线积分，若二者均存在，则一般将二者合并起来，记作

第二类曲线积分的性质 ​

(1) 线性性质: 在 上可积, 为任意常数, 则

(2) 可加性: 若有向弧段 可分成两段光滑的有向弧段 , 则

(3) 当 表示有向弧段 的反向曲线弧, 则

第二类曲线积分的计算 ​

(1) 有向弧段 L 由 y = y(x), x: a → b 表示，则

(2) 有向弧段 L 由参数方程表示，则

两类曲线积分的关系 ​

(1)区别:第二类曲线积分与曲线L的方向有关.而第一类曲线积分只与被积表达式和曲线弧长的乘积有关,而与曲线的方向无关.

(2)联系:两类曲线积分的计算关系

其中为有向曲线切线的方向余弦.

格林公式 ​

格林公式的定义 ​

设闭区域 由分段光滑曲线 围成，函数 ， 在 上一阶偏导数连续，则

其中 为 的边界曲线，且为正向（其中 为正向指某人沿 的方向前行时，区域 始终在其左侧）。

例题1设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为______.

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补上两条坐标轴线段：与

例题2计算下面曲线积分

其中 为连接点 与点 的线段 下方的任意路径，且该路径与线段 所围图形的面积为 2.

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补：

例题3设具有连续导数，点 , 为以 AB 为直径的左上半个圆弧，且从走向 .求

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补线：

偏导连续封闭，负向

例题4求，l 为从点 沿曲线 到 .

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为无定义点，需要挖洞 → 补线：且：

补线：

例 10设曲线积分.其中为平面上任意一条连续闭 曲线，函数与二阶可导，且，

(I) 求函数和;

(II) 计算曲线从点到点的积分.

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(1)

即

→ →
→ 型四
→
→ →

(2)

折线路径：

第一类曲面积分 ​

第一类曲面积分的定义 ​

设函数 是定义在光滑曲面（或分片光滑曲面） 上的有界函数。将曲面分为 个小块 ()（ 也代表第 小块曲面的面积），在小块曲面 上任意取一点 ，令 为各小块曲面直径的最大值，若极限

存在，则称此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作

第一类曲面积分的性质 ​

(1) 线性性质：, 在曲面Σ上可积，，为任意常数，则

(2) 可加性：若积分曲面Σ可分成两块光滑曲面Σ₁，Σ₂，则

第一类曲面积分的计算 ​

→

(1) 设积分曲面由方程确定, 曲面在坐标面上的投影为, 函数在具有连续偏导数(即曲面是光滑曲面), 在上连续, 则

(2) 利用对称性计算第一类曲面积分
① 积分曲面 Σ 关于 xOy 平面对称，则

其中 Σ_1 为曲面 Σ 在 xOy 平面上方的部分.

②利用轮转对称性: 若 x, y 互换后, 积分曲面 Σ 所满足的表达式不变, 则

若 x, y, z 互换后, 积分曲面 Σ 所满足的表达式不变, 则

例题1【例 9.10】设 , 为 在第一卦限中的部分, 则有
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

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图形为一上半球，可知：几何体关于对称

被积函数为或的奇偶函数时，有偶倍奇零结论

例题2设曲面 ,则

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【小技巧：根据曲面方程判断对称性】将方程中的改写为若方程不变说明，曲面关于对称

偶倍奇零 →

在第一卦象上有：在第一卦象的上有：

例题3计算曲面积分, 其中 为锥面 在柱体 内的部分.

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第二类曲面积分 ​

第二类曲面积分的定义 ​

设为光滑（或分片光滑）的有向曲面，函数在上有界.把任意分割成个小块也代表第小块曲面的面积，在面上投影为，为ΔSi上任取的一点，令λ为各小块曲面的直径最大值，若极限

存在，则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分，记作

第二类曲面积分的性质 ​

(1) 可加性: 若积分有向曲面Σ可分成两块光滑曲面Σ₁, Σ₂, 则

(2) 令 −Σ 表示 Σ 的反向, 则

第二类曲面积分的计算 ​

(1) 设积分曲面Σ由方程z=z(x,y)确定，曲面在坐标面xOy上的投影为Dxy，函数z=z(x,y)在Dxy具有连续偏导数(即曲面Σ是光滑曲面)，R(x,y,z)在Σ上连续，则

其中若曲面Σ的方向与z轴正向夹角小于，则上式右端取正号；否则取负号.

同理可得

(2) 【投影三合一公式】设积分曲面Σ由方程z=z(x,y)确定，曲面在坐标面xOy上的投影为Dxy，若z(x,y)在Dxy具有连续偏导数(即曲面Σ是光滑曲面)，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Σ上连续，则

其中若曲面Σ的方向与z轴夹角小于，则上式右端取正号；否则取负号。

两类曲面积分关系 ​

其中 为曲面 在点 处的正法线向量的方向余弦.

高斯公式 ​

设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 围成，函数 , , 在 上有连续的一阶偏导数，则

这里 是 的整个边界曲面的外侧.

例题1计算曲面积分 ，其中 为曲面 的上侧.

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补面：为曲面的底面，方向向下

补面：偶倍奇零

例题2 计算，其中为抛物面在之间的部分，取上侧。

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补面，取向下方向。

高斯公式

补面：

例题3计算曲面积分 ，其中 为曲线 绕 轴旋转而成的曲面的下侧。

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绕z轴：

补面：方向向下, 方向向上

负方向正方向

例题4设Σ是曲面的前侧，计算曲面积分

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补面：

例题5计算曲面积分其中 为椭球面的外侧。

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补面：（方向向内）

例题6设为曲面 的下侧，是连续函数，计算

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斯托克斯公式 ​

【空间曲线转化成曲面积分】
设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 所取正侧的法线向量符合右手法则，函数 ，， 在曲面 （连同边界 ）上有连续的一阶偏导数，则

例题1设 是柱面 与平面 的交线，从 轴正向往 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 。

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的方向由右手定则确定，可知方向向上

偶倍奇零

例题2是曲面的边界，曲面方向朝上，其方向
与侧符合右手法则，求

🔍 展开查看：解题过程斯托克斯

三个坐标系上的补面

散度 ​

设向量场 , 其中 有连续的一阶偏导数, 在点 处的散度为

由上式, 高斯公式可写成

旋度 ​

设向量场,其中 有连续的一阶偏导数，在点处的旋度为

梯度 ​

例题设有数量场 . 求: (I) grad ; (II) div (grad ); (III) rot (grad ).

方向导数 ​

梯度：

方向导数：若可微

例题1设函数 ，单位向量 ，则 =

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例题2设 , ，则（）

(A) 在 点连续.

(B) .

(C) ，其中 为任一方向 的方向余弦

(D) 在 点沿 轴负方向的方向导数为 -1

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(A)(B)(C)可参考上册“多元函数微分学”中的性质链。
偏导数存在，推不出函数连续，全微分存在，函数可微

(D)用定义计算：

例题3设 在 的最大方向导数为______

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，故。

例题4设 ，则

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