概率论与数理统计

本文按“事件 → 分布 → 数字特征 → 统计推断”的知识主线重构。公式采用 MathJax 语法，长证明与例题答案默认折叠，原始图片保留在对应知识点附近。

💡 阅读路线

第一次阅读先看每章摘要、思维导图和核心结论；第二次阅读再展开证明与例题；复习时重点检查 warning 中的易错条件。

全篇知识地图

随机事件与概率公式

本章摘要： 用集合语言描述事件，掌握包含、并、交、对立、条件概率与独立性。事件关系决定能否直接相加，条件概率决定样本空间如何缩减。

本章思维导图

事件关系与运算

事件关系

事件有三种关系：或，且，对立

包含关系

若事件发生必然导致事件发生，则是更小的事件，包含：

因此

⚡ 避坑指南/易混淆点

时，交集是较小的，并集是较大的。不要把误写成。

独立性

⭐ 核心结论/面试高频

事件与独立，当且仅当

若与独立，则与、与、与也分别独立。

🔍 展开查看：零概率与必然事件为何和任意事件独立

若，则对任意事件都有，所以。

若，则。由上一步知与任意事件独立，进而与独立。

当时，下列条件等价：

独立描述“一个事件是否改变另一个事件的概率”。判据为。

减法公式

加法公式

摩根定律

事件对偶律也称德摩根律：

💡 通俗理解

“并集不发生”就是“每个事件都不发生”；“交集不发生”就是“至少一个事件不发生”。

有限可加性

若两两互斥，则

【例题】先移项并因式分解：

因此

【例题2】

条件概率

💡 通俗理解

条件概率的本质是缩减样本空间：已知发生后，只在覆盖的范围内重新计算所占的比例。

当时，

全概率公式与贝叶斯公式

设两两互斥且，即它们构成完备事件组。

它回答“按所有来源分类后，事件发生的总概率是多少”。

💡 通俗理解

全概率公式沿着“原因 → 结果”加权汇总；贝叶斯公式沿着“结果 → 原因”反向更新。前者先分类，后者用新证据修正各类的可信度。

【例题】小明用步行、自行车、出租车、火车去图书馆的概率分别为；对应能到达的概率分别为。

1. 求他能到图书馆的概率；
2. 已知他没到图书馆，求他乘火车的概率。

🔍 展开查看：答案

记四种交通方式为，到达图书馆为。由全概率公式，

再由贝叶斯公式，

随机变量及其分布

本章摘要： 分布函数统一描述离散型与连续型随机变量；概率质量函数或概率密度则给出局部概率。常见分布的关键不是背公式，而是识别试验结构和参数含义。

本章思维导图

分布函数与概率密度

对任意随机变量，分布函数定义为

连续型随机变量的概率密度可理解为分布函数的局部变化率：

若在处可导，则；反之，若是密度，则

⭐ 核心结论/面试高频

一个函数能作为分布函数，当且仅当它满足：

1. 单调不减；
2. 右连续；
   3.且。

⚡ 避坑指南/易混淆点

“单调不减”不等于“严格递增”。另外，分布函数连续不必然意味着存在普通概率密度；严格地说，有密度需要分布函数绝对连续。

下列函数中,为某随机变量X的分布函数的是().

(A)

(B)

(C)

(D)

🔍 展开查看：答案与判定

答案为 D。B 不满足取值与极限要求，C 单调递减且两端极限相反，A 在处不右连续。

设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，且F(0)=0，则下列函数可作为分布函数的是
A.
B.
C.
D.

🔍 展开查看：答案与判定

答案为 D。A 可能大于；C 不满足单调不减；B 在处不右连续。

常见离散分布

固定进行次相互独立、成功概率均为的伯努利试验，研究成功次数：。

二项分布

二项分布

（1）定义：n重伯努利试验中，A发生的概率为p，那么A发生k次的概率为，
将A发生的次数，设为随机变量X，则，称

（2）考察标志：有xx次A发生的概率 / A发生xx次的概率
==>

（3）做题步骤：先令试验观察的事件为A，再 令A发生的次数为X，则

泊松分布

泊松分布

（1）

（2）参数可加性
设是相互独立的随机变量且
则

（3）泊松定理（二项分布的极限分布）

（4）泊松定理应用

【例题】设总体服从参数为的泊松分布,为来自总体的简单随机样本,为样本均值, 且, 则.

(A)

(B)

(C)

(D)

🔍 展开查看：答案

解 由于样本方差, 所以

又, 由题意, 得.
又由, 所以相互独立, 且, 故, 即.
记. 因此,, 从而

故选 (D).

几何分布

几何分布

（1）定义：做伯努利试验，每次试验中A发生概率为p，一直做到A首次发生时停止，
此时，试验的点次数X，
称试验的点次数X服从几何分布

（2）考察标志：一旦A发生，试验就停止

（3）做题步骤：令A，，A发生时，试验点次数X，则

指数分布

若且，则

⭐ 核心结论/面试高频

指数分布的生存函数与区间概率为

它具有无记忆性：对，

若相互独立，则

【例题】假设服从参数为的指数分布，对作 3 次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的
概率为,则________.

🔍 展开查看：答案

令事件A为观测值大于2，A发生的次数为Y。
则有：

因此。

【例题2】 设随机变量服从参数的指数分布，则

🔍 展开查看：两种解法

正态分布

若，其概率密度为

核心性质与标准化

⭐ 核心结论/面试高频

1. 对称性：。
2. 仿射变换：。
3. 标准化：。
4. 若相互独立且，则

记标准正态密度和分布函数分别为与，则

⚡ 避坑指南/易混淆点

正态线性组合的期望保留系数正负号；在随机变量相互独立时，方差中的系数要平方，所以减号也会变成加号。

🔍 展开查看：标准化推导

因为，所以

【例题1】若随机变量的概率密度是, 则

🔍 展开查看：答案

【例题2】若随机变量的分布函数是，则

🔍 展开查看：答案

【例题3】若随机变量的分布函数是，则

🔍 展开查看：答案

【例题4】求

🔍 展开查看：答案

标准正态分布的性质

⭐ 核心结论/面试高频

标准正态密度是偶函数，并且

因此

若，则。

⚡ 避坑指南/易混淆点

看到指数中含不能直接判断为正态分布。应先配方，并确认核函数能写成且；若最高次项系数为正，积分通常发散，不能成为密度。

二维正态分布

二维正态分布

二维正态分布的联合密度为

若，则边缘分布为

⭐ 核心结论/面试高频

对联合正态 随机变量，以下条件等价：独立、、不相关。

③ 不要求独立，任意线性组合仍满足

④也服从二维正态分布，

⑤且X，Y独立 <==>

【例题】
问：X和独不独立

🔍 展开查看：答案

因为仍服从二维正态分布，所以二者独立当且仅当协方差为。由题设、，故

于是

因此与不独立。

【例题2】设随机变量服从二维正态分布, 则下列随机变量中服从标准正态
分布且与独立的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)

🔍 展开查看：答案

(C)正确，证明如下：

==>
需要满足：

概率积分变换

⭐ 核心结论/面试高频

若随机变量的分布函数连续，则

🔍 展开查看：概率积分变换证明

对，利用广义逆函数，有

再结合时概率为、时概率为，可知服从。

【例题1】设服从上的均匀分布，则服从分布 ________

🔍 展开查看：答案

==>==>

【例题2】设随机变量的概率密度为，为的分布函数，为的数学期望，则

🔍 展开查看：答案

==>

有概率密度，说明X一定是一个连续型随机变量
==>==>

⚡ 避坑指南/易混淆点

“有概率密度”可以推出连续，但反向一般不成立；连续分布函数还可能对应没有普通密度的奇异分布。概率积分变换只要求连续。

【例题3】设服从[0,3]上的均匀分布，则服从分布

🔍 展开查看：答案

服从分布

独立变量的分布封闭性

时，。

时，。

以上结论均要求相应随机变量相互独立；二项分布相加还要求成功概率相同。

随机变量函数与多维分布

本章摘要： 一维变换从出发；二维概率在目标区域上积分；联合、边缘、条件与独立性构成多维分布的四个核心视角。

本章思维导图

连续型随机变量求概率

⭐ 核心结论/面试高频

连续型随机变量“在哪个区域求概率，就在哪个区域积分”：

一维函数的分布函数法

已知的概率密度，求的分布可按三步进行：

1. 根据的范围确定的取值，再求的值域；
2. 在值域外直接写出或；
3. 在值域内从定义出发：

再反解的范围并对积分。

💡 通俗理解

“盯着大写字母”：是固定阈值，真正随机的是或；最终应把事件转成已知随机变量的取值区间，再使用它的密度。

【例题】设令求.

🔍 展开查看：答案

第一步：

可知：的图像为

再画出的图像

第二步：

第三步：
时
写出定义：
根据图像可分为两段：
（1）时，

根据的图像可解得：

（2）

根据的图像分三段积分可解得：

综上：

二维连续型随机变量

在联合分布函数二阶偏导连续处，。

二维随机变量函数的分布

求的分布时，先识别的类型：

列出的全部可能值；把产生同一值的联合概率相加；最后写成分布律。

双离散型

1. 写出所有可能取值，并合并重复值；
2. 计算每个；
3. 拼成分布律：

【例题】已知的联合分布律

（1）求的分布律
（2）求的分布律

🔍 展开查看：两问答案

一离一连续且独立

【步骤】

【例题】随机变量X与Y相互独立，且

设，求Z的概率密度

🔍 展开查看：答案

。

因此。

最大值与最小值

⭐ 核心结论/面试高频

设相互独立，分布函数分别为，则

若它们还同分布，公共分布函数为，则

🔍 展开查看：最大值与最小值公式证明

令。由独立性，

令。处理补事件可得

【例题1】设随机变量和相互独立，已知的分布函数为,则随机变量的分布函数_______.

二维随机变量的独立性

独立，当且仅当对任意，

⚡ 避坑指南/易混淆点

联合密度的表达式可分离还不够，支持区域也必须是两个一维集合的笛卡尔积。此外，独立总能推出不相关；不相关一般不能推出独立，只有联合正态等特殊情形才可以反推。

若独立，则分别对它们做可测变换后，仍独立。若独立，则。

要证明不独立，可找到一对事件使；也可证明，因为相关必然不独立。

古典概型

本节摘要： 古典概型把概率计算转化为等可能样本点的计数，是排列组合与概率论的直接接口。

判断条件

必须同时满足：

1. 样本空间包含有限个 样本点；
2. 每个样本点发生的可能性相同。

此时对事件，

⭐ 核心结论/面试高频

遇到“随机抽取、等可能、求概率”时，先确定样本空间，再数有利样本点；不要直接把题目中的自然语言概率当成独立性。

数字特征

本章摘要： 期望描述中心位置，方差描述波动程度，协方差与相关系数描述两个变量的线性关系。计算时先判断是对随机变量、函数还是联合分布求期望。

本章思维导图

期望

若，则

⭐ 核心结论/面试高频

期望具有线性性，无需独立性：。只有在独立或满足相应乘积条件时，才可写。

方差、协方差与相关系数

方差

且当且仅当。

协方差

相关系数

独立。反向一般不成立。

🔍 展开查看：线性式计算模板

计算时，先删掉常数项，再使用

计算时，先删掉常数项，再展开双线性；写成。

常见分布的期望与方差速查

离散型分布

，。

连续型分布

，在上。

数理统计

本章摘要： 从样本统计量出发，先掌握正态总体下的、、抽样分布，再进入矩估计、最大似然估计和假设检验。

本章思维导图

常见统计量

统计量是样本的函数，不能含有未知总体参数。

1. 样本均值：

1. 样本方差：

1. 样本二阶中心矩：。
2. 样本二阶原点矩：。

⭐ 核心结论/面试高频

若独立同分布，且，则

一般情况下需要四阶矩；若总体为，则。

🔍 展开查看：样本均值结论的证明

由期望线性性和样本独立性，

【例题1】设独立同分布,且，则为_______.

🔍 展开查看：答案

三大抽样分布

若相互独立且均服从，则

⚡ 避坑指南/易混淆点

三大分布都依赖“独立”条件。正态总体样本还常用

并且样本均值与样本方差相互独立。

卡方分布

识别卡方分布的关键是先把每个正态变量标准化，再确认平方项彼此独立；自由度等于独立标准正态平方项的个数。

【例题】设为来自总体的简单随机样本，

当，，，时，。

🔍 展开查看：答案

四组样本互不重叠，因此四个线性组合相互独立。分别标准化：

令四个方差都等于，得到

【例题】设为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）

(A)服从分布。

(B)服从分布。

(C)服从分布。

(D)服从分布。

🔍 展开查看：答案

不服从卡方分布

统二：

统一：

F分布

识别分布时，将分子、分母分别整理成“卡方变量除以自身自由度”的形式。

(2001，数三) 设来自总体，则

服从什么分布？

🔍 展开查看：答案

因为

且该比值正好等于题设，所以。

【例题】 已知, 样本取自总体, 则统计量服从的分布是

(A).

(B).

(C).

(D).

🔍 展开查看：答案

(10)【答案】A.

【解析】由题设知：. 且服从二维正态分布, 又, 从而服从二维正态分布.

又由

,

得, 从而与相互独立.

故与相互独立, 都服从, 因此有

,

.

故应选(A).

t分布

分布的模式是“标准正态变量除以独立卡方变量除自由度后的平方根”：

【例题】(2012, 数三)设为来自总体的简单随机样本，则的分布为【】

(A)

(B)

(C)

(D)

🔍 展开查看：答案

答案为 B。因为

且两部分独立，所以原统计量服从。

【例题】设为来自总体的简单随机样本. 令, 则 ( )

(A).

(B).

(C).

(D).

🔍 展开查看：答案

解 由于为样本均值, 故. 于是,.

根据抽样分布定理(2), 有.

又因为与相互独立, 所以

.

应选 B.

(10)设，其密度为，，，，是取自总体的简单随机样本，若统计量，则与的值为

(A)，。

(B)，。

(C)，。

(D)，。

🔍 展开查看：答案

(10)【答案】C.

【解析】由题设知。

。

，由分布的典型模式知：

，。

抽样分布综合

【例 6.7】(2005, 数一) 设为来自总体的简单随机样本，与分别为样本均值与样本方差，则【】

(A)

(B)

(C)

(D)

(9) 设为来自总体的简单随机样本,为来自总体的简单随机样本, 且两样本相互独立. 记,,,, 则 ( )

(A).

(B).

(C).

(D).

22.（本题满分12分）

设随机变量X，Y相互独立，同服从N(0,1).

(1) 问(2X+Y, X-2Y)是否服从二维正态分布? 2X+Y与X-2Y是否相互独立?

(2) 问服从何分布? 并说明理由.

(3) 求.

🔍 展开查看：分问解答

22.【解】

由于(X,Y)~N(0,0;1,1;0), 且, 所以(2X+Y, X-2Y)服从二维正态分布. 又因为
,
所以2X+Y与X-2Y不相关, 进而2X+Y与X-2Y相互独立.

统计量的数字特征

统计量的数字特征通常利用正态样本中与的独立性，以及三大抽样分布计算。

【例 6.3】设为来自总体的简单随机样本,则

例6.8）(2008, 数一、三) 设为来自总体的简单随机样本. 若

(1) 证明为的无偏估计量；
(2) 当,时, 求.

【例 6.4】设来自，样本均值为，样本方差为。

核心结论为

此外，由、和，

原始推导图：

参数估计

本节摘要： 矩估计用样本矩替代总体矩；最大似然估计让观测样本出现的概率最大。估计量还要进一步检查无偏性等性质。

矩估计

(2002,数三)设总体的概率密度为

为来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为_

(16)设是来自对数级数分布

的一个简单随机样本，则的矩估计量为 ________.

🔍 展开查看：答案

(16)【答案】

【解析】总体一阶原点矩为

但由很难解出, 所以再求总体的二阶原点矩

由,两式相除, 得的矩估计量为

最大似然估计

⭐ 核心结论/面试高频

最大似然估计的标准流程：

1. 写出似然函数：离散总体连乘概率质量函数，连续总体连乘概率密度；
2. 取对数得到；
3. 解，并结合参数空间、边界和单调性确认最大值。

原始步骤图：

(10)设总体X的概率分布为，，利用来自总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得的最大似然估计值为（）.

(A)

(B)

(C)

(D)

🔍 展开查看：答案

==>

10.设总体X的概率分布为,,为未知参数，
利用来自总体X的样本值得到经验分布函数，可得的最大似然估计值为().

A.

B.

C.

D.

🔍 展开查看：答案

【答案】A.

【解】由题意，样本的观测值出现了三个1，三个2，二个3，
似然函数，
取对数；
求导，得. 故正确答案为A.

【例 7.2】（2011，数一）设为来自正态总体的简单随机样本，其中已知，未知，样本均值为，样本方差为.

(I) 求的最大似然估计量;

(II) 求与.

🔍 展开查看：答案

(I)
对样本值，似然函数为

。

。

==>

(II)

==>
==>
==>

==>
==>

(23) (本题满分11分)
设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与，其中是未知参数且。记。
(I) 求的概率密度;
(II) 设为来自总体的简单随机样本，求的最大似然估计量;
(III) 证明为的无偏估计量。

🔍 展开查看：答案

分析：本题主要考查正态分布的概念与性质、最大似然估计法以及无偏估计量的概念。

(1) 服从正态分布的随机变量的概率密度为

(2) 若，且相互独立，则,

解 (I) 由于相互独立且服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布, 且

故, 从而的概率密度

。

(II) 设是来自于样本的一个样本值, 则似然函数为取对数得令,

即有, 解得.

于是的最大似然估计量为

(III) 由于

故为的无偏估计量, 结论得证.

(14)设总体X的概率密度为其中是未知参数,为来自总体X的简单随机样本,若是的无偏估计,则________

🔍 展开查看：答案

==>

(23) (本题满分 11 分)

设总体的概率密度为其中为未知参数., 自该总体的简单随机样本.

(I) 求的矩估计量;

(II) 求的最大似然估计量.

🔍 展开查看：答案

==>

令==>

对样本值,似然估计为：

==>

[例 7.4]设总体的概率密度为,其中为未知参数，

为来自总体的简单随机样本.

(I)求的最大似然估计量,

(II)问是否为的 无 偏 估 计 量 ? 并 说 明 理 由 .

🔍 展开查看：分问答案

对样本值，似然函数为

在可行域上，随递增，因此

假设检验

本章摘要： 假设检验把样本信息转化为对原假设的接受或拒绝。核心顺序是：写假设 → 选统计量 → 写分布 → 确定拒绝域 → 计算并比较。

本节思维导图

⭐ 核心结论/面试高频

显著性水平是“在为真时错误拒绝的概率上限”。双侧检验把分到两端，单侧检验把放到一端。下文分位点均按右尾概率定义。

双侧检验

检验对，统计量为

接受域为，否则拒绝。

单侧检验

已知时使用；未知时使用。

右侧备择的拒绝域分别为、；左侧备择的拒绝域分别为、。

例题：把公式落到数据

例21：正态总体均值双侧检验，方差未知。 题图数据给出、、、，故

因此拒绝。

例22：已知标准差的单侧均值检验。 对与，、、，

拒绝，认为均值有显著提高。

例23：总体方差右侧检验。 对与，、，

拒绝。

例24：两总体均值的单侧检验。 两总体方差相等时使用合并方差

拒绝，支持。