第八章 矩阵的广义逆

核心导读： 普通逆矩阵只适用于可逆方阵，但实际方程常遇到矩形、降秩、无解或多解。本章通过广义逆和唯一的Moore-Penrose伪逆统一这些情形：相容时挑出最小范数解，不相容时给出最小二乘解，并借助满秩分解或SVD稳定计算。

一、为什么需要广义逆

对可逆方阵，方程

有唯一解。但若是矩形矩阵或奇异方阵，普通逆不存在，方程可能：

• 有无穷多解；
• 完全无解；
• 需要在所有近似解中挑一个最优解。

广义逆就是把“逆”的思想推广到这些情形。

💡 通俗理解

普通逆像一把只配标准锁的钥匙；广义逆和伪逆则像万能转接头。它不保证把所有问题还原成唯一精确解，但会按照明确规则给出合理、最优且可计算的答案。

二、广义逆矩阵

若满足

则称为的一个广义逆，常记作。广义逆一般不唯一。

若相容，即，则

所以是一个特解。

相容方程的通解

若是任一广义逆，则

其中为任意维列向量。

验证：

💡 通俗理解

通解由“一个特解+所有齐次解”组成。给出特解，而把任意向量投送到中。

⚡ 避坑指南

只有当方程相容时，才一定是精确解。若，一般广义逆不能自动给出最小二乘解；这时应使用Moore-Penrose伪逆。

三、左逆与右逆

1. 左逆

若列满秩，即且，则可逆，

满足

2. 右逆

若行满秩，即且，则可逆，

满足

⭐ 核心考点

口诀：

• 列满秩，左边能消掉：；
• 行满秩，右边能消掉：。

⚡ 避坑指南

复矩阵必须用共轭转置，实矩阵才可写。同时先看尺寸：左逆是，右逆也是。

四、Moore-Penrose伪逆

对任意，存在唯一矩阵满足四个Penrose方程：

这唯一矩阵称为Moore-Penrose伪逆。

💡 通俗理解

一般广义逆有很多把“备用钥匙”；四个Penrose条件加入对称与自洽要求后，只留下唯一一把标准钥匙。

两个投影

是到列空间的正交投影；

是到的正交投影。因此

是到零空间的正交投影。

⭐ 核心考点

记投影时看尺寸与所在空间：

• 是，作用在右端项空间，投到；
• 是，作用在未知量空间，投到。

五、伪逆的求法

1. SVD法：最通用

若

其中正奇异值为，则

由转置尺寸后，把每个正奇异值取倒数得到。若

则

更紧凑地写，若

是紧SVD，则

💡 通俗理解

SVD把矩阵分成旋转—拉伸—旋转。伪逆把两个旋转倒过来，并对非零拉伸倍数取倒数；被压成零的方向无法恢复，就继续置零。

2. 满秩分解法

若为满秩分解，其中列满秩、行满秩，则

3. 满秩特例

若列满秩，则

若行满秩，则

若为可逆方阵，则

⚡ 避坑指南

只适用于列满秩，只适用于行满秩。一般降秩矩阵必须改用SVD或满秩分解。

六、相容性与最小二乘

方程相容的充要条件是

也等价于

若不相容，则最小二乘问题为

所有最小二乘解满足正规方程

其中唯一的最小范数最小二乘解为

若列满秩，则它化为

💡 通俗理解

当不在列空间里，精确命中不可能。最小二乘先把正交投影到，得到最近点，再求能产生这个投影的最短参数向量。

⭐ 核心考点

有双重最优性：

1. 它使残差最小；
2. 在所有最小残差解中，它的最小。

⚡ 避坑指南

“方程数量多于未知量”不等于“一定无解”。过定系统也可能恰好相容。是否相容必须看秩或看是否属于。

七、最小范数精确解

若相容，则所有解可写为

其中两部分正交，因此

所以唯一最小范数解为

若行满秩，则

⚡ 避坑指南

讲义中最小模解写成时，隐含的是实矩阵且行满秩。一般公式应统一记为。

八、原讲义考题集汇

例1：写出一个矩阵的全部广义逆

设

求的广义逆的一般形式。

解答

可取

直接计算可验

因此的全部广义逆可写为

其中

均可任取。

⚡ 避坑指南

原PDF这一页的在扫描显示和文本抽取中容易丢失正负号。这里按反算并核验，正确的第一行是。

例2：计算Moore-Penrose伪逆

设

求。

解答

秩为。由SVD或直接利用秩一矩阵公式，可得

可用四个Penrose方程核验：

例3：原讲义“求通解”题的相容性复核

原PDF给出的系数矩阵和右端项为

原题要求求的通解。

解答

重新核算得到

所以按PDF中印出的数据，方程组不相容，没有精确通解。左零空间中可取

满足，但

这也直接证明不相容。

若按题面改求最小二乘解，则最小范数最小二乘解为

它满足正规方程。若题面数据经勘误后变为相容，再使用

⚡ 避坑指南

原PDF后续列出的“通解”代回第四个方程并不成立，这是原讲义题面或答案的排印错误，不是广义逆公式失效。若遇到类似题，必须先检查，再使用相容方程通解公式。

九、考前速记清单

1. 广义逆满足，通常不唯一。
2. 伪逆满足四个Penrose方程，且唯一。
3. SVD求伪逆：。
4. 列满秩：。
5. 行满秩：。
6. 投到，投到。
7. 相容通解：。
8. 最小范数最小二乘解统一为。

⚡ 避坑指南

最后自测：若不相容，是否仍有？不一定。实际得到的是，即在上的正交投影。