第五章 范数序列与级数

核心导读： 本章研究如何用一个实数衡量向量或矩阵的大小，并利用这种“大小控制”判断矩阵序列和矩阵级数是否收敛。核心链条是：范数提供上界，谱半径刻画幂的长期行为，而几何级数与一般幂级数最终把标量收敛理论推广到矩阵。

一、范数是什么

范数是把向量或矩阵映射为非负实数的函数，用于衡量对象的“大小”。

1. 向量范数

若满足：

1. 正定性：，且；
2. 齐次性：；
3. 三角不等式：；

则称其为向量范数。

2. 矩阵范数

矩阵范数除满足上述三条外，通常还要求次乘性：

💡 通俗理解

范数像一把尺子。不同范数是不同测量标准：有的计算总消耗，有的只看最大分量，有的测欧氏长度。答案可能不同，但都必须尊重“零对象长度为零、缩放同比、走弯路不比直达短”。

⚡ 避坑指南

单纯把矩阵看成维向量得到的范数，未必自动满足矩阵乘法次乘性。题目若明确要求“矩阵范数”，四条性质都要检查。

二、常用向量范数

对：

1. -范数

2. -范数

3. -范数

4. -范数

当时，

是范数。当时，它不满足三角不等式，不是范数。

⭐ 核心考点

有限维空间中所有范数等价：对任意两种范数，存在常数使

因此有限维中的“是否收敛”与具体选哪种范数无关。

三、常用矩阵范数

设。

1. 元素型范数

矩阵元素绝对值之和：

Frobenius范数：

讲义中的一种最大元素矩阵范数经过尺度修正后可写为

尺度因子用于保证对不同尺寸可乘矩阵的次乘性。

2. 诱导算子范数

由向量范数诱导的矩阵范数定义为

三个最常用公式：

即最大列绝对值和；

即最大行绝对值和；

💡 通俗理解

诱导范数问的是：矩阵这台机器最多能把输入向量放大多少倍。就是最极端方向上的最大拉伸倍数，也就是最大奇异值。

⭐ 核心考点

口诀：

• 算子-范数看列和；
• 算子-范数看行和；
• 算子-范数看最大奇异值；
• Frobenius范数看全部元素平方和。

⚡ 避坑指南

与不是一回事。前者是最大奇异值，后者是全部奇异值平方和开根号。

四、酉不变范数

若对任意尺寸相容的酉矩阵均有

则称该范数为酉不变范数。常见例子包括

原因是酉变换不改变奇异值。

💡 通俗理解

酉变换只是在输入端和输出端旋转坐标系。真正的拉伸能力没变，所以只依赖奇异值的尺子读数也不变。

五、矩阵序列与矩阵幂

矩阵序列收敛到，等价于每个元素收敛：

在有限维空间中，也等价于任一种矩阵范数意义下

若存在一种次乘矩阵范数使

则

从而

更强的充要条件是

⭐ 核心考点

“存在范数使”是很好用的充分条件；“”才是的充要条件。

⚡ 避坑指南

某个常见范数算出，不能据此断言发散。范数判据只有在时能直接给出收敛；否则应改查谱半径或Jordan结构。

六、谱半径

矩阵的谱半径定义为

对任意相容矩阵范数，都有

证明思路：若且，则

所以。

💡 通俗理解

范数给的是“最坏情况下的一步放大”，谱半径描述“反复作用很多次后的指数增长率”。短期可能受非正规结构影响，但长期底色由最大特征值模控制。

七、矩阵幂级数

设标量幂级数

的收敛半径为。对方阵：

• 若，则矩阵级数

绝对收敛；

• 若，则发散；
• 边界需具体分析。

Neumann级数

矩阵几何级数

收敛的充要条件为

此时

有限部分和满足

令即可得到结论。

⭐ 核心考点

若能找到范数满足，则不仅级数收敛，而且余项可估计：

⚡ 避坑指南

表示，不是。矩阵函数中的负指数作用在整个括号上。

八、考题集汇

例1：复向量的三种常用范数

取

求、与。

解答

复向量计算范数时，每个分量都要先取复数模。

各分量的模为

（1）-范数

-范数是所有分量模长之和：

（2）-范数

其中

所以

因此

（3）无穷范数

无穷范数是分量模长中的最大值：

最终

⚡ 避坑指南

复数分量必须取模：，不能把直接带进“绝对值求和”。计算-范数时用。

例2：矩阵元素范数与算子范数

设

求讲义中列出的各种元素范数与算子范数。

解答

先区分两类范数：元素范数把矩阵看成一个长向量；算子范数则与矩阵作用在向量上的放大倍数有关。

（1）矩阵的各范数

元素绝对值和

Frobenius范数

讲义中的尺度化最大元素范数

为矩阵，最大元素模为，所以

算子-范数：最大列和

三列绝对值之和分别为

所以

算子无穷范数：最大行和

三行绝对值之和分别为

因此

算子-范数：最大奇异值

先算

其特征多项式为

最大特征值为，故

综上，

（2）矩阵的算子范数

三列绝对值之和分别为

故

两行绝对值之和分别为

故

计算

其特征多项式可分解为

因此最大特征值为，从而

例3：判断矩阵幂序列的敛散性

分别判断下列矩阵的：

解答

判断是否收敛时，可直接求幂，也可利用谱半径。要注意：“收敛”不一定意味着极限为零；只有时才有。

（1）矩阵

写成

由二项式公式，

右上角元素，所以发散。

（2）矩阵

写成

因此

指数衰减快于多项式增长，所以

故

这也可由直接判断。

（3）矩阵

它由一个一阶块和一个特征值为的二阶Jordan块组成，所以

后面的二阶块趋于零，但左上角始终为，因此

所以该矩阵幂序列收敛，但极限不是零矩阵。

（4）矩阵

按列求绝对值和：

所以

由次乘性，

因此。

最终结论：发散；；收敛到；。

例4：矩阵几何级数求和

设

证明绝对收敛并求和。

解答

第一步：证明绝对收敛

计算的三行绝对值之和：

因此

由矩阵范数的次乘性，

而标量几何级数收敛，所以比较可知

故矩阵级数绝对收敛。

第二步：确定和矩阵

记部分和

则

因为，令可得

所以

第三步：计算逆矩阵

用高斯消元或伴随矩阵法求逆，得到

因此

将该矩阵与相乘可得，所以求逆结果正确。

例5：证明尺度化最大元素范数是矩阵范数

对定义

证明它满足矩阵范数公理。

解答

矩阵范数要验证四条性质：正定性、齐次性、三角不等式和次乘性。

记

（1）正定性

显然。若，则，所以。

反过来，若，由于，必有，从而所有，即。

（2）齐次性

对任意，

（3）三角不等式

由，

两边乘以，得到

（4）矩阵乘法次乘性

设、。对乘积的任一元素，

因此

再对取最大值并乘以：

由于

所以

四条性质全部成立，因此是矩阵范数。

例6：证明谱范数酉不变

证明对酉矩阵，有

解答

谱范数定义为

所以只需比较有关矩阵的乘积的最大特征值。

（1）左乘酉矩阵不改变谱范数

因为，

两者完全相同，所以最大特征值相同，故

（2）右乘酉矩阵不改变谱范数

矩阵与酉相似，因为

相似矩阵特征值相同，因此

从而

（3）左右同时乘酉矩阵

连续应用前两步：

最终

例7：逆矩阵范数的双边估计

若，证明可逆，且

其中为诱导算子范数。

解答

本题分三步：先证明可逆，再证上界，最后证下界。因为把换成会在和之间切换，所以两种符号可统一处理。

第一步：证明可逆

由和，有

因此和都不可能是的特征值，从而与均可逆。

也可直接用Neumann级数：

两级数都因而绝对收敛。

第二步：证明上界

无论取哪个符号，逆矩阵的Neumann级数各项范数都不超过，故

第三步：证明下界

由

以及次乘性，

诱导算子范数满足，并且由三角不等式

所以

即

综上，

九、考前速记清单

1. 范数三公理：正定、齐次、三角不等式；矩阵范数再加次乘性。
2. 算子-范数最大列和，-范数最大行和，-范数最大奇异值。
3. Frobenius范数是所有元素模平方和开根号。
4. 。
5. 。
6. 收敛，和为。
7. 一般幂级数先看标量收敛半径，再比较。

⚡ 避坑指南

最后自测：若，是否一定有发散到无穷？不是。例如时有界但不趋于零；不同Jordan结构会产生不同表现。