上官呆呆的笔记

Appearance

高数+概率论+线性代数 ​

大部分公式，使用SimpleTex图片识别
询问过好几个人，发现阅读该篇笔记还是比较困难
在我看来，笔记是一个很好激活记忆的工具。
就比如学完一个知识点后，可能是一个月也可能是一周之后，对这个知识点的结论的印象变得模糊，所以重新翻看笔记就能够激活当时学习的情境，让我快速地重新掌握这个知识点。
但是其他人没有经历我当时学习的情境，所以部分细节无法理解或者没记上去的一些知识点没有掌握，导致不能够理解/学懂我的笔记内容。
解决方案：
作者：
1.不懂问我
2.笔记尽量记得全面
3.格式统一，读者熟练阅读后，能有更高阅读效率
读者：
1.读者本身能够有比较扎实的基础
2.觉得哪个知识点有用，自己去整理到自己的笔记中

为学日益,为道日损。——《道德经》
可以理解为，大量的信息日益增长，这些信息包括我们的实践经验，以及各种细碎的心得体会。而精炼的压缩过的概念、总结出来的原则日益削减。从而达到大道至简的境界。这一种封装与解压的关系，只有做到可以相互转换，我们的学习才能和谐。

剪切板： ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

好题 ​

考察极限存在 ​

难度评级：⭐️

若极限

(1)limx→+∞x10xα−xα∗(1−1x)α

存在，求a的取值范围与此极限的值。

(2)limx→+∞x10xα−(x−1)α

二项式展开，留下最高次项

(3)(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(4)limx→+∞x10α∗xα−1

显然，若使得极限存在，则α≥11 得：

(5)limx→+∞x10xα−(x−1)α={111α=110α>11

这是一个分割线~

考察中值定理算极限 ​

难度评级：⭐️⭐️

求极限

(1)limx→+∞[x1+x(1+x)x−xe]

法1:

左分式同除xx后通分，得：

(2)limx→+∞ex−(1+1x)xxe(1+1x)x

由重要极限e得：

(3)limx→+∞e−2[ex−exln(1+1x)x]

由拉格朗日中值定理，得：

(4)limx→+∞e−2[1−xln(1+1x)]eξx(5)ξ介于1和xln(1+1x)之间

可知，eξ=e,对ln(1+1x)泰勒展开，得：

(6)limx→+∞e−1[1−x(1x−121x2)]x

解得：

(7)limx→+∞[x1+x(1+x)x−xe]=12e

真是服了，两分钟写出来的题，对着手稿敲TeX，敲了10分钟才敲出来，当然也有部分原因是我对TeX还不是很熟悉，就比如ξ我就需要去查一下才知道怎么打出来

推荐一篇，LaTeX公式总结文章👉️传送门👈️

这是一个分割线~

考察函数构造 ​

难度评级：⭐️⭐️
已知函数f(x)的定义域是[0,+∞)，且满足f(0)=1，f′(x)=1f2(x)+x2，求证：

limx→+∞f(x)≤1+π2

法1：

(1)f(x)−f(0)=∫0xf′(t)dt(2)f(x)−f(0)=∫0x1t2+f2(t)dt

由f(0)=1且f′(x)>0得：

(3)f(x)−f(0)≤∫0x1t2+1dt(4)f(x)≤arctanx+1(5)limx→+∞f(x)≤1+π2

我又悟了，我每天就精选1/2题放到网站上不就好了。

这是一个分割线~

考察复合函数泰勒展开求极限 ​

求极限

limx→0ln(1+sin2⁡x)−6(2−cosx3−1)x4

难度评级：⭐️⭐️
法1：
对ln(1+sin2⁡x)泰勒展开：

(1)ln(1+sin2⁡x)=sin2⁡x−sin4⁡x2+o(x4)=[x−x36+o(x4)]2−x42+o(x4)=x2−56x4+o(x4)

对2−cosx3−1泰勒展开：

(2)2−cosx3−1=[1+(1−cos⁡x)]13−1=13(1−cos⁡x)+13(13−1)2(1−cos⁡x)2+o(x4)=13[1−(1−x22+x44!)]−19x44+o(x4)=x26−13x424−x436+o(x4)

原极限：

(3)limx→0x2−56x4−6(x26−13x424−x436)+o(x4)x4=−712

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考察费马定理+拉中 ​

难度评级：⭐️⭐️
函数f(x)在[0,1]上有二阶导数，f(0)=0。若f(x)在[0,1]上的最大值M>0。证明：存在 ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+2f′(ξ)>f(ξ)。
构造原函数：

(1)F(x)=xf′(x)+f(x)−∫0xf(t)dt

需证，F′(ξ)>0设存在x0∈(0,1],使得x0=M.
(1)x0∈(0,1)时，由费马定理知，f′(x0)=0。

(2)F(x0)=M−∫0x0f(t)dt>M(1−x0)>0

由拉格朗日中值定理，得：

(3)F′(ξ)=F(x0)−F(0)x0−0=F(x0)x0>0

(2)x0=1时,f(1)=M.
由拉格朗日中值定理，得：

(4)F′(ξ)=F(1)−F(0)1−0=F(1)=f′(1)+M−∫01f(t)dt(5)M−∫01f(t)dt<M−M<0

得：

(6)F′(ξ)>f′(1)=limx→1−f(x)−f(1)x−1≥0

综上，得证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+2f′(ξ)>f(ξ)

考察变上限求导 ​

alt text

∫0x0[y(x)−(y(x0)−1x0⋅x+1)]dx=x04y(x0)−[y(x0)−1+1]+∫0x0y′(x0)⋅x0−[y(x0)−1]x02⋅x⋅dx=4x03−y′(x0)⋅x0−y(x0)+1x02×12x02=4x03y′(x0)⋅x0−y(x0)+1=−8x03y′(x0)−1x0y(x0)=−8x02−1x0y(x)=x[∫(−8x2−1x)⋅1xdx+C]y(x)=x[−4x2+1x+C]y(x)=−4x3+1+Cxy(1)=−4+1+C=0C=3y(x)=1+3x−4x3

考察全微分 ​

设函数f(x,y)可微 且,f[x+1,ln⁡(1+x)]=(1+x)3+xln⁡(1+x)(x+1)ln⁡(x+1),f(x2,x−1)=x4ex−1+(x−1)(x2−1)x2(x−1),则 df(1,0)=df(x,y)|(1,0)=f1′(1,0)dx+f2′(1,0)dy
观察题干给出的f(x,y)，仅有x，可以对x求导

f1′[x+1,ln(1+x)]+1x+1f2′[x+1,ln(1+x)]=3(1+x)2+g′(x)

后半段过于复杂，先设为g(x)
代入：x=0,得：

f1′(1,0)+f2′(1,0)=3+g′(0)limΔx→0=g(Δx)−g(0)Δx=ln(1+Δx)⋅1=0

解得：f1′(1,0)+f2′(1,0)=3

2xf1′[x2,x−1]+f2′[x2,x−1]=(4x3+x4)ex−1+h′(x)

代入：x=1,得：

2f1′(1,0)+f2′(1,0)=5+h′(1)limΔx→0g(1+Δx)−g(1)Δx=0

解得：2f1′(1,0)+f2′(1,0)=5

解得：f1′(1,0)=2,f2′(1,0)=1⇒代入df(1,0)df=2dx+dy

考察二元函数最值 ​

求函数 f(x,y)=e−xy 在区域 D={(x,y)|4x2+y2≤1} 上的最大值

区域内部：
令{fx(x,y)=−ye−xy=0fy(x,y)=−xe−xy=0 ⇒f(0,0)=1

区域边界：4x2+y2=1

法1：Lagrange乘数法 注：目标函数转化
令L(x,y,λ)=xy+λ(42+y2−1)
{Lx′=y+8λx=0Ly′=x+2xλ=0Lλ′=4x2+y2−1=0 ⇒ {x=±12y=±122⇒xy=±14

法2：极坐标（条件是：圆或椭圆）
需求e−xy在4x2+y2=1下的max
令{x=12cosθy=sinθθ∈[0,2π]
e−xy=e−12cosθsinθ=e−14sin2θ≤e14

法3：极坐标（不分边界和内部）
令{x=12rcosθy=rsinθθ∈[0,2π]⇒求e−14r2sin2θ在0≤r2≤1时的最大值为e−14

法4：均值不等式（不分边界和内部）
1≥4x2+y2≥4(xy)2=4|xy|
−14≤xy≤14

考察二重积分的极限 ​

知识点传送门
设 g(x) 有连续的导数, g(0)=0, g′(0)=a≠0, f(x,y) 在点 (0,0) 的某邻域内连续,则 limr→0+∬x2+y2≤r2f(x,y)dxdyg(r2)

法1：（二重积分的积分中值定理）
limr→0+f(ξ,η)⋅∬x2+y2≤r2dxdyg(r2)=limr→0+f(ξ,η)⋅∫02πdθ⋅∫0rρdρg(r2)=limr→0+f(ξ,η)⋅2π⋅r2rg′(r2)=πaf(0,0)

抽象函数的二重积分 ​

设g(x)是可微函数y=f(x)的反函数，且f(1)=0,∫01xf(x)dx=1012 ,则∫01dx∫0f(x)g(t)dt的值

法1：
ϕ(x)=∫0f(x)f−1(y)dy⇒ϕ′(x)=f−1[f(x)]⋅f′(x)=xf′(x)
∫01ϕ(x)dx=ϕ(x)x|01−∫01xϕ′(x)dx=−∫01x2df(x)=2∫01xf(x)dx=2024

法2：
∫01dx∫0f(x)f−1(y)dy=∫0f(0)dy∫0f−1(y)f−1(y)dx=∫0f(0)[f−1(y)]2dy
⇒y=f(x)−∫01x2df(x)=2∫01xf(x)dx=2024

考察抽象矩阵 ​

已知 A=[300230003], 又 BA=A+2B, 则 B= _______.

BA=A+2B⇒B(A−2E)=A⇒B=A(A−2E)−1

A−2E=[100210001]⇒(A−2E)−1=[100−210001]

解得：B=A(A−2E)−1=[300−430003]

考研真题 ​

分段积分，去绝对值 ​

难度评级：⭐️⭐️
设n为正整数，记Sn为曲线y=e−xsinx(0≤x≤nπ) 与x轴所围图形的面积，求Sn，并求limn→∞Sn.
法1：

(1)Sn=∫0nπ|e−xsinx|dx=∫0nπe−x|sinx|dx=∑k=0n−1(−1)k∫kπ(k+1)πe−xsinxdx

对∫e−xsinxdx，你可以使用👉️行列式法👈️或者👉️表格法👈️，
解得：

(2)∫e−xsinxdx=−(sinx+cosx)e−x2+C

由(2)带入(1)，得：

(3)Sn=∑k=0n−1e−kπ2(e−π+1)=e−π+12∑k=0n−1e−kπ=e−π+121−e−nπ1−e−π

解得：

(4)limn→∞Sn=1+e−π2(1−e−π)

考察全微分 ​

设函数f(x,y)可微,且f(x+1,ex)=x(x+1)2, f(x,x2)=2x2ln⁡x, 则df(1,1)=()

可先回顾这道题

f1′+exf2′=g′(x)

代入：x=0,得：

fx′(1,1)+f2′(1,1)=g′(0)limΔx→0=Δx(Δx+1)2Δx=1

解得： f1′(1,1)+f2′(1,1)=1

f1′+2xf2′=2x+4xlnx

代入：x=1,得：f1′(1,1)+2f2′(1,1)=2

解得：f1′(1,1)=0,f2′(1,1)=1⇒代入dfdf(1,1)=dy

考察二阶齐次特解 ​

【2016,数二】已知y1(x)=ex, y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程
(2x−1)y′′−(2x+1)y′+2y=0的两个解.若u(−1)=e,u(0)=−1,求u(x),并与出该微分方程的通解.

y′′−2x+12x−1y′+22x−1y=0y1′y2−y1y2′=Ce+∫2x+12x−1dxexu(x)ex−ex[u′(x)ex+u(x)ex]=C(2x−1)exu′(x)=−C(2x−1)e−xu(x)=Ce−x(2x+1)+C2

代入：u(−1)=e,u(0)=−1
解得：C=−1,C2=0

u(x)=−e−x(2x+1)y=C1ex+C2(2x+1)

一元函数技巧 ​

极限运算 ​

1.存在 ± 存在 = 存在
2.存在 ± 不存在 = 不存在
3.不存在 ± 不存在 = 不一定

1.存在 × 存在 = 存在
2.存在且非零 × 不存在 = 不存在
3.存在且为零 × 不存在 = 不一定
4.不存在 × 不存在 = 不一定

两类间断点 ​

第一类间断点是间断点处左右两侧极限值都存在,而间断点处左右极限至少有一个不存在即是第二类间断点。

连续判断 ​

1.f(x),g(x) 在R 上连续 ===> 它们的加减乘除（分母不为0）复合仍在R上连续
2.f(x),g(x) 在x=x0 处连续 ===> 它们的加减乘除f(x)g(x)(g(x0)≠0)在x=x0处连续
3.f[g(x)]在x=x0处连续

极值点 ​

极值点的第一充分：在x0的领域内,y′(x0)的左右领域变号
极值点的第二充分：y′(x0)=0,y″(x0)>0

中值定理 ​

重要定理 ​

(介值性) 若函数f 在闭区间[a,b]上连续，m 与M 为闭区间上f 的最小值 和最大值，则对于∀μ∈[m,M],至少存在一点x0∈[a,b]使得f(x0)=μ.

(零点存在定理) 若函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，至 少存在一点x0∈[a,b] 使得 f(x0)=0 .

(平均值定理) 若函数f 在闭区间[a,b]上连续，对于∀x1,x2...xn∈[a,b]至少存在一点x0∈[a,b],使得：

f(x0)=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n.

(费马引理) 可导函数的极值点是驻点.

(罗尔定理) 若函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，且f(a)=f(b),则∃ξ∈(a,b) , f′(ξ)=0 .

(拉格朗日中值定理) 若函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，则∃ξ∈(a,b),f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.

(柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，f′(x)与g′(x)不同时为零，且g(a)≠g(b),则 ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)

(积分中值定理) 设 f(x) 在 [a, b] 上连续, 则存在 ξ ∈ [a, b] (或 (a, b)), 使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a).

(积分第一中值定理)设f(x)与g(x)是[a,b]上的连续函数，且g(x)不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b] 使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx.

重要例题 ​

单中值的罗尔定理问题 ​

例7.1 设f(x)在[0,3]上连续，(0,3)上可导，f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.证明存在ξ∈(0,3),f′(ξ)=0.

关键步骤：
f在[0,2]上，取m,M为最小值、最大值
3m≤3≤3M ==> m≤1≤M
由介值定理，∃ξ∈[0,2],s.t.f(ξ)=1

例 7.2 设 f(x) 在 [0,3] 上连续，(0,3) 上二阶可导，2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)，证明:
(1) 存在 ξ∈(0,2)，f(0)=f(ξ)；
(2) 存在 η∈(0,3)，f″(η)=0。

关键步骤：
由积分中值定理，∃ξ∈(0,2),s.t.∫02f(x)dx=2f(ξ)

f在[2,3]上，取m,M为最小值、最大值
2m≤2f(0)≤2M ==> m≤f(0)≤M
由介值定理，∃ξ∈[0,2],s.t.f(ξ)=f(0)

例7.3 设f(x)与g(x)在[a,b]上连续，(a,b)上二阶可导，且二者在(a,b)存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：
(1) 存在ξ∈(a,b),f(ξ)=g(ξ);
(2)存在η∈(a,b),f′′(η)=g′′(η).

重要步骤：
不妨设f(x1),g(x2)为最大值且x1≤x2
当x1=x2时，f(x1)=g(x2)=max
当x1<x2时，
设F(x)=f(x)−g(x)
有F(x1)=f(x1)−g(x1)=max−g(x1)>0
F(x2)=f(x2)−g(x2)=f(x2)−max<0
∃ξ∈(x1,x2),s.t.F(ξ)=0 ==> f(ξ)=g(ξ)

F(a)=F(ξ)=F(b)=0 ==> F″(η)=0

例7.4 设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0,f′(a)f′(b)>0,证明存在ξ，η∈(a,b),f(ξ)=0,f′′(η)=0.

重要步骤：
不妨设f′(a),f′(b)>0
f′(a)=limx→a+f(x)−f(a)x−a>0∃δ>0,x∈(a,a+δ)时,f(x)x−a>0 ==> f(x)>0f′(b)=limx→b−f(x)−f(b)x−b>0∃δ>0,x∈(b−δ,b)时,f(x)x−b>0 ==> f(x)<0

由零点存在定理，∃ξ∈[ξ1,ξ2],s.t.f(ξ)=0

f(a)=f(ξ)=f(b) ==> f″(η)=0

例7.5 设f(x)在[0,+∞)可导，f(0)=0,limx→+∞f(x)=2,证明：
(1)存在a>0,f(a)=1 ;
(2)对于(1)中的a,存在ξ∈(0,a),f′(ξ)=1a.

重要步骤：
（无穷极限表达）
∀ϵ>0,∃X>0,∀x>X时,|f(x)−2|<ϵ

找f(ξ)≥1
ϵ0=12∃X0>0,x>X0时,f(x)∈(1.5,2.5)>1

f(X0+1)>1,f(0)=0
介值定理， f(a) = 1

拉中，f′(ξ)=1a

以辅助函数为核心的单中值问题 ​

1.四则运算引出的辅助函数，主要为乘除法，若设问形式明显可以拆解为 u′v+uv′ 或 u′v−uv′，则应构造为(uv) 或 (uv).

例7.6 设 f(x) 与 g(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导，f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明存在 ξ∈(a,b) 使得 f(ξ)g′(ξ)=f′(ξ)g(ξ).

重要步骤：
F(x)=f(x)g(x)F′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)

F(a) = F(b) = 0
罗尔定理，F′(ξ)=0

例7.7 设函数f(x)在[1,2]上可导，证明存在ξ∈(1,2)使得f(2)−2f(1)=ξf′(ξ)−f(ξ).

重要步骤：
F(x)=f(x)xF′(x)=xf′(x)−f(x)x2

xf′(x)−f(x)=xf′(x)−f(x)x21x2=F′(x)1x2=F′(x)(−1x)′

G(x)=−1x

由柯西中值定理：

f(2)2−f(1)1−12+1=ξf′(ξ)−f(ξ)ξ21ξ2

解得：f(2)−2f(1)=ξf′(ξ)−f(ξ)

例7.8 设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(1)>0,limx→0+f(x)x<0,证明：
(1)方程f(x)=0 在(0,1)内至少存在一个实根；
(2)方程f(x)f′′(x)+[f′(x)]2=0 在(0,1)内至少存在两个不同实根

重要步骤：
（极限的保号性）
x∃>0,x∈(0,δ)时,f(x)x<0 ==> f(x)<0

零点存在定理, 有实根f(ξ)=0

F(x)=f(x)f′(x)F′(x)有两个零点 F(x)有三个相等根

F(ξ)=0limx→0+f(x)=f(0)=0 ==> F(0)=0

f(0)=f(ξ)=0,由罗尔定理，f′(η)=0

三个零点, 两次罗尔定理，F′(ξ1)=F′(ξ2)=0

2.若形式不便拆解为四则运算，考虑将其拆解为f′+fg′=0,构造的辅助函数应为F(x)=eg(x)f(x),因为此时有F′=eg(f′+fg′)=0 充要于f′+fg′=0.特别地，若中值形式为f′+f=0,辅助函数为exf(x).

例7.9 设奇函数f(x)在[-1,1]上二阶可导，f(1)=1,证明：
(1)存在ξ∈(0,1)使得f′(ξ)=1 ;
(2)存在η∈(−1,1)使得f″(η)+f′(η)=1.

重要步骤：
拉中，f′(ξ)=f(1)−f(0)1−0

F(x)=ex(f′(x)−1)F′(x)=ex(f″+f′−1)

F(ξ)=0f′(x) 偶函数,f′(−ξ)=f′(ξ)=1 ==> F(−ξ)=0

例 7.10 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导，f(a)=a，∫abf(x)dx=12(b2−a2)，证明至少存在一点 ξ∈(a,b) 使得 f′(ξ)=f(ξ)−ξ+1.

f′−f−(1−x)=0
F(x)=e−x(f(x)−x)

f(a)=a ==> F(a)=0
∫ab(f(x)−x)dx=0 ==> (b−a)(f(ξ1)−ξ1)=0 ==> F(ξ1)=0

例7.11 设f(x)在[0,1]上二阶可导且f(0)=f(1),证明至少存在一点ξ∈(0,1)使得2f′(ξ)+(ξ−1)f′′(ξ)=0.

重要步骤：
注意形式f′+fg′=0其中f′的系数为1
所以需要改写式子f″(ξ)+2ξ−1f′(ξ)=0
g′(x)=2x−1g(x)=2ln(x−1)
得到：F(x)=(x−1)2f′(x)

F(1)=0
f(0) = f(1),罗尔定理,f′(η)=0 ==> F(η)=0

罗尔定理, 2f′(ξ)+(ξ−1)f′′(ξ)=0

例 7.12 设 f(x) 在 [0,1] 上二阶可导且 f(0)=0，f(1)=1，证明至少存在一点 ξ∈(0,1) 使得 ξf″(ξ)+(1+ξ)f′(ξ)=1+ξ

重要步骤：
F1(x)=exxf′(x)F1′=ex[xf″(x)+(x+1)f′(x)]
F2(x)=ex(−x)F2′=ex(−x−1)
F(x)=F1(x)+F2(x)=exx[f′(x)−1]
F′(x)=ex[xf″(x)+(1+x)f′(x)−1−x

F(0)=0
拉中，f′(η)=f(1)−f(0)=1 ==> F(η)=0

罗尔定理，F′(ξ)=0

利用柯西中值定理的单中值问题 ​

柯西中值定理是较为冷门的考点，证明题中容易被忽略.中值定理的证明通常是在某个区间 [a,b]上进行的，若问题中出现了端点a 或b 相关的其他形式则要考虑构造柯西中值定理的形式. 柯西中值定理的难点在于形式较为隐蔽，需要找到隐藏的零点，格外留意变限积分的上下限相等，或ln1等没有在问题中给出的零点，要补充上之后形式才会明显.

例7.13 设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，0<a<b,证明存在ξ∈(a,b)使得f(b)−f(a)=ξln⁡baf′(ξ).

重要步骤：
f(b)−f(a) <==> f′(ξ)
lnb−lna <==> (lnξ)′=1ξ
观察到两组拉中形式

由柯西中值定理，f′(ξ)1ξ=f(b)−f(a)lnb−lna

例7.14 已知f(x)=∫1xet2dt,证明： (1) 存在ξ∈(1,2),f(ξ)=(2−ξ)eξ2;
(2)存在η∈(1,2),f(2)=ηeη2ln⁡2 .

重要步骤：
F(x)=f(x)−(2−x)ex2
F′(x)=ex2−[(2−x)⋅2x−1]ex2=2ex2(x−1)2>0
F(1)=−e,F(2)=∫12ex2dx>0
F(ξ)=0

ln2−ln1→1η
f(2)−f(1)→f′(η)=eη2

柯西中值定理，f(2)−f(1)ln2−ln1=eη21η

双中值的组合模型 ​

（形式一致但不等的双中值问题）
如果问题中出现两个中值形式一模一样，且特意强调了二者不等，那么应该在两个不交的区间分段用拉格朗日.因为拉格朗日只能保证中值点存在，而无法确定位置，若使用的区间有重叠则无法保证二者不等.两区间的分段点通常会在第一问中给出提示，一定要积极联系前几小间.

例 7.15 设 f(x) 在 [0,1] 上连续，(0,1) 上可导，f(0)=0，f(1)=1，证明：
(1) 存在 x0∈(0,1) 使得 f(x0)=1−x0；
(2) 证明 (0,1) 上存在不相等的 ξ，η 使得 f′(ξ)f′(η)=1.

重要步骤：
F(x)=f(x)+x−1F(0)=−1F(1)=1
由零点存在定理，∃x0∈(0,1),s.t.F(x0)=0

由拉格朗日中值定理，∃ξ∈(0,x0),s.t.F(x0)−F(0)x0−0=f′(ξ)+1=1x0
由拉格朗日中值定理，∃η∈(x0,1),s.t.F(1)−F(x0)1−x0=f′(η)+1=11−x0

f′(ξ)f′(η)=1−x0x0⋅x01−x0=1

例 7.16 设 f(x) 在 [0,1] 上连续，(0,1) 上可导，f(0)=0，f(1)=1，证明：
(1) 存在 x0∈(0,1) 使得 f(x0)=2−3x0；
(2) 证明 (0,1) 上存在不相等的 ξ，η 使得 [1+f′(ξ)][1+f′(η)]=4.

重要步骤：
F(x)=f(x)−2+3xF(0)=−2F(1)=2
存在零点x0

F(x0)−F(0)x0−0=f′(ξ)+3=2x0
F(1)−F(x0)1−x0=f′(η)+3=21−x0

[1+f′(ξ)][1+f′(η)]=4

例 7.17 设 f(x) 在 [0,1] 上连续，(0,1) 上可导，f(0)=0，f(1)=13，证明存在 ξ∈(0,12)，η∈(12,1) 使得 f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2.

重要步骤：
F(x)=f(x)−13x3F(0)=0F(1)=1

F′(ξ)+F′(η)=F(12)−F(0)12−0+F(1)−F121−12=0

得证：f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2

例7.18 设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)上可导，f(0)=0,f(1)=1,证明(0,1)上存在不相等的ξ,η使得1f′(ξ)+1f′(η)=2.

重要步骤：

f(0)=0,f(1)=1,∃x0∈(0,1),s.t.f(x0)=12

由拉格朗日中值定理，f′(ξ)=f(x0)−f(0)x0−0=12x0
由拉格朗日中值定理，f′(η)=f(1)−f(x0)1−x0=12(1−x0)

得证：1f′(ξ)+1f′(η)=2

（形式不一致的双中值问题）
如果问题中出现两个中值形式不一致，则必有形式的简单和复杂之分，简单中值往往通过拉格朗日中值定理得出，复杂的中值则需要构造柯西中值定理的形式.

例 7.19 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导，证明存在 ξ,η∈(a,b) 满足：
(1) 若 a>0，f′(ξ)=ηf′(η)ln⁡(ba)b−a；
(2) 若 f′≠0，f′(ξ)f′(η)=eb−eab−ae−η；
(3) 若 ab>0，abf′(ξ)=η2f′(η)；
(4) 若 f′≠0，a>0，f′(ξ)=a+b2ηf′(η)。

重要步骤：
（1） f′(ξ)=f(b)−f(a)b−aηf′(η)=f(b)−f(a)lnb−lna

（2） f′(η)eη=f(b)−f(a)eb−ea=f′(ξ)(b−a)eb−ea

（3） f′(η)1η2=f(b)−f(a)−1b+1a=(b−a)f(ξ)b−aab=abf′(ξ)

（4） f′(η)η=f(b)−f(a)12b2−12a2=(b−a)f′(ξ)12(b−a)(b+a)=2f′(ξ)a+b

例 7.20 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导，f′(x)>0，若极限 limx→a+f(2x−a)x−a 存在，证明：
(1) 在 (a,b) 内有 f(x)>0；
(2) ∃ξ∈(a,b)，使得 b2−a2∫abf(x)dx=2ξf(ξ)；
(3) ∃η∈(a,b) 且 η≠ξ 使得 f′(η)(b2−a2)=2ξξ−a∫abf(x)dx.

重要步骤：

limx→a+=0=f(a)f′(x)>0 ==> f(x)>0

柯西中值定理，b2−a2∫abf(x)dx−∫aaf(x)dx=2ξf(ξ)

化简：b2−a2∫abf(x)dx=2ξ(ξ−a)f′(η)

若上述等式成立，由（2）可知：f(ξ)=(ξ−a)f′(η)

由拉格朗日中值定理，f′(η)=f(ξ)−f(a)ξ−aη∈(a,ξ)

例7.21 设f(x)在[1,2]上连续，(1,2)上可导，且导数不为0，证明(1,2)内存在ξ , η , ζ使得f′(ζ)f′(ξ)=ξη .

最复杂的拎出来用柯西，单独的导数用拉格朗日，剩下的就是第三个中值，为固定常数

重要步骤：
化简：ξf′(ξ)=ηf′(ζ)

柯西中值定理，f′(ξ)1ξ=f(2)−f(1)ln2−ln1

拉格朗日中值定理，f(2)−f(1)ln2=f′(ζ)⋅1ln2

1<ln2<2→η=1ln2

泰勒展开 ​

泰勒公式 ​

(泰勒公式)
带皮亚诺型余项的泰勒公式：
若 f(x)在 x0处有 n 阶导数，则有：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)(x−x0)22!+...+f(n)(x0)(x−x0)nn!+o((x−x0)n)

带拉格朗日型余项的泰勒公式：
若f(x)在[a,b]上有n阶导数，在(a,b)上有n+1阶导数，则对任意的x,x0∈[a,b],至少存在一点ξ∈(a,b)使得：
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)(x−x0)22!+...+f(n)(x0)(x−x0)nn!+f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1(n+1)!

重要例题 ​

泰勒展开证明等式/不等式问题 ​

相较于中值定理，泰勒展开的证明题并没有太多套路化的流程，难度会更大，但在考研真题中出现的泰勒展开问题还是有迹可循的.

（特殊定点展开）
考研范围内的题目，通常需要我们在某一特殊定点展开，这个特殊点按照“导数零点(极值点)一中点一端点”的顺序选取，导数零点展开为了形式简洁，中点和端点展开是为了相消方便. 在展开前可以对出现哪些项进行预判，如果出现无法处理和放缩的项，应考虑换种方式展开.展开后代入的x通常按照“函数已知点——中点一端点”进行选取，当然也会有将x视作动点的情况.

例 7.22 设f(x)在[a,b] 上二阶可导，且 f′(a)=f′(b)=0,证明 ∃ξ∈(a,b)使得|f″(ξ)|⩾4(b−a)2|f(b)−f(a)|.

看到有驻点信息，在驻点展开

重要步骤：
f(x)=f(a)+f″(ξ)(x−a)22f(x)=f(b)+f″(η)(x−b)22

令x=a+b2
f(a)+f″(ξ)(b−a)28=f(b)+f″(η)(b−a)28

|f(b)−f(a)|=(b−a)28|f″(ξ)−f″(η)|≤(b−a)28[|f″(ξ)|+|f″(η)|]≤(b−a)24max{|f″(ξ)|,f″(η)|}

例 7.23 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上二阶可导，|f″(x)|⩾1，f(a)=f(b)=0，证明maxa⩽x⩽b|f(x)|⩾18(b−a)2。

重要步骤：
max|f(x)|=|f(x0)|,x0∈(a,b) ==> 由费马引理， f′(x0)=0

x0处展开，f(x)=f(x0)+f″(ξ)(x−x0)22
f(x0)=−f″(ξ)(a−x0)22=−f″(η)(b−x0)22

|f(x0)|=12|f″(ξ)(a−x0)22+f″(η)(b−x0)22|≤14[(x0−a)2+(b−x0)2]≤18(b−a)2

例 7.24 设 f(x) 在 [−1,1] 上有三阶连续导数, f(−1)=0, f(1)=1, f′(0)=0, 证明 ∃ξ∈(−1,1), f‴(ξ)=3.

重要步骤：
f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2x2+f‴(ξ)x36

1=f(1)=f(0)+f″(0)2+f‴(ξ)6
0=f(−1)=f(0)+f″(0)2−f‴(η)6
解得：f‴(ξ)+f‴(η)=6

2m≤f‴(ξ)+f‴(η)≤2M
∃ξ1∈(−1,1),f‴(ξ1)=3

例 7.25 设 f(x) 在区间 [0,1] 上具有二阶导数，且 f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明：
(1) ∃ξ∈(0,1) 使得 f′(ξ)=0;
(2) ∃η∈(0,1) 使得 f″(η)<−2.

重要步骤：
积分中值定理，∃ξ1∈(0,1),s.t.f(ξ1)=∫01f(x)dx=1

罗尔定理，f′(ξ)=0

0=f(0)=f(ξ)+f1″ξ22
1=f(1)=f(ξ)+f2″(1−ξ)22

1=2f(ξ)+12[f1″ξ2+f2″(1−ξ)2]
f1″ξ2+f2″(1−ξ)2=−2

反证：∀x∈(0,1),f″≥−2
−2≥−2[(ξ2+(1−ξ)2]
ξ2−ξ≥0 有矛盾

故∃η∈(0,1),s.t.f″(η)<−2

例 7.26 设 f(x) 二阶可导，且 f′(0)=f′(1)，|f″(x)|≤1，证明：
(1) 当 x∈(0,1) 时，有 |f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x|≤x(1−x)2；
(2) |∫01f(x)dx−f(0)+f(1)2|≤112。

重要步骤：
f(x)=f(0)+f′(0)x+f1″x22
f(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+f2″(x−1)22

(1−x)f(x)=(1−x)f(0)+f′(0)x(1−x)+f1″x2(1−x)2
xf(x)=xf(1)+f′(1)(x−1)x+f1″(x−1)2x2

f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x=x(1−x)2[xf1″+(1−x)f2″]
|f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x|≤x(1−x)2

|∫⋯dx|≤∫|⋯|dx≤112

（动点展开）
在定点展开中最后的问题落脚于某几个具体点的性质，若问题侧重于函数的整体性质时，如证明某阶导数的界，考虑动点展开，而代入定点.还有另一个明显的特征，是用高阶导的性质反推低阶导的性质(如导数有界推函数有界),这类问题在考研中几乎不出现，视情况掌握即可.

例 7.27 设 f(x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 ∫01f(x)dx=0，|f′(x)|⩽1，试证明对 ∀x∈(0,1) 都有 |f(x)|⩽12。

重要步骤：
判断出该题为动点展开，给出∫01f(x)dx=0需要设出原函数

重新梳理条件：
F(x)=∫0xf(t)dtF(0)=F(1)=0|F″|≤1证明：|F′|≤12

F(x0)=F(x)+F′(x)(x0−x)+F″(ξ)(x0−x)22
0=F(x)+F′(x)(−x)+F1″x22
0=F(x)+F′(x)(1−x)+F2″(1−x)22

|F′(x)|=12|F1″x2−F2″(1−x)2|≤12[x2+(1−x)2]≤12

例 7.28 设 f(x)在R 上二阶可导，|f(x)|⩽M ,|f″(x)|⩽N ,证明∀x∈R ,|f′(x)|⩽2MN.

构造中点：x展开，代入x±h

重要步骤：

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f1″h22
f(x−h)=f(x)−f′(x)h+f2″h22

|2f′(x)h|=|f(x+h)−f(x−h)+f1″h22+f2″h22|
|2f′(x)h|≤2M+h2N
|f′(x)|≤Mh+Nh2Mh+Nh2≥2MN

得证：|f′(x)|≤2MN

例 7.29 设f(x)在R 上二阶可导，|f(x)|⩽M,|f′′′(x)|⩽N,证明∀x∈R ,|f′(x)|⩽9M2N83.

重要步骤：

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f″(x)h22+f1‴h36
f(x−h)=f(x)−f′(x)h+f″(x)h22−f2‴h36

|2f′(x)h|=|f(x+h)−f(x−h)+h36(f2‴−f1‴)
|f′(x)|≤Mh+Nh26=M2h+M2h+Nh26

M2h+M2h+Nh26≥3M2N243

|f′(x)|≤9M2N83

辅助多项式法 ​

辅助多项式法适用于类似例 7. 25 的题型，给定某些点的函数值或其它数值， 要证明存在某点ξ使得f(n)(ξ)=k(n∈N+).相比传统的泰勒展开，辅助多项式的运算和书写更为简便，旨在找到一个n次(k=0考虑 n−1次)多项式p(x),使其满足函数所满足的一切性质，构造辅助函数F(x)=f(x)−p(x),由多项式的构造方法可知F(x)由多个零点或驻点，反复利用罗尔定理即得.掌握这样的方法会使此类题目变得简单很多.

例 7.30 设 f(x) 在 [0,2] 连续，(0,2) 上二阶可导，f(0)=0，f(1)=2，f(2)=0，证明存在 ξ∈(0,2)，f″(ξ)=−4

重要步骤：
令g(x)=ax2+bx+cg(0)=0g(1)=2g(2)=0
解得：g(x)=−2x2+4x

令F(x)=f(x)−g(x) ==> F(0)=F(1)=F(2)=0

F″(η)=0 ==> f″(η)=g″(η)=−4

例 7.31(使用辅助多项式法)设f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数，且f(0)=0, f(1)=1 , ∫01f(x)dx=1,证明：
(1) ∃ξ∈(0,1)使得f′(ξ)=0 ;
(2) ∃η∈(0,1)使得f″(η)<−2.

重要步骤：
令g(x)=ax2+bx+cg(0)=0g(1)=1∫01g(x)dx=1

解得：g(x)=−3x2+4x

F(x)=f(x)−g(x)F(0)=F(1)=0∫01F(x)dx=0 ==> F(ξ)=0

f″=g″=−6<−2，即证

例 7.32 （使用辅助多项式法）设 f(x) 在 [−1,1] 上有三阶连续导数，f(−1)=0，f(1)=1，f′(0)=0，证明 ∃ξ∈(−1,1)，f‴(ξ)=3。

条件不够，补条件
F(−1)=F(1)=0,F′(0)=0推不出三阶导
补条件：F(0)=0→两次罗尔F1′=F2′=0
F1′=F2′=F′(0)=0 ==> F1″=F2″=0 ==> F‴=0

重要步骤：
令g(x)=ax3+bx2+cx+d
g(−1)=0,g(1)=1,g′(0)=0,g(0)=f(0)
解得：g(x)=12x3+(12−f(0))x2+f(0)

F‴=f‴−g‴=0f‴=g‴=3

例 7.33 设 f(x) 在区间 [0,1] 上二阶可导，f(0)=f(1)=0 且有 max0⩽x⩽1f(x)=2，证 明 min0⩽x⩽1f″(x)⩽−16.

重要步骤：
令g(x)=ax2+bx+cg(0)=g(1)=0g(x0)=2
g(x)=2x02−x0(x2−x)

f″=g″=4x02−x0
x0(x0−1)≥−14 ==> f″≤−16

例 7.34 设f(x)在[0,1]具有连续导数，∫01f(x)dx=52,∫01xf(x)dx=32,证明∃ξ∈(0,1)使得f′(ξ)=3 .

重要步骤：
令g(x)=3x+1
F(x)=f(x)−(3x+1)

得到两个条件：∫01F(x)dx=∫01xF(x)dx=0 ==> F′(ξ1)=F′(ξ2)=0
但是，ξ1,ξ2是否重合？不能确定

这时候应该需要去找原函数
G(x)=∫0xF(t)dtG(0)=G(1)=0
∫01xF(x)dx=∫01xdG(x)=xG(x)|01−∫01G(x)dx=0 ==> ∫01G(x)dx=0 ==> ∃ξ∈(0,1),G(ξ)=0

G(0)=G(ξ)=G(1)=0⇒两次罗尔G′(ξ1)=G′(ξ2)=0⇒罗尔G″(ξ3)=0
f′=g′=3

例 7.35 设 f(x) 在闭区间 [1,3] 上三阶可导且 ∫12f(x)dx=∫12f(x+1)dx, f′(2)=0, 证明: ∃ξ∈(1,3) 使得 f‴(ξ)=0.

重要步骤：
三阶导等于0,构造二次多项式
g(x)=a(x−2)2+b
F(x)=f(x)−g(x)
三阶导需要三个一阶导 ==> 补充条件：F(2)=0
g(x)满足：∫12g(x)dx=∫12f(x)dx,g′(2)=0,g(2)=f(2)
解得：a=3[∫12f(x)dx+f(2)],b=f(2)

F(x)=f(x)−3[∫12f(x)dx+f(2)](x−2)2−f(2)
∫12F(x)dx=∫23F(x)dx=0,F′(2)=0,F(2)=0
积分中值定理，∃ξ1∈(1,2),ξ2∈(2,3),s.t.F(ξ1)=F(ξ2)=0

F(ξ1)=F(2)=F(ξ2)=0⇒两次罗尔F′(η1)=F′(η2)=0+F′(2)=0⇒两次罗尔F″(ζ1)=F″(ζ2)=0⇒罗尔F‴(ξ)=0

常数 K 值法 ​

常数 K 值法用于解决一些需要多次泰勒或放缩的问题，其使用条件是最后的问题可化为 f(n)(ξ)=Φ(a,b)，即一侧为中值（高阶）导，另一侧为只含有区间端点 a 和 b 的函数，我们将 Φ(a,b) 记作常数 K，构造辅助函数时将 Φ(a,b)−K=0 中的 b 动起来设为自变量，且在两端同乘来消掉各项分母，这样做的目的与辅助多项式类似，人为构造更多的零点。通过研究辅助函数在区间端点处的函数值与各阶导数来多次利用罗尔定理即可证明。

尽管证明拉格朗日中值定理很容易且方法众多，但我们可利用该定理作为例子演示 K 值法，要证 f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a，记 K=f(b)−f(a)b−a，b 动起来变为 x，辅助函数即为 F(x)=f(x)−f(a)−K(x−a)，显然 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知 F′(ξ)=0，代入即得 f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a。

例7.36 设f(x)在[a,b]上二阶可导，证明存在ξ∈(a,b)使得f(a)−2f(a+b2)+f(b)=(b−a)24f″(ξ).

重要步骤：
f″(ξ)=4(b−a)2[f(a)−2f(a+b2)+f(b)]
K=4(b−a)2[f(a)−2f(a+b2)+f(b)]
F(x)=4f(a)−8f(a+x2)+4f(x)−K(x−a)2

有F(a)=F(b)=0⇒罗尔F′(ξ1)=0
F′(x)=−4f′(a+x2)+4f′(x)−2K(x−a)

有F′(a)=0+F′(ξ1)=0⇒罗尔F″(ξ2)=0
F″(x)=−2f″(a+x2)+4f″(x)−2K
找不到零点，并且代入F″(ξ2)=0得不到结果(f″(ξ)=K)

往回看，一阶导F′(ξ1)=−4f′(a+ξ12)+4f′(ξ1)−2K(ξ1−a)=0
K=f′(ξ1)−f′(a+ξ12)ξ1−a2⇒拉中K=f″(ξ)，得证！

例 7.37 设 f(x) 在 [a,b] 上三阶可导, 证明存在 ξ∈(a,b) 使得f(b)=f(a)+12(b−a)[f′(a)+f′(b)]−112(b−a)3f‴(ξ)

重要步骤：
F(x)=12f(a)−12f(x)+6(x−a)[f′(a)+f′(x)]−(x−a)3K
F(a)=F(b)=0⇒罗尔F′(ξ1)=0

F′(x)=−12f′(x)+6[f′(a)+f′(x)]+6(x−a)f″(x)−3(x−a)2K
F′(a)=F′(ξ1)=0⇒罗尔F″(ξ2)=0

F″(x)=6(x−a)f‴(x)−6(x−a)K
已经f三阶导，并且找不到零点，开始代入，找结果(K=f‴(ξ)
F″(ξ2)=6(ξ2−a)f‴(ξ2)−6(ξ2−a)K=0⇒K=f‴(ξ2)，得证！

例 7.38 设f(x)在[-a,a](a>0)上有二阶连续导数，证明[−a,a]上存在一点ξ使得∫0af(x)dx=a2[3f(0)−f(−a)]+512f′′(ξ)a3.

重要步骤：
F(x)=12∫0xf(t)dt−6x[3f(0)−f(−x)]−5x3K
F(0)=F(a)=0⇒罗尔=F′(ξ1)=0

F′(x)=12f(x)−18f(0)+6f(−x)−6xf′(−x)−15x2K
F′(0)=F′(ξ1)=0⇒罗尔F″(ξ2)=0

F″(x)=12f′(x)−6f′(−x)−6f′(−x)+6xf″(−x)−30xK
找不到零点，且f达到了二阶导，所以开始代入找结果(K=f″(ξ)
F″(ξ2)=12[f′(ξ2)−f′(−ξ2)]+6ξ2f″(−ξ2)−30ξ2K=0
化简得：K=4f″(ξ3)+f″(−ξ2)5

5m≤4f″(ξ3)+f″(−ξ2)≤5M⇒m≤4f″(ξ3)+f″(−ξ2)5≤M
∃ξ介于ξ3与−ξ2之间,s.t.f″(ξ)=4f″(ξ3)+f″(−ξ2)5

得证：K=f″(ξ)

总结 ​

中值定理和泰勒展开是考研数学最难的知识点，题目难度上限极高，想全部掌握性价比是非常低的，故在考研范围内我们仅需掌握中值定理的证明套路与定点展开的泰勒公式即可.一些补充方法如辅助多项式、K 值法等等视情况掌握，对于这部分内容，最好的学习资源并非视频，而是知网，在知网中搜索关键词或主题如“辅助多项式” “常数 K 值法”“反解微分方程法”等等，即会出现大量高校从事基础课教学的同志发表的文章(搜索如下图例).如武忠祥老师于 1998 年发表了《一类微分学问题的新方法》,阐述了如何应用辅助多项式解决问题.这些文章通常会总结方法流程并附带例题，其中原理部分不必深究，阅读这些文献有助于博采众长，从一手资料中学习补充方法，本讲义及例题仅为前人方法拙劣的转述而已.同时希望大家在学习过程中发掘新的方法，并不吝与大家分享.

二元函数 ​

极限存在、连续性、可导性、可微性 ​

f(x,y)在(x0,y0)处
① 极限存在： limx→x0y→y0f(x,y)存在

② 连续性： limx→x0y→y0f(x,y)=f(x0,y0)

③ 可导性： fx′(x0,y0)=limx→x0f(x,y0)−f(x0,y0)x−x0存在

fy′(x0,y0)=limy→y0f(x0,y)−f(x0,y0)y−y0存在

（先代后导）求x的偏导可以先将y0代入，看x→x0的极限存不存在（化为一元极限）

④ 可微性：

（1） △z=f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)
ρ=(△x)2+(△y)2

（2） △z=f(x,y)−f(x0,y0)=A(x−x0)+B(y−y0)+o(ρ)
ρ=(x−x0)2+(y−y0)2

（3）

lim△x→0△y→0[f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0)]−[A△x+B△y](△x)2+(△y)2=0

（4）

limx→x0y→y0[f(x,y)−f(x0,y0)]−[A(x−x0)+B(y−y0)](x−x0)2+(y−y0)2=0

结论1：

设f(x,y)={xαyβx2+y2, x2+y2≠00, x2+y2=0

（1） f(x,y) 在点 (0,0) 处连续 ⇔α+β>2

（2）f(x,y) 在点 (0,0) 处可微 ⇔α+β>3

结论2：若f(x,y)在点(x0,y0)处连续，且

limx→x0y→y0f(x,y)−Ax−By−C(x−x0)2+(y−y0)2=0

（1）f(x0,y0)=Ax0+By0+C
（2）fx′(x0,y0)=Afy′(x0,y0)=B
（3）f(x,y)在(x0,y0)可微，且df|(x0,y0)=Adx+Bdy
（4）曲面z=f(x,y)在点(x0,y0)处的切平面为z=Ax+By+C

总结：
alt text 注：连续可偏导指的是偏导数连续

偏导数 ​

偏导数连续判断条件 ​

limx→0y→0fx′(x,y)=fx′(0,0)且limx→0y→0fy′(x,y)=fy′(0,0)

例：
f(x,y)={xyx2+y2, x2+y2≠00, x2+y2=0

fx′(x,y)={y3(x2+y2)32, x2+y2≠00, x2+y2=0

limx→0y→0y3(x2+y2)32=limr→0+r3sin3⁡θr3不存在

二阶偏导定义 ​

fxy″(0,0)⇒[fx′(x,y)]y′|(0,0)limy→0fx′(0,y)−fx′(0,0)y−0
fyx″(0,0)⇒[fy′(x,y)]x′|(0,0)limx→0fy′(x,0)−fy′(0,0)y−0

（先代后导）求fyx″(0,0)
fyx″(0,0)⇒求fy′(0,0)⇒代入y=0fy′(x,0)⇒对x求导fyx″(x,0)⇒代入x=0fyx″(0,0)

二阶混合偏导数结论 ​

二阶混合偏导数fxy″(x0,y0),fyx″(x0,y0)连续必相等，不连续就不一定相等

反例：

f(x,y)={xyx2−y2x2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)

fxy″(0,0)=limy→0fx′(0,y)−fx′(0,0)y−0
fx′(0,y)=limΔx→0f(Δx,y)−f(0,y)Δx=limΔx→0ΔxyΔx2−y2Δx2+y2Δx=−y
fxy″(0,0)=limy→0−y−0y−0=−1

fy′(x,0)=limΔy→0f(x,Δ)−f(x,0)Δy=x
fyx″(x,0)=1⇒fyx″(0,0)=1

fxy″(0,0)≠fyx″(0,0)

全微分 ​

定义：df(x,y)=fx′(x,y)dx+fy′(x,y)dy

例题

二重极限计算 ​

1.直接代入计算

limx→0y→0ex+sin⁡x1+x+y=e0+sin⁡01+0+0=1

2.等价代换(如：sin⁡x→x→0x)

limx→0y→0sin(x+y)x+y=x+yx+y=1limx→0y→0tan(x+y)⋅sin1x+y=(x+y)⋅sin1x+y=0limx→0y→0xy−sinxyln(1+2x3y3)=limx→0y→016x3y32x3y3=112

3.化简：拆项、提项、同乘、同除
但洛必达不可用（二元不可洛必达）

4.夹逼定理（加绝对值后放缩）

（1）limx→0y→0x2yx2+y2

0≤|x2yx2+y2|=x2x2+y2|y|≤|y|=0

limx→0y→0|x2yx2+y2|=0 <==> limx→0y→0x2yx2+y2=0

（2）

limx→0y→01+x2y2−1x2+y2=limx→0y→012x2y2x2y20≤12x2y2x2y2≤x2x2y212y2≤12y2=0limx→0y→01+x2y2−1x2+y2=0

5.换元（普通换元/极坐标换元）

6.用结论
（1）
alt text

（2）极坐标
令{x=r⋅cos⁡θy=r⋅sin⁡θ ==> limr→0+⋯

① 若结果与θ有关，则不存在
② 若结果分母有θ，换方法

极值点与驻点 ​

驻点定义：fx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)=0

结论：
1.极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点
反例1：f(x,y)=|x|+|y|
反例2：f(x,y)=x3+y3

2.偏导数存在的极值点一定是驻点

闭区域最值 ​

方法：边界+内部，分别求，再比较

求fx′(x,y),fy′(x,y)找偏导为0以及不存在的点，求出函数值

边界（条件极值/条件最值成边界最值）
（1）Lagrange乘数法
（2）将条件代入目标函数（降维）
（3）极坐标（条件与圆或椭圆有关）
（4）不等式（柯西、均值）（一边是常数）

注：
（1）内部的可疑点，若不在内部，删点
（2）若内部没有可疑点，则在边界上的最值，即为所求最值
（3）若可疑点只有一个，随便找一个点作比较
（4）用Lagrange乘数法时，若目标函数不好求导，应等价转化
例如：例 |◻|⇒◻2, ◻⇒◻, e◻⇒◻
（5）边界曲线不封闭，讨论端点
（6）均值不等式
算术平均值：a+b2
几何平均值：ab
平方平均值：a2+b22 （最大）
a2+b22≥a+b2≥ab(″=″当且仅当a=b成立)
a2+b22≥a+b2a,b无需求
a+b2≥aba,b大于0
（7）柯西不等式（离散型）
乘积和的平方 ≤ 平方和的乘积
(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)(″=″当且仅当(a,b)与(x,y)线性相关时成立)

参考这道例题

柯西不等式解边界上的最值 ​

例1：求|2x+3y| 在条件x2+4y2=4下的最值
(2x+3y)2=(2x+32⋅2y)2≤[22+(32)2]⋅(x2+4y2)
当x2+4y2=4时，(2x+3y)2≤4⋅[22+(32)2]=25⇒−5≤2x+3y≤5

例2：求x+y在条件x2+y2=1时的最大值和最小值
(x+y)2≤2(x2+y2)
当x2+y2=1时,(x+y)2≤2⇒−2≤x+y≤2

结论：条件和目标函数：一个是乘积和，一个是平方和，则考虑使用柯西不等式

一元积分 ​

初等函数 ​

初等函数是由基本初等函数（反对幂三指）进行有限次的加减乘除复合，并且能用一个解析式表达的函数（分段函数不是初等函数）

原函数 ​

1.原函数定义
① ∫f(x)dx=∫axf(t)dt+C ==> f(x)的全体原函数
② ∫axf(t)dt ==> f(x)的一个原函数

2.原函数存在定理（原函数存在指的是不定积分∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C）
① 区间I上连续函数必有原函数, 并且原函数为 ∫axf(t)dt+C
② 函数在区间I上有第一类或无穷间断点时, 必不存在原函数
③ 函数有震荡间断点时, 不一定存在原函数
f(x)={2xsin⁡1x−cos⁡1xx≠00x=0F(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0
f(x)不连续且有震荡间断点

3.关于 f(x) 在 (a,b) 上有原函数 F(x)，要注意以下几点：在 (a,b) 上
(1) f(x) 不一定连续；
(2) f(x) 不一定是初等函数；
(3) F(x) 不一定是初等函数；
(4) 由原函数定义，F′(x)=f(x)，因而 F(x) 连续.

导函数的奇偶性与周期性 ​

可导的奇函数的导函数为偶函数
可导的偶函数的导函数为奇函数
可导的周期函数的导函数仍然是周期函数且周期不变

求导会改变奇偶性
求导周期不变

原函数的奇偶性与周期性 ​

1.连续的奇函数的所有原函数均为偶函数
2.连续的偶函数只有一个原函数为奇函数（C = 0）
3.连续的周期函数的所有原函数均为周期函数 <==> ∫0Tf(x)dx=0

连续的周期奇函数的所有原函数均为周期函数

函数可积（仅黎曼可积） ​

1.可积定理（定积分 ∫abf(x)dx 存在）

① 充分条件
(1)设f(x) 在区间[a,b] 上连续，则f(x) 在[a,b] 上可积。
(2)设f(x) 在区间[a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则f(x) 在[a,b] 上可积。
(3)设f(x) 在区间[a,b] 上单调有界，则f(x) 在[a,b] 上可积。

② 必要条件
定理：若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必有界。
该定理指出，任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积，如狄利克雷函数在[0,1] 上有界 但是不可积。

2.口诀
（1）可导必连续，连续必可积，可积必有界
（2）无界必不可积，有无限个间断点必不可积
（3）有界不一定可积

3.设F(t)=∫axf(t)dt
① f(x)在[a,b]上可积，则F(x)在[a,b]上连续
② f(x)在[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上可导，且F′(x)=f(x)
③ 若x=x0为f(x)的可去间断点，则F(x)在x=x0处可导，且F′(x0)≠f(x0)F′(x0)=limx→x0f(x)
④ 若x=x0为f(x)的跳跃间断点，则F(x)在x=x0处不可导

4.连续、可积、原函数存在关系
虚线表示推导不出

5.绝对值讨论
(1)|f(x)|在[a,b]可积，f(x)在[a,b]不一定可积 （反例：f(x)={1,x 为有理数−1,x 为无理数）
(2)f(x)在[a,b]可积，|f(x)|在[a,b]一定可积

可积运算 ​

因为可积说明limn→∞∑i=1nf(ξ)⋅Δxi存在，所以与极限运算一样

1.可积 ± 可积 = 可积
2.可积 ± 不可积 = 不可积
3.不可积 ± 不可积 = 不一定

1.可积 × 可积 = 可积
2.可积 × 不可积 = 不一定
3.不可积 × 不可积 = 不一定

积分比较定理 ​

1.若f(x)与g(x)在[a,b]上连续，f(x)≤g(x)，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx(b≥a)。
2.若f(x)与g(x)在[a,b]上连续，f(x)≤g(x)（且f(x)≠g(x)），则∫abf(x)dx<∫abg(x)dx(b>a)。
3.若f(x)与g(x)在[a,b]上连续，f(x)<g(x)，则∫abf(x)dx<∫abg(x)dx(b>a)。
4.若f(x)在[a,b]上连续，f(x)≥0且f(x)≠0，则∫abf(x)dx>0。
5.若f(x)在[a,b]上可积，f(x)≥0且f(x)≠0，则∫abf(x)dx≥0。

积分中值定理 ​

1.若f(x)在[a,b]上连续，则∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)ξ∈[a,b]
2.若f(x)在[a,b]上连续，则∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)ξ∈(a,b)
3.若f(x)与g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号，则∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dxξ∈[a,b]

整体换元法 ​

整体换元法触发特征：

ax+bax+bcx+da⋅ex+ba⋅ex+bc⋅ex+d

反常积分技巧 ​

反常积分的敛散性 ​

1.无穷积分的反常积分 ==> p积分： ∫a+∞1xpdx{收敛p>1发散p≤1
2.有瑕点（无界的点）的反常积分 ==> q积分： ∫ab1(x−a)qdx{收敛q<1发散q≥1

口诀：想要收敛看无穷和瑕点，无穷用p积分，瑕点用q积分，P大Q小（收敛），形式不符合就放缩成pq积分形式。

反常积分的奇偶性 ​

设∫−∞+∞f(x)dx 收敛，则∫−∞+∞f(x)dx={2∫0+∞f(x)dxf(x)为偶0f(x)为奇

反常积分敛散性的四则运算 ​

1.∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx （拆积分区间）

收敛 ± 收敛 = 收敛
收敛 ± 发散 = 发散
发散 ± 发散 = 发散

2.∫a+∞[f(x)+g(x)]dx=∫a+∞f(x)dx+∫a+∞g(x)dx （拆被积函数）

收敛 ± 收敛 = 收敛
收敛 ± 发散 = 发散
发散 ± 发散 = 不一定

重积分 ​

极坐标交换积分次序 ​

① 将θ改成x，r改成y

∫−π4π2dθ∫02cos⁡θf(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr∫−π4π2dx∫02cos⁡x⋯dy

alt text

∫02dy∫−π4arccosy2⋯dx+∫22dy∫−arccosy2arccosy2⋯dx∫02dr∫−π4arccosr2f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdθ+∫22dr∫−arccosr2arccosr2f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdθ

求含有二重积分的极限 ​

1.二重积分的积分中值定理（被积函数 ≠0）
内容：设f(x,y)在闭区域D上连续，SD为区域的面积，则∃(ξ,η)∈D,s.t.∬Df(x,y)dxdy=f(ξ,η)⋅SD

2.洛必达（被积函数 --> 0）
化简二重积分：
（1）换序
（2）换坐标系
（3）换元

3.广义的积分中值定理（被积函数为两个函数相乘时）
内容：
（1）（定积分）若f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号，则∃ξ∈[a,b],s.t.∫abf(x)g(x)=f(ξ)∫abg(x)dx
（2）（二重积分）若f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续，g(x,y)不变号，则∃(ξ,η)∈D,s.t.∬Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(ξ,η)∬g(x,y)dxdy

注意：不能确定被积函数是否趋于0，当它不为0，用中值定理

形心 ​

平面曲线的形心 (∫Lxds∫Lds,∫Lyds∫Lds)

空间曲线的形心(∬σxds∬σds,∬σyds∬σds,∬σzds∬σds)

平面的形心(∮xdxdy∮1dxdy,∮ydxdy∮1dxdy)

空间实心体的形心 (∬Ωxdv∬Ω1dv,∬Ωydv∬Ω1dv,∬Ωzdv∬Ω1dv)

几何 ​

旋转体体积 ​

绕x轴旋转旋转体体积 alt text 看成柱体
绕y轴旋转旋转体体积
alt text 看成长方体

旋转体侧面积 ​

alt text

曲率公式 ​

设曲线的直角坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M处的切线的斜率为y′=tanα，所以

sec2α×dαdx=y″dαdx=y″1+tan2α=y″1+y′2dα=y″1+(y′2)dx

又ds=1+y′2dx，故曲线L在M点处的曲率为

K=dαds=|y″|(1+y′2)32

设曲线是由参数方程{x=φ(t)y=ω(t)给出，利用参数方程求导法可得

K=|φ′(t)ω″(t)−ω′(t)φ″(t)|[φ′2(t)+ω′2(t)]32

曲率半径：

ρ=1K

曲线积分 ​

第一类曲线积分 ​

1.直接坐标： ∫Lf(x,y)ds=∫abf(x,y)1+y′2dx

2.参数方程：{x=x(t)y=y(t)∫Lf(x,y)ds=∫αβf(xt,yt)xt′2+yt′2dt

3.极坐标： {x=r⋅cos⁡θy=r⋅sin⁡θ∫Lf(x,y)ds=∫αβf(r(θ)⋅cos⁡θ,r(θ)⋅sin⁡θ)r2+r′2dθ

4.几何意义：求线的质量，f(x,y)为线密度，

数列技巧 ​

数列收敛的结论 ​

1.唯一性：limn→∞xn存在 ==> 极限值唯一
2.有界性：{xn}收敛 ==> {xn}有界 （反推不成立，反例：震荡函数sinx）
3.单调有界准则：{xn}有界 + {xn}单调 ==> {xn}收敛 （反推不成立，反例：xn=(−1)nn)
4.保号性：（脱极限号）limn→∞xn=A>0 ==> 当n→∞时（n足够大时），{xn}>0
（带极限号）{xn}>0⟹limn→∞xn=A≥0 （当{xn}收敛时）
5.数列极限存在且极限值为A <==> 所有子列极限都存在且都为A

数列单调有界 ​

单调证明 ​

1.求导法
an+1=f(an) 令 y=f(x)
(1)若f′(x)>0 ==> {an} 单调 （若a1<a2单调增，若a1>a2单调减）
(2)若f′(x)<0 ==> {an} 不单调

2.作差/作比法
(1)作差：an+1−an
1.1 与0比较
1.2 与an−an−1 比较（同号则单调）
(2)作比：an+1an （若>1，则单调增）（若<1，则单调减）

3.数学归纳法 （不常用，并且因为我用得很熟，懒得总结）

有界证明 ​

1.分离常数 an+1=an1+an
2.数学归纳法（常用）（界就是极限）
3.常见不等式

常见不等式 ​

1.a2+b2⩾2ab
2.a1+a2+⋯+ann≥a1⋅a2⋯ann
或者a1+a2+⋯+an⩾na1⋅a2⋯ann
3.sin⁡x<x<tan⁡xx∈(0,π2)
4.x⩾sin⁡x（x⩾0当且仅当x=0时，等号成立）
5.arctan⁡x<x<tan⁡x(0<x<π2)
6.ex⩾x+1
7.x−1⩾ln⁡x
8.x1+x<ln⁡(1+x)<x(x>0)
9.11+x<ln⁡(1+1x)<1x(x>0)
10.−|x|≤x≤|x|
11.|x|−|y|≤||x|−|y||≤|x+y|≤|x|+|y|
12.ba+ab≥2 （a,b同号）
13.a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b∈R)

微分方程 ​

微分方程概述 ​

1.n阶微分方程的通解应该含有n个不能合并的任意常数
2.n阶齐次微分方程的通解是n个线性无关的特解的线性组合

线性微分方程概述 ​

（要么看未知函数y，要么看未知函数x)
① 未知函数及未知函数的导数都是一次的
② 未知函数及未知函数的导数只能线性组合

例：判断下列微分方程是否为y的线性微分方程

（1）y″+y′+y=0
（2）y″+y′+y=sinx
（3）y″+x2y′+exy=cosx
（4）y″+yy′=0
（5）y″+y′=y2
（6）y″+exy′+sinyy=x

（1）（2）（3）是y的线性微分方程

一阶微分方程通解 ​

y′+P(x)y=Q(x)
通解：y=e−∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]

伯努利方程 ​

通过换元，将非线性方程化简成线性

y′+P(x)y=Q(x)yα(α=0,α=1则为线性直接做)

① 两边同除yα

y−αy′+P(x)y1−α=Q(x)

② 令y1−α=z,两边同时对x求导

(1−α)y−α⋅y′=z′y−αy′=11−αz′

③ 代入求z(x)

11−αz′+P(x)z=Q(x)z′+(1−α)P(x)z=(1−α)Q(x)

总结：Q(x)必须干净没有y，盯着y换元（P(x)y那一项）

欧拉方程 ​

xny(n)+a1xn−1y(n−1)+⋯+an−1xy′+any=f(x)

① 令x=et(化成常系数)
则xky(k)=D(D−1)...(D−k+1)yD是对t的微分算子D=ddt

② 解得y(t)，再代入为y(x)

例：方程x2y′′+2xy′−2y=0的通解
令x=et

D(D−1)y+2Dy−2y=0D2y+Dy−2y=0y″+y′−2y=0y=C1e−2t+C2et=C1x2+C2x

二阶齐次微分方程通解 ​

y″+by′+c=0

特征方程：r2+br+c=0

△=b2−4c

① △>0r1,2=−b±b2−4c2
y=C1er1x+C2er2x

② △=0r1,2=−b2
y=(C1+C2x)erx

③ △<0r1,2=−b2±4c−b22i
y=e−b2x(C1cos⁡4c−b22x+C2sin⁡4c−b22x)
y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)

二阶齐次微分方程特解结论 ​

y″+p(x)y′+q(x)y=0的任意两个解y1(x),y2(x)一定满足y1′y2−y1y2′=Ce−∫p(x)dx（其中C可以通过两个解确定为常数）
证明：
{y1′′+p(x)y1+q(x)y1=0(1)y2′′+p(x)y2+q(x)y2=0(2)

(1)×y2−(2)×y1
{y1′′y2+p(x)y1′y2+q(x)y1y2=0(1)×y2y2′′y1+p(x)y2′y1+q(x)y2y1=0(2)×y1

(y1″y2−y1y2″)+p(x)(y1′y2−y1y2′)=0

令y=y1′y2−y1y2′，则有：y′+p(x)y=0
y=Ce−∫p(x)dx

得证：y1′y2−y1y2′=Ce−∫p(x)dx

例题

解的结构 ​

{y′′+py′+qy=f(x)(非齐次)y′′+py′+qy=0(齐次)

① y1 和 y2 是齐次线性无关的解，则 C1y1+C2y2 是齐次的通解
② 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
③ y1,y2…yn是齐次的解，C1y1+C2y2+…+Cnyn仍是齐次的解
④ y1,y2…yn是非齐次的解
c1y1+c2y2+⋯+cnyn{c1+c2+⋯+cn=1非齐次的解c1+c2+⋯+cn=0齐次的解
⑤ 非齐次解 + 齐次解 = 非齐次解

微分算子法（算非齐特解） ​

一、引入记号D

（1）D表示求导
Dsin⁡x=cos⁡xD2sin⁡x=−sin⁡x
(D+1)x=Dx+x=1+x

（2）1D表示积分
1Dsin⁡x=−cos⁡x1Dx=12x2

二、步骤
y″+ay′+by=f(x)
特征方程：D2+aD+b=0

y∗=1D2+aD+b⋅f(x)
记成：y∗=1F(D)⋅f(x)

计算：y∗=1F(D)⋅f(x) ==> 没有D的形式

如：y″+3y′−2y=e2xy∗=1D2+3D−2⋅e2x
3y″−2y′+5y=6y∗=13D2−2D+5⋅6
y″−2y′+2y=x2−2x+1y∗=1D2−2D+2⋅(x2−2x+1)
y″−3y′+2y=e−xcos⁡x+2xexy∗=1D2−3D+2⋅(e−xcos⁡x+2xex)

型一 ​

f(x)=ekx
【方法】 见D就换k
y∗=1F(D)ekx=1F(k)ekxF(k)≠0
F(k)=0时，y∗=1F(D)ekx=x1F′(D)ekx
F(k)=F′(k)=0时，y∗=1F(D)ekx=x21F″(D)ekx

例一：y″+3y′−2y=e2x 求 y∗
y∗=1D2+3D−2e2x=122−3×2−2e2x=18e2x

例二：y″−4y′+3y=e2x 求 y∗
y∗=1D2−4D+3e2x=122−4×2+3e2x=−e2x

例三：y″+2y′−3y=e−3x 求 y∗
F(−3)=0，则y∗=1D2+2D−3e−3x=x1(D2+2D−3)′e−3x=x12D+2e−3x=−x4e−3x

例四：y′′′+3y′′+3y′+y=e−x 求y∗
y∗=1D3+3D2+3D+1e−x=x13D2+6D+3e−x=x216D+6e−x=16x3e−x

例五：3y″−2y′+5y=6 求 y∗
y∗=13D2−2D+5⋅6=65

型二 ​

f(x)=sin⁡ax/cos⁡ax
【方法】 见D2就换−a2，剩下的D用平方差
1F(D2)sin⁡ax=1F(−a2)sin⁡ax
1F(D2)cos⁡ax=1F(−a2)cos⁡ax
与型一一样，F(−a2)就求导提一个x出来

例一：y″−y=sin⁡x 求 y∗
y∗=1D2−1sin⁡x=−12sin⁡x

例二：y″+4y=cos⁡2x 求 y∗
y∗=1D2+4cos⁡2x=x12Dcos⁡2x=x21Dcos⁡2x=x4sin⁡2x

例三：y′′+3y′−2y=sin⁡2x 求 y∗
y∗=1D2+3D−2sin⁡2x=13D−6sin⁡2x=13D+2D2−4sin⁡2x=−124(D+2)sin⁡2x=−124(2cos⁡2x+2sin⁡2x)

例四：y′′−6y′+9y=cos⁡x 求 y∗
y∗=1D2−6D+9cos⁡x=18−6Dcos⁡x=8+6D64−36D2cos⁡x=1100(8+6D)cos⁡x=150(4cos⁡x−3sin⁡x)

型三 ​

f(x)=ekx⋅ϕ(x){sin⁡axcos⁡axx多项式}
【方法】y∗=1F(D) f(x)=1F(D)[ekx⋅φ(x)]=ekx1F(D+k)φ(x)

例一：2y′′−3y′+y=e−xsin⁡2x 求 y∗
y∗=12D2−3D+1(e−xsin⁡2x)=e−x12(D−1)2−3(D−1)+1sin⁡2x=e−x12D2−7D+6sin⁡2x=−e−x17D+2sin⁡2x=−e−x7D−249D2−4sin⁡2x=1200e−x(7D−2)sin⁡2x=1100e−x(7cos⁡2x−sin⁡2x)

型四 ​

f(x)=x的多项式
【方法】化简成等比数列级数的形式，然后展开

例一：y″+y=−2x 求 y∗
y∗=1D2+1(−2x)=11−(−D2)(−2x)=(1−D2+...)(−2x)=−2x

例二：y″+y′=x2 求 y∗
y∗=1D2+Dx2=1D⋅1D+1x2=1D(1−D+D2+...)x2=1D(x2−2x+2)=13x3−x2+2x

例三：y″−2y′+2y=x2−2x+1 求 y∗
y∗=1D2−2D+2(x2−2x+1)=121+D2−2D2(x2−2x+1)=12[1+D22+D](x2−2x+1)=x22

型五 ​

无穷级数技巧 ​

常用级数推导 ​

都还记得高中的等比数列求和公式吧？

(1)Sn=a(1−rn)1−r(当 r≠1)

注意到如果|r|<1 ，11−x的级数展开就是公比为x的等比数列

(2)11−x=1+x+x2+x3+⋯

换一个形式：

(3)11−x=∑n=0∞xn

改成11+x：

(4)11+x=∑n=0∞(−1)nxn

我们知道(ln(x+1))′=11+x，那么先求导再积分可得：

(5)ln(x+1)=∫0x11+tdx=∫0x∑n=0∞(−1)ntndt=∑n=0∞∫0x(−1)ntndt=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1

化简一下：

(6)ln(x+1)=∑n=1∞(−1)n−1xnn

我们知道(arctanx)′=11+x2，同理可得：

(7)arctanx=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1

幂级数展开式大伙都知道吧：

(8)f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+f(3)(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+⋯

又知ex的n次导始终为ex，得：

(9)ex=∑n=0∞xnn!

同理，对sinx，f(n)(x)=sin(x+n∗π2)
f(n)(0)顺序循环地取0，1，0，-1，... 得：

(9)sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1

再求导可得：

(10)cosx=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n

还有这个：

(11)(1+x)m=∑n=0∞(mn)xn

上面这个级数你可以使用幂级数展开式自行验证。
总结：

(1)11−x=∑n=0∞xn(−1<x<1)(2)11+x=∑n=0∞(−1)nxn(−1<x<1)(3)ln(x+1)=∑n=1∞(−1)n−1xnn(−1<x≤1)(4)arctanx=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1(−1≤x≤1)(5)ex=∑n=0∞xnn!(−∞<x<+∞)(6)sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1(−∞<x<+∞)(7)cosx=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n(−∞<x<+∞)(8)(1+x)m=∑n=0∞(mn)xn(−1<x<1)

常见曲线 ​

摆线 ​

老演员了，又叫旋轮线、圆滚线、伽利略曲线、最速降线
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助记 ​

积分表 ​

①∫kdx=kx+C (k 是 常 数),②∫xμdx=xμ+1μ+1+C (μ≠−1),③∫dxx=ln⁡|x|+C,④∫dx1+x2=arctan⁡x+C,⑤∫dx1−x2=arcsin⁡x+C,⑥∫cos⁡xdx=sin⁡x+C,⑦∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C,⑧∫dxcos2⁡x=∫sec2⁡xdx=tan⁡x+C,⑨∫dxsin2⁡x=∫csc2⁡xdx=−cot⁡x+C,⑩∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C,⑪∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C,⑫∫exdx=ex+C,⑬∫axdx=axln⁡a+C.∫shxdx=chx+C,∫chxdx=shx+C.∫tanxdx=−ln⁡|cosx|+C,∫cotxdx=ln⁡|sinx|+C,∫secxdx=ln⁡|secx+tanx|+C,∫cscxdx=ln⁡|cscx−cotx|+C,∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C,∫dxx2−a2=12aln⁡|x−ax+a|+C,∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C,∫dxx2+a2=ln⁡(x+x2+a2)+C,∫dxx2−a2=ln⁡|x+x2−a2|+C.

三角函数反解 ​

对自变量x，左加右减
对arccos/siny整体加负号 alt textalt textalt text

开n次根号 ​

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行列式 ​

行列式的定义 ​

定义：所有取自不同行，不同列元素乘积的代数和
D=|a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann|n×n

D=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j,j2,⋯jn)a1j1,a2j2⋯anjn

注： τ(j1,j2,⋯jn)指的是(j1,j2,⋯jn)的逆序数
∑j1j2⋯jn指的是1,2,⋯,n全排列(n!种排列方式)

代数余子式 ​

总结：行列式aij和Aij无关

三阶行列式的对角线法则 ​

|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|
与二阶行列式相似，正对角线加，反对角线减

具体行列式的计算 ​

1.做零展开
做零：将行列式某行（某列）的k倍加到其他行（列）行列式的值不变
展开：将行列式按行或按列展开

2.利用行列式的性质化成特殊行列式计算
（1）行列式的性质
① 行列式转置后，行列式的值不变，即|AT|=|A|
② 某行（列）有公因数k，则将k提到行列式的外面
③ 两行成两列互换，行列式变号
④ 将行列式某行（某列）的k倍加到其他行（列）行列式的值不变
⑤ 某行（某列）所有元素都是两个数的和，可将其拆成两个行列式
例如：|234123111|=|1+12+13+1123111|=|123123111|+|111123111|=0+0=0

（2）特殊行列式
① 上（下）三角行列式的值等于它的主对角线元素乘积
|a11a12a130a22a2300a33|=|a1100a21a220a31a32a33|=a11⋅a22⋅a33

② 副对角线的上（下）三角行列式的值等于它的负对角线元素乘积乘以(−1)n(n−1)2
|a11a12a13a21a220a3100|=|00a130a22a23a31a32a33|=(−1)n(n−1)2a13a22a31

③ 范德蒙德行列式
|11⋯1a1a2⋯ana12a22⋯an2⋮⋮⋱⋮a1n−1a2n−1⋯ann−1|=第二行中，所有的大下标−小下标的乘积

例：|1+x3xx2x321110−11−19248|=|1+x3209x1−12x2114x31−18|=|1111x1−12x2114x31−18|=(2−x)(2−1)(2+1)(−1−x)(−1−1)(1−x)

3.每行（列）和相等，每列（行）都加到第1列（行），提k做1消0
|1+a11122+a22333+a34444+a|⇒每行都加到第一行|10+a10+a10+a10+a22+a22333+a34444+a|⇒提k做1(10+a)|111122+a22333+a34444+a|=(10+a)|1111aaa|=(10+a)a3

4.爪形行列式
方法：用中爪干掉一个边爪，用上（下）三角行列式去做
例如：|11111a12a13a|=|1−1a0111a12a13a|=|1−1a−12a0011a12a13a|=|1−1a−12a−13a0001a12a13a|=(1−1a−12a−13a)6a3

5.利用分块矩阵计算行列式（拉普拉斯）
|A00B|=|A|⋅|B|

|0An×nBm×m0|=(−1)m−n|A||B|

例：D=|0ab0a00b0cd0c00d|=−|0ab00cd0a00bc00d|=|a0b0c0d00a0b0c0d|=−|ab00cd0000ab00cd|=−|abca|⋅|abcd|=−(ad−bc)2

6.三线形行列式

7.三线形行列式的变形

8.ab形行列式
|abb⋯bbab⋯bbba⋯b⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯a|n×n=[a+(n−1)b](a−b)n−1

证明：
|abb⋯bbab⋯bbba⋯b⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯a|⇒每行都加到第一行[a+(n−1)b]|111⋯1bab⋯bbba⋯b⋮⋮⋮⋱⋮bbb⋯a|=[a+(n−1)b](a−b)n−1

抽象行列式的计算 ​

行列式的公式：
① |AT|=|A|
② |kA|=kn|A|
③ |AB|=|A|⋅|B|
④ |A∗|=|A|n−1
⑤ |A−1|=|A|−1=1|A|
⑥ |A|= 特征值乘积
⑦ A B⇒|A|=|B|
⑧ 正交矩阵的行列式为±1

矩阵 ​

矩阵的运算 ​

该部分摘抄于这篇文章，总结的很好捏]

方阵满足乘法交换律的条件 ​

乘法交换律即：(AB=BA)

（1） A与f(A),A−1,A∗可交换
（2） A的两个多项式f(A),g(A)可交换
（3） 对角矩阵和对角矩阵可交换
（4） A与kE可交换

例如：
AA∗=A∗AΛ1Λ2=Λ2Λ1
AmAt=AtAm(A+E)(A−E)=(A−E)(A+E)

注：若A与B可交换，则关于AB的运算和数的运算是一样的
例如：
A,B可交换⇒(A+B)2=A2+2AB+B2
A,B可交换⇒(A+B)n=Cn0An+Cnn−1B+⋯+CnnBn
A,B可交换⇒A2−A−2E=(A+E)(A−2E)

逆运算 ​

1、(A−1)−1=A

2、(AT)−1=(A−1)T

3、(Am)−1=(A−1)m

4、(A∗)−1=(A−1)∗

5、|A−1|=|A|−1

6、(kA)−1=k−1A−1

7、(AB)−1=B−1A−1

8、(A1A2⋯Am)−1=Am−1Am−1−1⋯A1−1

转置运算 ​

1、(AT)T=A

2、(A−1)T=(AT)−1

3、(Am)T=(AT)m

4、(A∗)T=(AT)∗

5、|AT|=|A|

6、(kA)T=kAT

7、(AB)T=BTAT

8、(A1A2⋯Am)T=AmTAm−1T⋯A1T

幂运算 ​

1、(A−1)m=(Am)−1

2、(AT)m=(Am)T

3、(A∗)m=(Am)∗

4、|A|m=|Am|

5、|kA|=kn|A|

6、|A1A2⋯Am|=|A1||A2|⋯|Am|

伴随运算 ​

1、(A∗)∗=|A|n−2A

2、(⋯(((A∗)∗)∗)⋯)∗(k重伴随)=|A|(n−1)k−(−1)kn⋅A(−1)k

3、(A−1)∗=(A∗)−1

4、(Am)∗=(A∗)m

5、|A∗|=|A|n−1

6、|kA|∗=kn−1A∗

7、(AB)∗=B∗A∗

8、(A1A2⋯Am)∗=Am∗Am−1∗⋯A1∗

转置、逆、伴随、k次幂可交换 ​

(A∗)−1=(A−1)∗
(A4)∗=(A∗)4
⋯

分块矩阵的运算 ​

（1）[AB]−1=[A−1B−1]
（2）[AB]−1=[B−1A−1]
（3）[AB]n=[AnBn]
（4）拉普拉斯
|A0∗B|=|A||B||A∗0B|=|A||B|
|0AmBn∗|=(−1)mn|A||B||∗AmBn0|=(−1)mn|A||B|

注：
|ABCD|≠|AD−BC|
[ABCD]∗≠[D−B−CA]
[AB]n≠[AnBn]≠[AnBn]

对角矩阵 ​

[a1b1a2b2a3b3]=[a1a2a3][b1b2b3]

初等矩阵 ​

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

口诀：左行右列

初等矩阵的指令 ​

（1）交换行列
（2）乘k倍加到行列上
（3）行列乘以k倍

作用在矩阵上的口诀：左行右列

代数余子式 ​

A=[a11a12a21a22]

余子式： M11=a22,M12=a21,M21=a12,M22=a11

代数余子式：
Anm=(−1)n+mMnm

伴随矩阵 ​

定义：
A=[a11a12a21a22]⇒A∗=[A11A12A21A22]T=[A11A21A12A22]

性质：
（1）AA∗=A∗A=|A|E
（2）AA∗(A∗)−1=|A|EA(A∗)−1 ==> A=|A|(A∗)−1
（3）A−1=1|A|A∗
（4）|A∗|=|A|n−1

二阶矩阵的伴随 ​

二阶矩阵的伴随：A=[abcd]⇒A∗=[d−b−ca] （口诀：正对调，副取反）

例题：矩阵A的伴随矩阵A∗=[4−200−310000−40000−1],则A=______.

令B=[4−2−31]C=[−400−1] 则，A∗=[B00C]

|A∗|=|A|n−1=|A|3=|B||C|=−8⇒|A|=−2
(A∗)−1=[BC]−1=[B−1C−1]

B−1=1|B|B∗=1−2[1234]
C−1=1|C|C∗=14[−1−4]

A=|A|(A∗)−1=−2[B−1C−1]

逆矩阵 ​

可逆的定义 ​

定义：若n阶方阵A,B,满足{AB=EBA=E
则称，{A可逆，且A−1=BB可逆，且B−1=A

结论1：n阶方阵A,B, AB=E <==> BA=E
证明：AB=E⇒BA=EBA=A−1ABA=E,即BA=E

结论2:若n阶方阵A,B，满足AB=E或BA=E
==> {A可逆，且A−1=BB可逆，且B−1=A

常规求逆 ​

[A|E]⇒[E|A−1]

二阶矩阵的逆 ​

常用伴随矩阵计算：
A−1=1|A|A∗
参考这个口诀快速计算

初等矩阵的逆 ​

初等矩阵均可逆，且它的逆矩阵是同类型的初等矩阵
（1）交换矩阵的两行（列）形成的初等阵，逆矩阵是它本身
（2）某一行（列）乘以k倍形成的初等阵，逆矩阵是该行（列）乘以1k倍形成的初等阵
（3）矩阵某一行（列）的k倍加到另外一行（列）形成的初等阵，逆矩阵是该行（列）的−k倍，加到另外一行（列）形成的初等阵

对角矩阵的逆 ​

(a1a2⋱a2)−1=(1a11a2⋱1an);(a1a2..an)−1=(1an1an−1..1a1).

分块矩阵的逆 ​

前提：A、D可逆

[A00D]−1=[A−100D−1],

[0AD0]−1=[0D−1A−10],

[A0CD]−1=[A−10−D−1CA−1D−1],

[AB0D]−1=[A−1−A−1BD−10D−1].

解矩阵方程 ​

解矩阵方程AX=B⇒X=?

取逆 ​

（1）求A−1B[A∣B]⇒行变换[E∣A−1B]
（2）求AB−1[BA]⇒列变换[EAB−1]

由（1）可得，AX=B⇒X=A−1B
由（2）可得，XB=A⇒X=AB−1

待定系数法 ​

令X=[x1x2x3x4]代入方程组

分块矩阵法(重要) ​

AX=B⇒X=?/XA=B⇒X=?
（1）将X,B按列分块
A(ξ1,ξ2,ξ3)=(β1,β2,β3)
（2）解三个非齐方程组
AX=β1⇒X=ξ1
AX=β2⇒X=ξ2
AX=β3⇒X=ξ3
（同时求3个非齐方程组通解）
（3）将ξ1,ξ2,ξ3拼成X

矩阵的n次方 ​

找规律 ​

方法：求一下A2,A3,找规律

例：已知 A=[101020101],求An

A2=[101020101]⋅[101020101]=[202040202]=2A
⋯
An=2n−1A

列乘行矩阵（秩为1） ​

列乘行是一个矩阵，行乘列是一个数

列乘行矩阵特征：
（1）A=αβT
（2）秩为1
（3）各行/各列成比例，如：[2−134−26−21−3]

列乘行矩阵性质：An=trn−1(A)⋅A

注：
① 列乘行矩阵A=αβT <==> 矩阵秩为1 <==> 矩阵各行/列成比例
② 若A=αβT ==> tr(A)=αTβ=βTα
例如：A=[123][1,2,3] ==> tr(A)=12+22+32=14 ③ 若A=αβT，那么
A2=A⋅A=αβTαβT=tr(A)αβT=tr(A)⋅AA3=A⋅A⋅A=αβT⋅αβT⋅αβT=tr2(A)A
⋯
An=trn−1(A)⋅A

特殊的幂0矩阵 ​

幂0矩阵的定义：存在某个幂次，再次之后全为0

矩阵对角线元素全为0，对角线一侧也全为0
例如： [0adf00be000c0000][0000a000db00fec0]

求A2,A3,A4
A2=[00abae+cd000bc00000000]A3=[000abbc000000000000]A4=[0000000000000000]

二项式定理 ​

An=(kE+B)n,B为幂0矩阵

二项式定理：(A+B)n=Cn0AnB0+Cn1An−1B1+CnrAn−rBr+⋯+CnnA0Bn

注：A0=E

例：A=[211023002],求An
A=[200020002]+[011003000]=2E+[011003000]

令B=[011003000],A=(2E+B)
B2=[003000000]B3=0

An=(2E+B)n=Cn0B0(2E)n+Cn1B1(2E)n−1+Cn2B2(2E)n−2
=2nE+n⋅B⋅2n−1⋅E+n(n−1)2B2⋅2n−2⋅E
=[2n2n2n]+2n−1⋅n[011003000]+2n−3⋅n(n−1)[003000000]

分块矩阵的n次方 ​

A=[B00C],An=[Bn00Cn]

相似对角化 ​

方法：A Λ ==> P−1AP=Λ ==> A=PΛp−1 ==> An=PΛnP−1

（1）[λ1λ2λ3⋱λn]n=[λ1nλ2nλ3n⋱λnn]
（2）找AP=PΛ成AP=PB
AP=PΛ ==> A=PΛP−1 ==> An=PΛnP−1

例题：设 PA=BP，其中 P=[024100035]，B=[1000−1000−1]，则 A100=______.

P−1PA=P−1BP⇒A100=P−1B100P=P−1⋅[100010001]⋅P=P−1P=E

行阶梯和行最简 ​

（1）行阶梯形矩阵
1.零行在最后
2.主元下面全为0
3.越往下主元越靠右

（2）行最简形矩阵
1.零行在最后
2.主元上下全为0
3.越往下主元越靠后
4.主元全是1

矩阵的秩 ​

秩的定义 ​

（1）A有r阶子式不为0
（2）A的所有r+1阶子式都为0

求矩阵A的秩 ​

（1）A⇒行变换 行阶梯
（2）画梯子，非零台角的个数为A的秩

求含参矩阵A的秩 ​

（1）A⇒行变换 行阶梯 （注意：不允许除以含参项） （2）画梯子，讨论：
① 先讨论台角全不为0
② 再分别讨论台角为0

矩阵的秩结论 ​

秩不变口诀 ​

【注意区分】左行右列是初等矩阵相乘，是讨论具体矩阵乘积。

左列右行用来讨论矩阵乘积后的秩。
左乘列满秩，秩不变。
右乘行满秩，秩不变。

乘可逆矩阵，秩不变

【消除律】
总结：左乘列满秩，右乘行满秩，可消去
AB=AC⇒A可逆或列满秩B=C
BA=CA⇒A可逆或行满秩B=C

结论证明：
（1）Am×nBn×s=Am×nCn×s，若r(A)=n，则B=C
AB=AC⇒左乘ATATAB=ATAC
ATA是n阶矩阵且r(ATA)=r(A)=n⇒ATA可逆
即证：B=C

（2）$ B_{m \times n} A_{n \times s}= C_{m \times n}A_{n \times s}，若r(A) = n，则B = C$
BA=CA⇒右乘ATBAAT=CAAT
AAT是n阶矩阵且r(AAT)=r(A)=n⇒AAT可逆
即证：B=C

【列/行满秩】
有一个n行m列矩阵A，列满秩说明r(A)=m,行满秩说明r(A)=n

四秩相等口诀 ​

r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)

矩阵等价 ​

矩阵A与B等价的充要条件 ​

<==> A可经过有限次的初等变换化为B（可行列混用）
<==> Ps⋯P2P1AQ1Q2⋯Qρ=B(Pi,Qi为初等阵)
<==> PAQ=B(P,Q可逆)
<==> r(A)=r(B)(A,B为同型阵，即同为n×m矩阵)

矩阵A与B行等价的充要条件 ​

<==> A可经过有限次的初等行变换化为B
<==> Ps⋯P2P1A=B(Pi为初等阵)
<==> PA=B(P可逆)

矩阵A与B列等价的充要条件 ​

<==> A可经过有限次的初等列变换化为B
<==> AQ1Q2⋯Qρ=B(Qi为初等阵)
<==> AQ=B(Q可逆)

矩阵相似 ​

矩阵相似的性质 ​

（1） 只有方阵，才谈相似

（2）(定义)对于n阶方阵A,B若∈可逆矩阵P,s.t.P−1AP=B，则矩阵A与B相似，记作A∼B

（3）若A∼B，则
①
f(A)∼f(B)
A−1∼B−1
A∗∼B∗
AT∼BT
f(A)+kA−1+ρA∗∼f(B)+kB−1+ρB∗

A−1,A∗,f(A)与A∼B共用P
P−1AP=B
==> P−1A−1P=B−1
==> P−1A∗P=B∗
==> P−1f(A)P=f(B)

②
|A|=|B|
|λE−A|=|λE−B|
r(A)=r(B)
tr(A)=tr(B)

（4）若A可逆，则AB∼BA

（5）若A∼B,C∼D，则[A00C]∼[B00D]

矩阵相似对角阵结论 ​

A∼Λ，即P−1AP=Λ
有结论：
（1）Λ主对角线元素为A的全部特征值
（2）P的各列向量为A的n个无关的特征向量且顺序与λ相同，一定成立

证明：P−1AP=Λ
==> AP=PΛ，对P按列分块 P=(α1,α2,α3)
==> A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)[λ1λ2λ3]
==> (Aα1,Aα2,Aα3)=(λ1α1,λ2α2,λ3α3)
==> {Aα1=λ1α1Aα2=λ2α2Aα3=λ3α3

矩阵可相似对角化条件 ​

（1）充要条件
<==> A恰有n个线性无关的特征向量
<==> 对于A的每个k重特征值λ，都有k个无关特征向量
<==> 对于A的每个k重特征值λ，r(A−λE)=n−重数

证明：k重特征值λ,(A−λE)X=0基础解系有k个无关解向量 ==> n−r(A−λE)=k ==> r(A−λE)=n−k

（2）充分条件
<== A有不同的特征值
<== A是实对称矩阵
<== f(A)=0，且f(A)因式分解后只有单因式（一次）f(A)=(A+k1E)(A+k2E)⋯(A+kiE)k1≠k2≠⋅≠ki

（3）必要条件
==> r(A)=A非零特征值的个数

注：一般r(A)≥非零特征值的个数

常用结论：
① 幂零矩阵(AK=0)可相似对角化 <==> A = 0
注：幂零矩阵的特征值全为0

② 若A的特征值只有k(n重)，A可相似对角化 <==> A = kE

③ 秩为1矩阵可相似对角化 <==> tr(A)≠0

矩阵A和A伴随秩的关系 ​

（1）r(A∗)只能等于n,1,0（三种情况）
（2）r(A∗)={nr(A)=n1r(A)=n−10r(A)<n−1

矩阵的特征值和特征向量 ​

两条特征值重要结论 ​

（1）特征值乘积 = 行列式值

（2）特征值之和 = 迹

求解矩阵的特征值 ​

|A−λE|=0或|λE−A|=0⇒λ

注：利用|A−λE|=0 解特征值时，利用某一行（列）的k倍加到其他行（列），把某行/列消出一个0，另外的元素有公因式（转圈）

秩一矩阵的特征值 ​

（1）秩为1的矩阵，特征值为tr(A),0,0,⋯,0
（2）
AkAAkf(A)A−1A∗P−1APATλkλλkf(λ)1λ|A|λλλααααααP−1α⇐(k≠0)⇐⇐(A可逆)
注：从左往右随便推，从右往左只有标箭头的三个并满足括号内容才可以回推

注：
① 列乘行矩阵 <==> 秩为1矩阵 <==> 各行各列成比例
② A=αβT，则tr(A)=αTβ=βTα=两向量内积

回看秩一矩阵解矩阵n次方

特征向量的定义 ​

Aα=λα
每一个特征值都对应着一个特征向量

抽象矩阵求特征值和特征向量 ​

（1）
A+λE不可逆 ==> |A+λE|=0 ==> −λ为A的一个特征值
|A+λE|=0 ==> −λ为A的一个特征值
齐次方程组(A+λE)X=0有非0解 ==> |A+λE|=0 ==> −λ为A的一个特征值

（2）A的各行元素之和为a，则A有一个特征值a，对应特征向量k(1,1,⋯,1)T,k≠0

（3）η1,η2,⋯,ηn是AX=0的基础解系 {Aη1=0Aη2=0⋮Aηs=0 ==> {Aη1=0⋅η1Aη2=0⋅η2⋮Aηs=0⋅ηs ==> λ1=λ2=⋯=λs=0
对应特征向量为：k1η1+k2η2+⋯+ksηs(k1⋯ks不全为0)

（4）若AB=kB ==> A(β1,β2,⋯,βn)=k(β1,β2,⋯,βn)
==>A有特征值k，对应特征向量B的非0列

（5）|A|=0 / n阶矩阵A不可逆 / A的列向量组线性相关 / AB=0且B≠0 ==> A有特征值0

（6）f(A)=0 ==> f(λ)=0 (A的所有特征值λ一定满足f(λ=0)，但所有满足f(λ)=0的λ不一定都是A的特征值

实对称矩阵 ​

定义：A=AT

实对称矩阵的性质 ​

（1）不同特征值对应特征向量正交
（2）必能相似对角化，且∈正交矩阵Q,s.t.Q−1AQ=QTAQ=Λ
注：只有对称矩阵才能通过正交矩阵相似对角化
（3）k重特征值恰有k个无关的特征向量
（4）非0特征值个数等于矩阵的秩
（5）适用谱分解定理
（6）AT,A∗,A−1也为实对称矩阵
（7）任意m×n矩阵C，CCT,CTC一定是实对称矩阵

实对称矩阵的结论 ​

有3阶实对称矩阵A，特征值为λ1≠λ2≠λ3，λ1对应特征向量为α1
问：和α1正交的向量，一定是λ2,λ3对应的特征向量吗？

答：不一定。

例如：3阶实对称矩阵A，特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3

有3阶实对称矩阵A，特征值为λ1≠λ2=λ3，λ1对应特征向量为α1
问：和α1正交的向量，一定是λ2,λ3对应的特征向量吗？

答：一定。

总结：若只剩下一个特征值（不管几重），求特征向量，与其他特征向量正交的向量，一定全是这个特征值的特征向量。

定理1：n阶实对称矩阵A的特征值λ1,λ2(n−1重)，α1为λ1对应的特征向量，有α，与α1正交，则α一定是λ2对应的特征向量

定理2：3阶实对称矩阵A的特征值λ1≠λ2≠λ3，α1,α2分别是λ1,λ2对应的特征向量，有α与α1,α2均正交，则α一定是λ3对应的特征向量。

注：求与α1,α2两个向量均正交的向量，可以用叉乘计算：α=α1×α2

定理3：3阶实对称矩阵A的特征值λ1,λ2(二重)，α1,α2分别是λ1,λ2对应的特征向量，有α与α1,α2均正交，则α一定是λ2对应的特征向量。

设矩阵 A=[0−14−13a4a0]，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵，若 Q 的第一列为 16(1,2,1)T，求 α,Q

正定 ​

正定的定义 ​

设二次型f(X)=XTAX，如果对∀x≠0，都有f(X)=XTAX>0，则f为正定二次型

注：若f为正定二次型，要想让f=0，当且仅当x=0。只要x=≠0,f=0
例：f=2x12+x22+3x32≥0

正定的充要条件 ​

<==> ∀x≠0,恒有f=XTAX>0
<==> f=XTAX的标准形，系数全大于0 （等于0也不行）
<==> A的所有特征值都大于0
<==> A的正惯性指数等于0
<==> A与E合同
<==> A的各阶顺序主子式全大于0 （常用）

正定的必要条件 ​

==> A是实对称矩阵
==> A的主对角线元素全大于0（等于0也不行）
==> |A|>0（等于0也不行）
==> A可逆
==> A中最大的数，一定在主对角线上

正定的常用结论 ​

（1）A正定 ==> A−1,A∗全正定，f(A)=amAm+am−1Am−1+⋯+a0E当ai≥0且不全为0时，也正定

总结：已知具体二次型正定，问参数的范围
（1）配方法化成标准型 ==> 系数全正
（2）A的特征值全正
（3）A的各界顺序主子式全正（取交集）（常用）

向量组 ​

向量组的思维定势 ​

（1）kα ==> (kα1,kα2,kα3)=k(α1,α2,α3)
（2）a1α1+a2α2,b1α1+b2α2 ==> (a1α1+a2α2,b1α1+b2α2)=(α1,α2)⋅[a1b1a2b2]

例：

向量组线性相关（无关） ​

（1）n个n维向量
① 线性相关 <==> |α1,α2,⋯,αn|=0
② 线性无关 <==> |α1,α2,⋯,αn|≠0

（2）
① r(α1,α2,⋯,αn)=n <==> α1,α2,⋯,αn 线性无关
② r(α1,α2,⋯,αn)<n <==> α1,α2,⋯,αn 线性相关

注：能取行列式,就取行列式

向量组线性无关定理 ​

n个线性无关的n维向量可以表示任何一个n维向量

向量组线性表示的等价命题 ​

（1）向量β可由向量组α1,α2,⋯,αn线性表示且表示法唯一
<==> r(α1,α2,⋯,αn)=r(α1,α2,⋯,αn,β)=n

（2）向量β可由向量组α1,α2,⋯,αn线性表示且表示法不唯一（无穷多种）
<==> r(α1,α2,⋯,αn)=r(α1,α2,⋯,αn,β)<n

（3）向量β不可由向量组α1,α2,⋯,αn线性表示
<==> r(α1,α2,⋯,αn)≠r(α1,α2,⋯,αn,β)
<==> r(α1,α2,⋯,αn)+1=r(α1,α2,⋯,αn,β)

极大线性无关组 ​

极大无关组的定义 ​

（1）向量组之间线性无关
（2）组内再加一个就相关

求向量组的极大线性无关组 ​

（1）将向量按列排成矩阵
（2）初等行变换化成行阶梯
（3）每层梯子选一列，即为极大线性无关组

注：若要求表示法，则进一步化为行最简

例：向量组 α1=(2,1,3)T，α2=(1,2,1)T，α3=(3,3,4)T，α4=(5,1,8)T，α5=(0,0,2)T 的一个极大线性无关组是 __________且其他向量的表示为 __________。

(α1,α2,α3,α4,α5)=[213501231031482] ⟶[123102135031482]
⟶[123100−3−3300−5−552] ⟶[12310011−1000002] ⟶[10130011−1000001]

选取α1,α2,α5为极大无关组
且α3=α1+α2,α4=3α1−α2

向量空间 ​

总结：向量空间V中的一个向量组α1,α2,⋯,αr
满足：{(1)线性无关(2)V中每个向量都能由它线性表示
则称α1,α2,⋯,αr为向量空间的一个基（基底）
其中所含向量个数为该空间的维数，用该基表示其他向量时，例如：α=x1α1+x2α2+⋯+xrαr，称(x1,x2,⋯,xr)为α在这组基下的坐标
设α1,α2,⋯,αn和β1,β2,⋯,βn为n维向量空间V中的两组基， 若{β1=c11α1+c21α2+⋯+cn1αnβ2=c12α1+c22α2+⋯+cn2αn⋮βn=cn1α1+cn1α2+⋯+cnnαn 即：(β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)C（基变换公式）
则C称为从基α1,α2,⋯,αn到基β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵

方程组 ​

求齐次方程组通解 ​

（1）系数矩阵A →行变换 行最简（只能行变换）
（2）写同解方程组
（3）自由未知量100/010/001/10/01/1赋值，构造基础解系
（4）基础解系线性组合，构造通解

【注意】
约束未知量：主元列对应未知量
自由未知量：非主元列对应未知量

例题：
齐次线性方程组{x1+2x2+3x3+x4=02x1−x2+x3−3x4=0x1+x3−x4=0的基础解系是

A=[12312−11−3101−1]→r[123101110−2−2−2]→r[101−101110000]

{x1+x3−x4=0x2+x3+x4=0

基础解系：k1[−1−110]+k2[1−101]k1,k2∈R

注：“反号顺抄”的原理
AX=0A→[10a1b101a2b20000]

同解方程组：{x1+a1x3+b1x4=0x2+a2x3+b2x4=0

⇒{x1=−a1x3−b1x4x2=−a2x3−b2x4

（1） x3=1,x4=0
{x1=−a1x2=−a2⇒[x1x2x3x4]=[−a1−a210]
（2） x3=0,x4=4
{x1=−b1x2=−b2⇒[x1x2x3x4]=[−b1−b201]

注意：必须行最简，行阶梯不能用

线性方程组解的判定 ​

（1）AX=0解有2种情况：① 唯一解（只有0解）② 无穷多解（有非0解） （2）AX=b解有3种情况：① 唯一解② 无穷多解③ 无解
（3）AX=0解的判定（n为A的列数）
① AX=0 只有0解
<==> r(A)=n
<==> A的列向量组线性无关
<==> |A|≠0（A为方阵）

② AX=0 有非0解
<==> r(A)<n
<==> A的列向量组线性相关
<==> |A|=0 （A为方阵）

（4）AX=b解的判定 （n为A的列数）
① AX=b无解
<==> r(A)≠r(A|b)
<==> r(A)+1=r(A|b)
<==> r(A) < r(A | b)
<==> b不能由A的列向量组线性表示
==> |A|=0 （A为方阵）

② AX=b有唯一解
<==> r(A)=r(A|b)=n
<==> b能由A的列向量z组线性表示，且表示法唯一
<==> |A|≠0（A为方阵），可以用克拉默法则解AX=b
==> A的列向量组线性无关
==> AX=0只有0解

③ AX=b有无穷多解
<==> r(A)=r(A|b)<n
<==> b能由A的列向量组线性表示，且表示法不唯一
==> |A|=0 （A为方阵）
==> A的列向量组线性相关
==> AX=0有非0解

解的结构 ​

（1）设α1,α2,⋯,αn都是AX=0的解，则k1α1+k2α2+⋯+knαn仍是AX=0的解，k1,k2,⋯,kn为任意常数。
（2）设η1,η2,⋯,ηn都是AX=b的解，则k1η1+k2η2+⋯+knηn{是AX=0的解,k1+k2+⋯+kn=0是AX=b的解,k1+k2+⋯+kn=1
特别地，η1−η2是AX=0是解
（3）设η是AX=b的解，α是AX=0的解，则η+α是AX=b的解
（4）AX=0的任意n−r(A)个线性无关的解，都可以构成AX=0的基础解系，并且，如果α1,α2,⋯,αn是AX=0的基础解系，则k1α1+k2α2+⋯+knαn是AX=0的通解
（5）AX=b的通解x=齐次通解+非齐特解

AB=0的三个角度 ​

（1） r(A)+r(B)≤n（n是AB消掉的那个）
例如：Am×nBn×s=0

（2）
<==> B 的列都是AX=0的解
<==> B 的列向量与A的行向量两两正交

证明（2.1）：
AB=0⇒A(β1,β2,⋯,βn)=0⇒(Aβ1,Aβ2,⋯,Aβn)=0

证明（2.2）；
注：齐次方程组的解与系数矩阵的行向量正交
x=[x1x2x3]是AX=0的解
A[x1x2x3]=0=[000]
[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][x1x2x3]=0=[000]

齐次方程组同解的结论 ​

  1. AX=0 和BX=0同解 <-->AX=0和BX=0有相同或等价的基础解系
  2. AX=0 和BX=0同解 --> n−r(A)=n−r(B) <--> r(A)=r(B) tips:秩相同推不出同解
  3. AX=0 的解是BX=0的解 <--> AX=0 与 (AX=0BX=0) 同解 <--> r(A)=r(AB) --> r(A)≥r(B)
  4. 👉️同解的充要命题，AX=0 和 BX=0 同解 <--> r(A)=r(B)=r(AB) （即A与B的行向量组等价）👈️👍️👍️👍️
  5. 若AX=0的解都是BX=0的解,且r(A)=r(B),则AX=0与BX=0同解
  6. 由(2)可知,若想证明r(A)=r(B),且A,B列数相同,则考虑证明:AX=0 和BX=0同解

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