线性代数

行列式

行列式的定义

定义：所有取自不同行，不同列元素乘积的代数和
$D = {| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |}_{n \times n}$

$D = \sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} (- 1)^{τ (j, j_{2}, \dots j_{n})} a_{1 j_{1}}, a_{2 j_{2}} \dots a_{n j_{n}}$

注： $τ (j_{1}, j_{2}, \dots j_{n})$ 指的是 $(j_{1}, j_{2}, \dots j_{n})$ 的逆序数
【例】 $τ (54321) = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10 5 后面有 4 个比他小的数， 4 后面有 3 个比他小的数$
$\sum_{j_{1} j_{2} \dots j_{n}}$ 指的是 $1, 2, \dots, n$ 全排列 $(n! 种排列方式)$

代数余子式

总结：行列式 $a_{i j}$ 和 $A_{i j}$ 无关
互交是0

余子式求和

1.余子式求和
转化为代数余子式求和
角标和奇数添负号，偶不变

2.具体代数余子式求和
把所求行换成系数
构造新行列式

3.与各行/列元素之和结合
（1）设出来
若给各行元素之和，把每一列都加到第一列，提数字再利用展开定理给各列元素之和
（2）乘1列向量，再求伴随特征值，写出伴随定义

4.求所有代数余子式之和
（1）求伴随矩阵（即求行列式和逆）
把伴随矩阵的所有元素加起来
（2）求四次各行元素代数余子式之和

三阶行列式的对角线法则

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$
与二阶行列式相似，正对角线加，反对角线减

具体行列式的计算

1.做零展开
做零：将行列式某行（某列）的k倍加到其他行（列）行列式的值不变
展开：将行列式按行或按列展开

2.利用行列式的性质化成特殊行列式计算
（1）行列式的性质
① 行列式转置后，行列式的值不变，即 $| A^{T} | = | A |$
② 某行（列）有公因数k，则将k提到行列式的外面
③ 两行成两列互换，行列式变号
④ 将行列式某行（某列）的k倍加到其他行（列）行列式的值不变
⑤ 某行（某列）所有元素都是两个数的和，可将其拆成两个行列式
例如： $| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | = | \begin{array}{ccc} 1 + 1 & 2 + 1 & 3 + 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | = | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | + | \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | = 0 + 0 = 0$

（2）特殊行列式
① 上（下）三角行列式的值等于它的主对角线元素乘积
$| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array} | = | \begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}$

② 副对角线的上（下）三角行列式的值等于它的负对角线元素乘积乘以 $(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}$
$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = (- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}} a_{13} a_{22} a_{31}$

【记忆】23阶添负号，45阶不变号

③ 范德蒙德行列式
$| \begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \dots & a_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{1}^{n - 1} & a_{2}^{n - 1} & \dots & a_{n}^{n - 1} \end{matrix} | = 第二行中，所有的大下标 - 小下标的乘积$

例： $| \begin{matrix} 1 + x^{3} & x & x^{2} & x^{3} \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & - 1 \\ 9 & 2 & 4 & 8 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 + x^{3} & 2 & 0 & 9 \\ x & 1 & - 1 & 2 \\ x^{2} & 1 & 1 & 4 \\ x^{3} & 1 & - 1 & 8 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x & 1 & - 1 & 2 \\ x^{2} & 1 & 1 & 4 \\ x^{3} & 1 & - 1 & 8 \end{matrix} | = (2 - x) (2 - 1) (2 + 1) (- 1 - x) (- 1 - 1) (1 - x)$

3.每行（列）和相等，每列（行）都加到第1列（行），提k做1消0
$| \begin{matrix} 1 + a & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 + a & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 + a & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 + a \end{matrix} | \overset{每行都加到第一行}{\Rightarrow} | \begin{matrix} 10 + a & 10 + a & 10 + a & 10 + a \\ 2 & 2 + a & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 + a & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 + a \end{matrix} | \overset{提 k 做 1}{\Rightarrow} (10 + a) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 + a & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 + a & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 + a \end{matrix} |$
$= (10 + a) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a \\ a \\ a \end{matrix} | = (10 + a) a^{3}$

4.爪形行列式
方法：用中爪干掉一个边爪，用上（下）三角行列式去做
例如： $| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a \\ 1 & 2 a \\ 1 & 3 a \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 - \frac{1}{a} & 0 & 1 & 1 \\ 1 & a \\ 1 & 2 a \\ 1 & 3 a \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{2 a} & 0 & 0 & 1 \\ 1 & a \\ 1 & 2 a \\ 1 & 3 a \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{2 a} - \frac{1}{3 a} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & a \\ 1 & 2 a \\ 1 & 3 a \end{matrix} | = (1 - \frac{1}{a} - \frac{1}{2 a} - \frac{1}{3 a}) 6 a^{3}$

5.利用分块矩阵计算行列式（拉普拉斯）
$| \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix} | = | A | \cdot | B |$

$| \begin{matrix} 0 & A_{n \times n} \\ B_{m \times m} & 0 \end{matrix} | = (- 1)^{m - n} | A | | B |$

例： $D = | \begin{array}{cccc} 0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d \end{array} | = - | \begin{array}{cccc} 0 & a & b & 0 \\ 0 & c & d & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ c & 0 & 0 & d \end{array} | = | \begin{array}{cccc} a & 0 & b & 0 \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ 0 & c & 0 & d \end{array} | = - | \begin{array}{cccc} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{array} | = - | \begin{matrix} a & b \\ c & a \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = - (a d - b c)^{2}$

6.三线形行列式

D_{n} = | \begin{matrix} α + β & α & 0 & \dots & 0 & 0 \\ β & α + β & α & \dots & 0 & 0 \\ 0 & β & α + β & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & α + β & α \\ 0 & 0 & 0 & \dots & β & α + β \end{matrix} |

D_{n} = | \begin{matrix} α + β & α β & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & α + β & α β & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & α + β & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & α + β & α β \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & α + β \end{matrix} |

有相同的结论：

D_{n} = {\begin{cases} (n + 1) α^{n}, & α = β \\ \frac{α^{n + 1} - β^{n + 1}}{α - β}, & α \neq β . \end{cases}

7.三线形行列式的变形

8.ab形行列式
${| \begin{matrix} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a \end{matrix} |}_{n \times n} = [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1}$

证明：
$| \begin{array}{cccc} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a \end{array} | \overset{每行都加到第一行}{\Rightarrow} [a + (n - 1) b] | \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b & b & b & \dots & a \end{array} | = [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1}$

9.叉形行列式

抽象行列式的计算

行列式的公式：
① $| A^{T} | = | A |$
② $| k A | = k^{n} | A |$
③ $| A B | = | A | \cdot | B |$
④ $| A^{*} | = | A |^{n - 1}$
⑤ $| A^{- 1} | = | A |^{- 1} = \frac{1}{| A |}$
⑥ $| A | =$ 特征值乘积
⑦ $A B \Rightarrow | A | = | B |$
⑧ 正交矩阵的行列式为 $\pm 1$

行列式重要结论

A为n阶矩阵，如果有k阶子式行列式的值不为0，则说明 $r (A) \geq k$

矩阵

矩阵的运算

该部分摘抄于这篇文章，总结的很好捏]

方阵满足乘法交换律的条件

乘法交换律即： $(A B = B A)$

（1） $A$ 与 $f (A), A^{- 1}, A^{*}$ 可交换
（2） A的两个多项式 $f (A), g (A)$ 可交换
（3）对角矩阵和对角矩阵可交换
（4） A与kE可交换

例如：
$A A^{*} = A^{*} A Λ_{1} Λ_{2} = Λ_{2} Λ_{1}$
$A^{m} A^{t} = A^{t} A^{m} (A + E) (A - E) = (A - E) (A + E)$

注：若A与B可交换，则关于AB的运算和数的运算是一样的
例如：
$A, B 可交换 \Rightarrow (A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$
$A, B 可交换 \Rightarrow (A + B)^{n} = C_{n}^{0} A^{n} + C_{n}^{n - 1} B + \dots + C_{n}^{n} B^{n}$
$A, B 可交换 \Rightarrow A^{2} - A - 2 E = (A + E) (A - 2 E)$

逆运算

1、 $(A^{- 1})^{- 1} = A$

2、 $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$

3、 $(A^{m})^{- 1} = (A^{- 1})^{m}$

4、 $(A^{*})^{- 1} = (A^{- 1})^{*}$

5、 $| A^{- 1} | = {| A |}^{- 1}$

6、 $(k A)^{- 1} = k^{- 1} A^{- 1}$

7、 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$

8、 $(A_{1} A_{2} \dots A_{m})^{- 1} = A_{m}^{- 1} A_{m - 1}^{- 1} \dots A_{1}^{- 1}$

转置运算

1、 $(A^{T})^{T} = A$

2、 $(A^{- 1})^{T} = (A^{T})^{- 1}$

3、 $(A^{m})^{T} = (A^{T})^{m}$

4、 $(A^{*})^{T} = (A^{T})^{*}$

5、 $| A^{T} | = | A |$

6、 $(k A)^{T} = k A^{T}$

7、 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$

8、 $(A_{1} A_{2} \dots A_{m})^{T} = A_{m}^{T} A_{m - 1}^{T} \dots A_{1}^{T}$

幂运算

1、 $(A^{- 1})^{m} = (A^{m})^{- 1}$

2、 $(A^{T})^{m} = (A^{m})^{T}$

3、 $(A^{*})^{m} = (A^{m})^{*}$

4、 $| A |^{m} = | A^{m} |$

5、 $| k A | = k^{n} | A |$

6、 $| A_{1} A_{2} \dots A_{m} | = | A_{1} | | A_{2} | \dots | A_{m} |$

伴随运算

1、 $(A^{*})^{*} = | A |^{n - 2} A$

2、 ${(\dots ({((A^{*})^{*})}^{*}) \dots)}^{*} (k 重伴随) = | A |^{\frac{(n - 1) k - (- 1)^{k}}{n}} \cdot A^{(- 1)^{k}}$

3、 $(A^{- 1})^{*} = (A^{*})^{- 1}$

4、 $(A^{m})^{*} = (A^{*})^{m}$

5、 $| A^{*} | = | A |^{n - 1}$

6、 $| k A |^{*} = k^{n - 1} A^{*}$

7、 $(A B)^{*} = B^{*} A^{*}$

8、 $(A_{1} A_{2} \dots A_{m})^{*} = A_{m}^{*} A_{m - 1}^{*} \dots A_{1}^{*}$

转置、逆、伴随、k次幂可交换

$(A^{*})^{- 1} = (A^{- 1})^{*}$
$(A^{4})^{*} = (A^{*})^{4}$
$\dots$

分块矩阵

分块矩阵的运算

（1） ${[\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}]}^{- 1} = [\begin{matrix} A^{- 1} \\ B^{- 1} \end{matrix}]$
（2） ${[\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}]}^{- 1} = [\begin{matrix} B^{- 1} \\ A^{- 1} \end{matrix}]$
（3） ${[\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}]}^{n} = [\begin{matrix} A^{n} \\ B^{n} \end{matrix}]$
（4）拉普拉斯
$| \begin{array}{cc} A & 0 \\ * & B \end{array} | = | A | | B | | \begin{array}{cc} A & * \\ 0 & B \end{array} | = | A | | B |$
$| \begin{array}{cc} 0 & A_{m} \\ B_{n} & * \end{array} | = (- 1)^{m n} | A | | B | | \begin{array}{cc} * & A_{m} \\ B_{n} & 0 \end{array} | = (- 1)^{m n} | A | | B |$

注：
$| \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} | \neq | A D - B C |$
${[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}]}^{*} \neq [\begin{matrix} D & - B \\ - C & A \end{matrix}]$
${[\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}]}^{n} \neq [\begin{matrix} A^{n} \\ B^{n} \end{matrix}] \neq [\begin{matrix} A^{n} \\ B^{n} \end{matrix}]$

分块矩阵结论

(1)
$r (A, B) \geq m a x {r (A), r (B)}$

(2)
$(A, B)^{T} = r (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})$

对角矩阵

$[\begin{array}{cc} a_{1} b_{1} \\ a_{2} b_{2} \\ a_{3} b_{3} \end{array}] = [\begin{array}{cc} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}] [\begin{array}{cc} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}]$

初等矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

口诀：左行右列

初等矩阵的指令

（1）交换行列
（2）乘k倍加到行列上
（3）行列乘以k倍

作用在矩阵上的口诀：左行右列

广义初等变换(分块矩阵)

【例 2.7】（2018 数一二三）设 A B为n阶矩阵 $(X Y)$ 表示分块矩阵，则【】

(A) $r (A A B) = r (A)$

(B) $r (A B A) = r (A)$

(D) $r (A B) = r (A^{T} B^{T})$

(A)
左行右列，可以将第一列（A）右乘-B加到第二列（AB）上
即： $r (A 0) = r (A)$

(B)
无法消除BA，故错误

(D)
$r (A B) = (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})$

代数余子式

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]$

余子式： $M_{11} = a_{22}, M_{12} = a_{21}, M_{21} = a_{12}, M_{22} = a_{11}$

代数余子式：
$A_{n m} = (- 1)^{n + m} M_{n m}$

【例2.9】(2023，数一)设n阶矩阵A,B,C满足ABC=O，记矩阵 $(\begin{matrix} O & A \\ B C & E \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} A B & C \\ O & E \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} E & A B \\ A B & O \end{matrix})$ 的秩分别为r₁,r₂,r₃，则【】

设 $A$ , $B$ , $C$ 均为 $n$ 阶矩阵，则 $r (\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix}) = r (A) + r (B)$ 是 $C$ 的列向量可由 $A$ 的列向量线性表示的

(A) 必要非充分条件

(B) 充分非必要条件

(D) 既非充分又非必要条件

【详解】必要性：若 $C$ 的列向量可由 $A$ 的列向量线性表示，则存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $C = A P$ ，

$(\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix}) \overset{列变换}{\to} (\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix})$ ，故 $r (\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix}) = r (A) + r (B)$ 。

充分性：令 $A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ， $C = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ ，则 $r (\begin{matrix} A & C \\ O & B \end{matrix}) = r (A) + r (B)$ ，但 $C$ 的列向量不能由 $A$ 的列向量线性表示，故应选(A)

矩阵乘法

向量角度计算矩阵乘法

伴随矩阵

定义：
$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] \Rightarrow A^{*} = {[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix}]}^{T} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{matrix}]$

性质：
（1） $A A^{*} = A^{*} A = | A | E$
（2） $A A^{*} (A^{*})^{- 1} = | A | E A (A^{*})^{- 1}$ ==> $A = | A | (A^{*})^{- 1}$
（3） $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}$
（4） $| A^{*} | = | A |^{n - 1}$

伴随矩阵的秩

$r (A^{*}) {\begin{cases} n & r (A) = n \\ 1 & r (A) = n - 1 \\ 0 & r (A) < n - 1 \end{cases}$

二阶矩阵的伴随

二阶矩阵的伴随： $A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] \Rightarrow A^{*} = [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$ （口诀：正对调，副取反）

例题：矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*} = [\begin{matrix} 4 & - 2 & 0 & 0 \\ - 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ ,则 $A =______.$

令 $B = [\begin{matrix} 4 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{matrix}] C = [\begin{matrix} - 4 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]$ 则， $A^{*} = [\begin{matrix} B & 0 \\ 0 & C \end{matrix}]$

$| A^{*} | = | A |^{n - 1} = | A |^{3} = | B | | C | = - 8 \Rightarrow | A | = - 2$
$(A^{*})^{- 1} = {[\begin{array}{cc} B \\ C \end{array}]}^{- 1} = [\begin{array}{cc} B^{- 1} \\ C^{- 1} \end{array}]$

$B^{- 1} = \frac{1}{| B |} B^{*} = \frac{1}{- 2} [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$
$C^{- 1} = \frac{1}{| C |} C^{*} = \frac{1}{4} [\begin{matrix} - 1 \\ - 4 \end{matrix}]$

$A = | A | (A^{*})^{- 1} = - 2 [\begin{matrix} B^{- 1} \\ C^{- 1} \end{matrix}]$

元素之和

各行元素之和：
$A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} Σ A_{1 i} \\ Σ A_{2 i} \\ ⋮ \\ Σ A_{n i} \end{matrix})$

各列元素之和：
$A^{T} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} Σ A_{1 i} \\ Σ A_{2 i} \\ ⋮ \\ Σ A_{n i} \end{matrix})$

逆矩阵

可逆的定义

定义：若n阶方阵 $A, B$ ,满足 ${\begin{cases} A B = E \\ B A = E \end{cases}$
则称， ${\begin{cases} A 可逆，且 A^{- 1} = B \\ B 可逆，且 B^{- 1} = A \end{cases}$

结论1：n阶方阵 $A, B$ , $A B = E$ <==> $B A = E$
证明： $A B = E \Rightarrow B A = E B A = A^{- 1} A B A = E$ ,即 $B A = E$

结论2:若n阶方阵 $A, B$ ，满足 $A B = E$ 或 $B A = E$
==> ${\begin{cases} A 可逆，且 A^{- 1} = B \\ B 可逆，且 B^{- 1} = A \end{cases}$

可逆六充要

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆

$⟺ | A | \neq 0$

$⟺ r (A) = n$

$⟺ A$ 的列（或行）向量组线性无关

$⟺$ 齐次线性方程组 $A x = 0$ 只有零解

$⟺$ 非齐次线性方程组 $A x = b$ 有唯一解

$⟺$ $A$ 的特征值均不为零

【口诀】秩满可逆不为0 无关唯一只零解

常规求逆

$[A | E] \Rightarrow [E | A^{- 1}]$

二阶矩阵的逆

常用伴随矩阵计算：
$A^{- 1} = \frac{1}{| A |} A^{*}$
参考这个口诀快速计算

三阶矩阵求逆

【机械三阶求逆法】

由该例题讲解过程：
$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 \\ - 1 & - 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix}]$

第一步：先将前两列往第三列后面抄

$[\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & 2 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 0 & 1 & 3 \end{matrix}]$

第二步：再将前两行往第三行后面抄

$[\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & 2 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & 2 & - 1 & - 2 \end{matrix}]$

第三步：划掉第一行和第一列

$[\begin{matrix} - 2 & 2 & - 1 & - 2 \\ 3 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & - 1 & 1 & 2 \\ - 2 & 2 & - 1 & - 2 \end{matrix}]$

第四步：竖算横抄得伴随（算：如第一个数为 $- 2 \times 0 - 2 \times 3 = - 6$ ）

$A^{*} = [\begin{matrix} - 6 & - 3 & 2 \\ 2 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{matrix}]$

第五步：伴随转逆

$A^{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |}$

初等矩阵的逆

初等矩阵均可逆，且它的逆矩阵是同类型的初等矩阵
（1）交换矩阵的两行（列）形成的初等阵，逆矩阵是它本身
（2）某一行（列）乘以k倍形成的初等阵，逆矩阵是该行（列）乘以 $\frac{1}{k}$ 倍形成的初等阵
（3）矩阵某一行（列）的k倍加到另外一行（列）形成的初等阵，逆矩阵是该行（列）的 $- k$ 倍，加到另外一行（列）形成的初等阵

对角矩阵的逆

$\begin{aligned} {(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ ⋱ \\ a_{2} \end{array})}^{- 1} = (\begin{array}{c} \frac{1}{a_{1}} \\ \frac{1}{a_{2}} \\ ⋱ \\ \frac{1}{a_{n}} \end{array}); \\ {(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ . . \\ a_{n} \end{array})}^{- 1} = (\begin{array}{c} \frac{1}{a_{n}} \\ \frac{1}{a_{n - 1}} \\ . . \\ \frac{1}{a_{1}} \end{array}) . \end{aligned}$

分块矩阵的逆

前提： $A 、 D 可逆$

${[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D \end{matrix}]}^{- 1} = [\begin{matrix} A^{- 1} & 0 \\ 0 & D^{- 1} \end{matrix}],$

${[\begin{matrix} 0 & A \\ D & 0 \end{matrix}]}^{- 1} = [\begin{matrix} 0 & D^{- 1} \\ A^{- 1} & 0 \end{matrix}],$

${[\begin{matrix} A & 0 \\ C & D \end{matrix}]}^{- 1} = [\begin{matrix} A^{- 1} & 0 \\ - D^{- 1} C A^{- 1} & D^{- 1} \end{matrix}],$

${[\begin{matrix} A & B \\ 0 & D \end{matrix}]}^{- 1} = [\begin{matrix} A^{- 1} & - A^{- 1} B D^{- 1} \\ 0 & D^{- 1} \end{matrix}] .$

对称矩阵与反对称矩阵定义

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若 $A^{T} = A$ ，则称 $A$ 为对称矩阵。若 $A^{T} = - A$ ，则称 $A$ 为反对称矩阵。

【评注】任意 $n$ 阶矩阵均可分解为对称矩阵与反对称矩阵的和。

$A = \frac{1}{2} (A + A^{T}) + \frac{1}{2} (A - A^{T})$
$(A + A^{T})^{T} = A^{T} + (A^{T})^{T} = A^{T} + A = A^{T} + A^{T} (A + A^{T} 为对称)$
$(A - A^{T})^{T} = A^{T} - (A^{T})^{T} = A^{T} - A = - (A - A^{T}) (A - A^{T} 为反对称)$

解矩阵方程

解矩阵方程 $A X = B \Rightarrow X = ?$

取逆

（1）求 $A^{- 1} B [A ∣ B] \overset{行变换}{\Rightarrow} [E ∣ A^{- 1} B]$
（2）求 $A B^{- 1} [\frac{B}{A}] \overset{列变换}{\Rightarrow} [\frac{E}{A B^{- 1}}]$

由（1）可得， $A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$
由（2）可得， $X B = A \Rightarrow X = A B^{- 1}$

【例4.12】(2014, 数一、二、三)设 $A = (\begin{matrix} 1 & - 2 & 3 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & - 3 \end{matrix})$ .

(I) 求线性方程组 $A x = 0$ 的一个基础解系;

(II) 求满足 $A B = E$ 的所有矩阵 $B$ .

$(A ∣ E) = (\begin{matrix} 1 & - 2 & 3 & - 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 6 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & - 1 & - 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 & - 1 & - 4 & 1 \end{matrix})$

(I)
基础解系： $ξ = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$

(II)
$X = [\begin{matrix} 2 - k_{1} & 6 - k_{2} & - 1 - k_{3} \\ - 1 + 2 k_{1} & - 3 + 2 k_{2} & 1 + 2 k_{3} \\ - 1 + 3 k_{1} & - 4 + 3 k_{2} & 1 + 3 k_{3} \\ k_{1} & k_{2} & k_{3} \end{matrix}]$

已知 $a$ 是常数，且矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & - a \end{matrix})$ 可经初等列变换化为矩阵 B $= (\begin{matrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \end{matrix}) .$

(I)求 $a;$

(II)求满足 $AP = B$ 的可逆矩阵 $P .$

解 (Ⅰ) 由于矩阵A可经初等列变换化为矩阵B, 故矩阵方程AX=B有解. 于是, r(A)=r(A,B). 对(A,B)作初等行变换.

(A, B) = (\begin{array}{llllll} 1 & 2 & a & 1 & a & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 7 & - a & - 1 & 1 & 1 \end{array}) \frac{r_{2} - r_{1}}{r_{3} - 2 r_{1}} (\begin{array}{llllll} 1 & 2 & a & 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & - a & - 1 & 1 - a & - 1 \\ 0 & 3 & - 3 a & - 3 & 1 - 2 a & - 3 \end{array})

\frac{r_{1} - 2 r_{2}}{r_{3}^{*} - 3 r_{2}^{*}} (\begin{array}{llllll} 1 & 0 & 3 a & 3 & 3 a - 2 & 4 \\ 0 & 1 & - a & - 1 & 1 - a & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a - 2 & 0 \end{array}) .

当且仅当a=2时, r(A)=r(A,B)=2. 或者, 由矩阵A可经初等列变换化为矩阵B可知, A的列秩等于B的列秩, 从而r(A)=r(B). 同上面的计算可知r(A)=2, 当且仅当a=2时, r(A)=r(B). 因此, a=2.

待定系数法

令 $X = [\begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{matrix}]$ 代入方程组

分块矩阵法(重要)

$A X = B \Rightarrow X = ? / X A = B \Rightarrow X = ?$
（1）将 $X, B$ 按列分块
$A (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}) = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$
（2）解三个非齐方程组
$A X = β_{1} \Rightarrow X = ξ_{1}$
$A X = β_{2} \Rightarrow X = ξ_{2}$
$A X = β_{3} \Rightarrow X = ξ_{3}$
（同时求3个非齐方程组通解）
（3）将 $ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}$ 拼成 $X$

矩阵的n次方

找规律

方法：求一下 $A^{2}, A^{3},$ 找规律

例：已知 $A = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]$ ,求 $A^{n}$

$A^{2} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{matrix}] = 2 A$
$\dots$
$A^{n} = 2^{n - 1} A$

列乘行矩阵（秩为1）

列乘行是一个矩阵，行乘列是一个数

列乘行矩阵特征：
（1） $A = α β^{T}$
（2）秩为1
（3）各行/各列成比例，如： $[\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 \\ 4 & - 2 & 6 \\ - 2 & 1 & - 3 \end{matrix}]$

列乘行矩阵性质： $A^{n} = t r^{n - 1} (A) \cdot A$

注：
① 列乘行矩阵 $A = α β^{T}$ <==> 矩阵秩为1 <==> 矩阵各行/列成比例
② 若 $A = α β^{T}$ ==> $t r (A) = α^{T} β = β^{T} α$
例如： $A = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}] [1, 2, 3]$ ==> $t r (A) = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14$ ③ 若 $A = α β^{T}$ ，那么
$\begin{aligned} A^{2} = A \cdot A = α β^{T} α β^{T} = t r (A) α β^{T} = t r (A) \cdot A \\ A^{3} = A \cdot A \cdot A = α β^{T} \cdot α β^{T} \cdot α β^{T} = t r^{2} (A) A \end{aligned}$
$\dots$
$A^{n} = t r^{n - 1} (A) \cdot A$

特殊的幂0矩阵

幂0矩阵的定义：存在某个幂次，再次之后全为0

矩阵对角线元素全为0，对角线一侧也全为0
例如： $[\begin{matrix} 0 & a & d & f \\ 0 & 0 & b & e \\ 0 & 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 \\ d & b & 0 & 0 \\ f & e & c & 0 \end{matrix}]$

求 $A^{2}, A^{3}, A^{4}$
$A^{2} = [\begin{matrix} 0 & 0 & a b & a e + c d \\ 0 & 0 & 0 & b c \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] A^{3} = [\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & a b b c \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] A^{4} = [\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

二项式定理

$A^{n} = (k E + B)^{n}, B$ 为幂0矩阵

二项式定理： ${(A + B)}^{n} = C_{n}^{0} A^{n} B^{0} + C_{n}^{1} A^{n - 1} B^{1} + C_{n}^{r} A^{n - r} B^{r} + \dots + C_{n}^{n} A^{0} B^{n}$

注： $A^{0} = E$

例： $A = [\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$ ,求 $A^{n}$
$A = [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] = 2 E + [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

$令 B = [\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}], A = (2 E + B)$
$B^{2} = [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] B^{3} = 0$

$A^{n} = (2 E + B)^{n} = C_{n}^{0} B^{0} (2 E)^{n} + C_{n}^{1} B^{1} (2 E)^{n - 1} + C_{n}^{2} B^{2} (2 E)^{n - 2}$
$= 2^{n} E + n \cdot B \cdot 2^{n - 1} \cdot E + \frac{n (n - 1)}{2} B^{2} \cdot 2^{n - 2} \cdot E$
$= [\begin{array}{ccc} 2^{n} \\ 2^{n} \\ 2^{n} \end{array}] + 2^{n - 1} \cdot n [\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}] + 2^{n - 3} \cdot n (n - 1) [\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

分块矩阵的n次方

$A = [\begin{matrix} B & 0 \\ 0 & C \end{matrix}], A^{n} = [\begin{matrix} B^{n} & 0 \\ 0 & C^{n} \end{matrix}]$

相似对角化

方法： $A Λ$ ==> $P^{- 1} A P = Λ$ ==> $A = P Λ p^{- 1}$ ==> $A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}$

（1） ${[\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \\ ⋱ \\ λ_{n} \end{matrix}]}^{n} =$ $[\begin{matrix} λ_{1}^{n} \\ λ_{2}^{n} \\ λ_{3}^{n} \\ ⋱ \\ λ_{n}^{n} \end{matrix}]$
（2）找 $A P = P Λ$ 成 $A P = P B$
$A P = P Λ$ ==> $A = P Λ P^{- 1}$ ==> $A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}$

例题：设 $P A = B P$ ，其中 $P = [\begin{matrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix}]$ ， $B = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ ，则 $A^{100} =______$ .

$P^{- 1} P A = P^{- 1} B P \Rightarrow A^{100} = P^{- 1} B^{100} P = P - 1 \cdot [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot P = P^{- 1} P = E$

行阶梯和行最简

（1）行阶梯形矩阵
1.零行在最后
2.主元下面全为0
3.越往下主元越靠右

（2）行最简形矩阵
1.零行在最后
2.主元上下全为0
3.越往下主元越靠后
4.主元全是1

矩阵的秩

秩的定义

（1）A有r阶子式不为0
（2）A的所有 $r + 1$ 阶子式都为0

另一种描述：
秩等于最高阶非零子式阶数

求矩阵A的秩

（1） $A \overset{行变换}{\Rightarrow}$ 行阶梯
（2）画梯子，非零台角的个数为A的秩

求含参矩阵A的秩

（1） $A \overset{行变换}{\Rightarrow}$ 行阶梯（注意：不允许除以含参项）（2）画梯子，讨论：
① 先讨论台角全不为0
② 再分别讨论台角为0

矩阵的秩结论

秩不变口诀

【注意区分】左行右列是初等矩阵相乘，是讨论具体矩阵乘积。

左列右行用来讨论矩阵乘积后的秩。
左乘列满秩，秩不变。
右乘行满秩，秩不变。

乘可逆矩阵，秩不变

消除律

【消除律】
总结：左乘列满秩，右乘行满秩，可消去
$A B = A C \overset{A 可逆或列满秩}{\Rightarrow} B = C$
$B A = C A \overset{A 可逆或行满秩}{\Rightarrow} B = C$

结论证明：
（1） $A_{m \times n} B_{n \times s} = A_{m \times n} C_{n \times s}$ ，若 $r (A) = n$ ，则 $B = C$
$A B = A C \overset{左乘 A^{T}}{\Rightarrow} A^{T} A B = A^{T} A C$
$A^{T} A$ 是n阶矩阵且 $r (A^{T} A) = r (A) = n \Rightarrow A^{T} A 可逆$
即证： $B = C$

（2） $B_{m \times n} A_{n \times s} = C_{m \times n} A_{n \times s}$ ，若 $r (A) = n$ ，则 $B = C$
$B A = C A \overset{右乘 A^{T}}{\Rightarrow} B A A^{T} = C A A^{T}$
$A A^{T}$ 是n阶矩阵且 $r (A A^{T}) = r (A) = n \Rightarrow A A^{T} 可逆$
即证： $B = C$

【列/行满秩】
有一个 $n$ 行 $m$ 列矩阵 $A$ ，列满秩说明 $r (A) = m$ ,行满秩说明 $r (A) = n$

四秩相等口诀

$r (A) = r (A^{T}) = r (A A^{T}) = r (A^{T} A)$

AB=0

证明：如果 $A B = 0$ ，那么 $B$ 的每个列都是齐次方程组 $A X = 0$ 的解。设 $r (A) = r$ ，那么方程组 $A X = 0$ 最多有 $n - r$ 个线性无关的解，所以： $r (B) \leq n - r = n - r (A)$ 。因此， $r (A) + r (B) \leq n$ 。称为 $n$ 元齐次线性方程组。

西尔维斯特不等式

$A : m \times n, B : n \times s$ ==> $r (A) + r (B) - n \leq r (A B) \leq m i n {r (A), r (B)}$

【例题】设 $A$ 为 $n \times m$ 的矩阵， $B$ 为 $m \times n$ 的矩阵， $C$ 为 $n$ 阶矩阵，其中 $m \neq n$ ，且满足 $r (A) + r (B) + r (C) = r (A B C) + m + n$ ，给出下列四个结论：
(1) $r (A B C) + n = r (A B) + r (C)$
(2) $r (A B C) + m = r (A B) + r (C)$
(3) $r (A B) + n = r (A) + r (B)$
(4) $r (A B) + m = r (A) + r (B)$
其中正确的是 ( )
(A) (1) (3).
(B) (1) (4).
(C) (2) (3).
(D) (2) (4).

$r (A) + r (B) + r (C) = r (A B C) + m + n$
$\geq r (A B) + r (C) - n + m + n$
$\geq r (A B) + r (C) + m$
$\geq r (A) + r (B) - m + m + r (C)$
$\geq r (A) + r (B) + r (C)$

说明上述不等式，实则均相等

$r (A) + r (B) + r (C) = r (A B C) + m + n = r (A B) + r (C) + m$

==> $r (A B C) + n = r (A B) + r (C)$
==> $r (A B) + m = r (A) + r (B)$

矩阵等价

矩阵A与B等价的充要条件

<==> A可经过有限次的初等变换化为B（可行列混用）
<==> $P_{s} \dots P_{2} P_{1} A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{ρ} = B (P_{i}, Q_{i} 为初等阵)$
<==> $P A Q = B (P, Q 可逆)$
<==> $r (A) = r (B) (A, B 为同型阵，即同为 n \times m 矩阵)$

矩阵A与B行等价的充要条件

<==> A可经过有限次的初等行变换化为B
<==> $P_{s} \dots P_{2} P_{1} A = B (P_{i} 为初等阵)$
<==> $P A = B (P 可逆)$

矩阵A与B列等价的充要条件

<==> A可经过有限次的初等列变换化为B
<==> $A Q_{1} Q_{2} \dots Q_{ρ} = B (Q_{i} 为初等阵)$
<==> $A Q = B (Q 可逆)$

矩阵相似

矩阵相似的性质

（1）只有方阵，才谈相似

（2）(定义)对于n阶方阵 $A, B$ 若 $\in$ 可逆矩阵 $P$ , $s . t . P^{- 1} A P = B$ ，则矩阵A与B相似，记作 $A \sim B$

（3）若 $A \sim B$ ，则
①
$f (A) \sim f (B)$
$A^{- 1} \sim B^{- 1}$
$A^{*} \sim B^{*}$
$A^{T} \sim B^{T}$
$f (A) + k A^{- 1} + ρ A^{*} \sim f (B) + k B^{- 1} + ρ B^{*}$

$A^{- 1}, A^{*}, f (A)$ 与 $A \sim B$ 共用 $P$
$P^{- 1} A P = B$
==> $P^{- 1} A^{- 1} P = B^{- 1}$
==> $P^{- 1} A^{*} P = B^{*}$
==> $P^{- 1} f (A) P = f (B)$

==> $(P^{- 1} A P)^{2} = B^{2} \Rightarrow P^{- 1} A^{2} P = B^{2}$

==> $(P^{T})^{- 1} A^{T} P^{T} = B^{T}$ ②
$| A | = | B |$
$| λ E - A | = | λ E - B |$
$r (A) = r (B)$
$t r (A) = t r (B)$

（4）若A可逆，则 $A B \sim B A$

证明： $A^{- 1} A B A = B A \overset{A B 看成整体}{\Rightarrow} A B \sim B A$

（5）若 $A \sim B, C \sim D$ ，则 $[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & C \end{matrix}] \sim [\begin{matrix} B & 0 \\ 0 & D \end{matrix}]$

（6）实对称矩阵和非对称矩阵一定不相似

（7）可相似对角化的矩阵和不能相似对角化的矩阵一定不相似

【注意】
已知A与B均可相似对角化，且 $A \sim B$ ，求可逆阵P，使得 $P^{- 1} A P = B$

${\begin{cases} P_{1}^{- 1} A P_{1} = Λ \\ P_{2}^{- 1} B P_{2} = Λ \end{cases} \Rightarrow P_{1}^{- 1} A P_{1} = P_{2}^{- 1} B P_{2}$

$\overset{左乘 P_{2} 右乘 P_{2}^{- 1}}{\Rightarrow} P_{2} P_{1}^{- 1} A P_{1} P_{2}^{- 1} = B \Rightarrow (P_{1} P_{2}^{- 1})^{- 1} A (P_{1} P_{2}^{- 1}) = B$

令 $P = P_{1} P_{2}^{- 1} \Rightarrow P^{- 1} A P = B$

$[\begin{matrix} P_{2} \\ P_{1} \end{matrix}] \overset{列变换}{\Rightarrow} [\begin{matrix} E \\ P_{1} P_{2}^{- 1} \end{matrix}] = P$

【注意】
已知A,B均不可相似对角化，且 $A \sim B$ ，求可逆阵P，使得 $P^{- 1} A P = B$

（待定系数法）
令 $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$
利用 $A P = P B$ ，解 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$

$A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}] B = [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

$\Rightarrow A 的特征值有 : 0, 0, 1$
$\Rightarrow A 的特征向量有 : α_{1} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] α_{2} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$
$\Rightarrow {\begin{cases} A α_{1} = 0 \\ A α_{2} = α_{2} \end{cases}$

令 $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$
令 $A P = P B \Rightarrow A (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$
$\Rightarrow (A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}) = (0, α_{2}, α_{1})$
$\Rightarrow (0, α_{2}, A α_{3}) = (0, α_{2}, α_{1})$
$\Rightarrow A α_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ ， $α_{3}$ 是 $A X = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ 的解

$A X = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$ 的同解为 $[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ k \end{matrix}]$

解得： $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & k \end{matrix}]$

判断A与B是否相似

（1）用性质排除

（2）
${\begin{cases} A, B 均可相似对角化, A 与 B 特征值一样才相似 \\ A, B 一个可相似对角化, 一个不可相似对角化, 一定不相似 \\ A, B 均不可相似对角化, r (A - λ E) = r (B - λ E) 才相似 (只适用于三阶以下) \end{cases}$

【例题】
下列矩阵中, 与矩阵 $(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ 相似的为( )

(A) $(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ . $(B) (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ .
$(C) (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ . $(D) (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ .

题干和选项的特征值均为三重k特征值，且均 $r (A - E) \neq 0$

三阶不可相似对角化矩阵可考虑第三种判断方法：
题干： $r (A - E) = 2$ （A） $r (A - E) = 2$
balabala
只有（A）符合

矩阵相似对角阵结论

$A \sim Λ$ ，即 $P^{- 1} A P = Λ$
有结论：
（1） $Λ$ 主对角线元素为A的全部特征值
（2）P的各列向量为A的n个无关的特征向量且顺序与 $λ$ 相同，一定成立

证明： $P^{- 1} A P = Λ$
==> $A P = P Λ$ ，对P按列分块 $P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$
==> $A (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) [\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}]$
==> $(A α_{1}, A α_{2}, A α_{3}) = (λ_{1} α_{1}, λ_{2} α_{2}, λ_{3} α_{3})$
==> ${\begin{cases} A α_{1} = λ_{1} α_{1} \\ A α_{2} = λ_{2} α_{2} \\ A α_{3} = λ_{3} α_{3} \end{cases}$

矩阵可相似对角化条件

（1）充要条件
<==> A恰有n个线性无关的特征向量
<==> 对于A的每个k重特征值 $λ$ ，都有k个无关特征向量
<==> 对于A的每个k重特征值 $λ$ ， $r (A - λ E) = n - 重数$

证明：k重特征值 $λ, (A - λ E) X = 0$ 基础解系有k个无关解向量 ==> $n - r (A - λ E) = k$ ==> $r (A - λ E) = n - k$

（2）充分条件
<== A有不同的特征值
<== A是实对称矩阵
<== $f (A) = 0$ ，且 $f (A)$ 因式分解后只有单因式（一次） $f (A) = (A + k_{1} E) (A + k_{2} E) \dots (A + k_{i} E) k_{1} \neq k_{2} \neq \cdot \neq k_{i}$

（3）必要条件
==> $r (A) = A$ 非零特征值的个数

注：一般 $r (A) \geq$ 非零特征值的个数

常用结论：
① 幂零矩阵 $(A^{K} = 0)$ 可相似对角化 <==> A = 0
注：幂零矩阵的特征值全为0

② 若A的特征值只有k(n重)，A可相似对角化 <==> A = kE

③ 秩为1矩阵可相似对角化 <==> $t r (A) \neq 0$

6.设三阶矩阵 $A$ 有特征值 $λ ₁ = λ ₂ = - 1, λ ₃ = 2$ ,且A不能相似于对角阵,则 $r (A + E) + r (A - E) + r (A - 2 E)$ =( ).

A. 3
B. 4
C. 6
D. 7

6.【答案】 $D$ . 【解】 $A$ 不能相似于对角矩阵, $r (A + E) = 2$ ,又 $r (A - 2 E) = 2$ , $r (A - E) = 3$ ,则 $r (A + E) + r (A - E) + r (A - 2 E) = 7$ .

6.下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是

A. (\begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}) . B. (\begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3 \end{matrix}) . C. (\begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) . D. (\begin{matrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}) .

(2017,数一、二、三)设 $A = (\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})$ ,则[

(A) $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 相似

(B) $A$ 与 $C$ 相似， $B$ 与 $C$ 不相似

(D) $A$ 与 $C$ 不相似， $B$ 与 $C$ 不相似

(5)下列矩阵中，与矩阵 $(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ 相似的为

(A) $(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$ (B) $(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$ (C) $(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$ (D) $(\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

矩阵A和A伴随秩的关系

（1） $r (A^{*})$ 只能等于 $n, 1, 0$ （三种情况）
（2） $r (A^{*}) = {\begin{cases} n & r (A) = n \\ 1 & r (A) = n - 1 \\ 0 & r (A) < n - 1 \end{cases}$

矩阵的特征值和特征向量

两条特征值重要结论

（1）特征值乘积 = 行列式值

（2）特征值之和 = 迹

（3）如果主对角线上的元素，所在行或所在列的其他元素值为0，则该值为矩阵的一个特征值

求解矩阵的特征值

$| A - λ E | = 0 或 | λ E - A | = 0 \Rightarrow λ$

注：利用 $| A - λ E | = 0$ 解特征值时，利用某一行（列）的k倍加到其他行（列），把某行/列消出一个0，另外的元素有公因式（转圈）

秩一矩阵的特征值

（1）秩为1的矩阵，特征值为 $t r (A), 0, 0, \dots, 0$

注：
① 列乘行矩阵 <==> 秩为1矩阵 <==> 各行各列成比例
② $A = α β^{T}$ ，则 $t r (A) = α^{T} β = β^{T} α = 两向量内积$

回看秩一矩阵解矩阵n次方

上三角矩阵的特征值

上三角矩阵的特征值为对角线元素

特征值重要结论

$\begin{array}{cccccccccc} A & k A & A^{k} & f (A) & A^{- 1} & A^{*} & P^{- 1} A P & A^{T} \\ λ & k λ & λ^{k} & f (λ) & \frac{1}{λ} & \frac{| A |}{λ} & λ & λ \\ α & α & α & α & α & α & P^{- 1} α \\ \Leftarrow (k \neq 0) & \Leftarrow & \Leftarrow (A 可逆) \end{array}$
注：从左往右随便推，从右往左只有标箭头的三个并满足括号内容才可以回推

特征向量的定义

$A α = λ α$
每一个特征值都对应着一个特征向量

抽象矩阵求特征值和特征向量

（1）
$A + λ E$ 不可逆 ==> $| A + λ E | = 0$ ==> $- λ$ 为A的一个特征值
$| A + λ E | = 0$ ==> $- λ$ 为A的一个特征值
齐次方程组 $(A + λ E) X = 0$ 有非0解 ==> $| A + λ E | = 0$ ==> $- λ$ 为A的一个特征值

（2）A的各行元素之和为a，则A有一个特征值a，对应特征向量 $k (1, 1, \dots, 1)^{T}, k \neq 0$

（3） $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 是 $A X = 0$ 的基础解系 ${\begin{cases} A η_{1} = 0 \\ A η_{2} = 0 \\ ⋮ \\ A η_{s} = 0 \end{cases}$ ==> ${\begin{cases} A η_{1} = 0 \cdot η_{1} \\ A η_{2} = 0 \cdot η_{2} \\ ⋮ \\ A η_{s} = 0 \cdot η_{s} \end{cases}$ ==> $λ_{1} = λ_{2} = \dots = λ_{s} = 0$
对应特征向量为： $k_{1} η_{1} + k_{2} η_{2} + \dots + k_{s} η_{s} (k_{1} \dots k_{s} 不全为 0)$

（4）若 $A B = k B$ ==> $A (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}) = k (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n})$
==>A有特征值k，对应特征向量B的非0列

（5） $| A | = 0$ / n阶矩阵A不可逆 / A的列向量组线性相关 / $A B = 0 且 B \neq 0$ ==> A有特征值0

（6） $f (A) = 0$ ==> $f (λ) = 0$ (A的所有特征值 $λ$ 一定满足 $f (λ = 0)$ ，但所有满足 $f (λ) = 0$ 的 $λ$ 不一定都是A的特征值

（7）特征值重数 $\geq$ 对应的无关特征向量的个数

实对称矩阵

定义： $A = A^{T}$

实对称矩阵的性质

（1）不同特征值对应特征向量正交
（2）必能相似对角化，且 $\in 正交矩阵 Q, s . t . Q^{- 1} A Q = Q^{T} A Q = Λ$
注：只有对称矩阵才能通过正交矩阵相似对角化
（3）k重特征值恰有k个无关的特征向量
（4）非0特征值个数等于矩阵的秩
（5）适用谱分解定理
（6） $A^{T}, A^{*}, A^{- 1}$ 也为实对称矩阵
（7）任意 $m \times n$ 矩阵 $C$ ， $C C^{T}, C^{T} C$ 一定是实对称矩阵

实对称矩阵的结论

有3阶实对称矩阵A，特征值为 $λ_{1} \neq λ_{2} \neq λ_{3}$ ， $λ_{1}$ 对应特征向量为 $α_{1}$
问：和 $α_{1}$ 正交的向量，一定是 $λ_{2}, λ_{3}$ 对应的特征向量吗？

答：不一定。

例如：3阶实对称矩阵A，特征值为 $λ_{1} = 1, λ_{2} = 2, λ_{3} = 3$

有3阶实对称矩阵A，特征值为 $λ_{1} \neq λ_{2} = λ_{3}$ ， $λ_{1}$ 对应特征向量为 $α_{1}$
问：和 $α_{1}$ 正交的向量，一定是 $λ_{2}, λ_{3}$ 对应的特征向量吗？

答：一定。

总结：若只剩下一个特征值（不管几重），求特征向量，与其他特征向量正交的向量，一定全是这个特征值的特征向量。

定理1：n阶实对称矩阵A的特征值 $λ_{1}, λ_{2} (n - 1 重)$ ， $α_{1}$ 为 $λ_{1}$ 对应的特征向量，有 $α$ ，与 $α_{1}$ 正交，则 $α$ 一定是 $λ_{2}$ 对应的特征向量

定理2：3阶实对称矩阵A的特征值 $λ_{1} \neq λ_{2} \neq λ_{3}$ ， $α_{1}, α_{2}$ 分别是 $λ_{1}, λ_{2}$ 对应的特征向量，有 $α$ 与 $α_{1}, α_{2}$ 均正交，则 $α$ 一定是 $λ_{3}$ 对应的特征向量。

注：求与 $α_{1}, α_{2}$ 两个向量均正交的向量，可以用叉乘计算： $α = α_{1} \times α_{2}$

定理3：3阶实对称矩阵A的特征值 $λ_{1}, λ_{2} (二重)$ ， $α_{1}, α_{2}$ 分别是 $λ_{1}, λ_{2}$ 对应的特征向量，有 $α$ 与 $α_{1}, α_{2}$ 均正交，则 $α$ 一定是 $λ_{2}$ 对应的特征向量。

设矩阵 $A = [\begin{array}{ccc} 0 & - 1 & 4 \\ - 1 & 3 & a \\ 4 & a & 0 \end{array}]$ ，正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{T} A Q$ 为对角矩阵，若 $Q$ 的第一列为 $\frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, 1)^{T}$ ，求 $α, Q$

正交矩阵

正交矩阵定义：满足 $A^{T} A = E$ (或者 $A A^{T} = E$ )的矩阵 $A$ 称之为正交矩阵

正交矩阵的性质
性质一：设 $A$ 是正交矩阵，则 $| A | = 1$ 或-1
性质二：设 $A$ 是正交矩阵，则 $A^{-} 1, A^{T}$ 也是正交矩阵，且 $A^{-} 1 = A^{T}$
性质三：两个正交矩阵 $A, B$ 的乘积依旧是正交矩阵
性质四： $A$ 是正交矩阵 $⟺ A$ 的各列 (行)都是单位向量且两两正交
性质五：正交变换不改变向量之间的内积、向量的模长
设 $A$ 是正交矩阵，则 $⟨ A x, A y ⟩ = ⟨ x, y ⟩$ 且 $∥ A x ∥ = ∥ x ∥$
性质六： $A$ 是正交矩阵，若 $A$ 有实数特征值，则这个实数特征值只能是-1 或1
注：正交矩阵不一定有实数特征值，比如 $(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ 没有实数特征值

性质七：关于 $| A + E |$ 及 $| A - E |$ 是否为零？(即判断-1和1是否是特征值)
设 $A$ 是正交矩阵且 $| A | < 0$ ,则-1必是特征值(1995年考察过)
设 $A$ 是偶数阶正交矩阵且 $| A | < 0$ ,则-1和1都是特征值
设 $A$ 是奇数阶正交矩阵且 $| A | > 0$ ,则1必是特征值设 $A$ 是奇数阶正交矩阵则-1和1必有一个是特征值
性质八：设 $A$ 是正交矩阵，若 $A$ 有特征值-1和1，则-1和1对应的特征向量正交

$A$ 是正交矩阵且 $| A | = - 1 ⟶ A_{i j} = - a_{i j}$
$A$ 是正交矩阵且 $| A | = - 1 \overset{A 是非零矩阵}{\leftarrow} A_{i j} = - a_{i j}$ (2013 考察过)
$A$ 是正交矩阵且 $| A | = 1 ⟶ A_{i j} = a_{i j}$
$A$ 是正交矩阵且 $| A | = 1 \overset{A 是非零矩阵}{\leftarrow} A_{i j} = a_{i j}$

A^{*} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - a_{11} & - a_{21} & \dots & - a_{n 1} \\ - a_{12} & - a_{22} & \dots & - a_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - a_{1 n} & - a_{2 n} & \dots & - a_{n n} \end{matrix}] = - [\begin{matrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \dots & a_{n n} \end{matrix}] = - A^{T}

二次型

二次型的定义含有 n 个变量 x_{1}, x_{2}, ⋯, x_{n} 的二次齐次函数 (每一项都是二次)

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = a_{11} x_{1}^{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + a_{n n} x_{n}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + 2 a_{13} x_{1} x_{3} + \dots + 2 a_{1 n} x_{1} x_{n} + \dots + 2 a_{n - 1, n} x_{n - 1} x_{n}

称为 n 元二次型，记作 $f = x^{T} A x$ ，其中 $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})^{T} ， A = (a_{i j})$ 为实对称矩阵，称 A 为二次型的矩阵，称 A 的秩为二次型的秩，记作 $r (f)$ .

【评注】二次型与实对称矩阵一一对应，二次型的矩阵 A 的主对角线元素为平方项的系数，其余元素 $a_{j i} = a_{i j}$ 为交叉项 $x_{i j}$ 系数的一半.

可逆线性变换定义

可逆线性变换的定义关系式

{\begin{cases} x_{1} = c_{11} y_{1} + c_{12} y_{2} + \dots + c_{1 n} y_{n} \\ x_{2} = c_{21} y_{1} + c_{22} y_{2} + \dots + c_{2 n} y_{n} \\ \dots \dots \dots \\ x_{n} = c_{n 1} y_{1} + c_{n 2} y_{2} + \dots + c_{n n} y_{n} \end{cases}

即 $x = C y$ ，其中

x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}), y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ⋮ \\ y_{n} \end{matrix}), C = (\begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \end{array})

称为由变量 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 到 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的线性变换。若 $C$ 为可逆矩阵，则称 $x = C y$ 为可逆线性变换。

标准型

标准型是指只含有平方项的二次型
即: 标准形 $f = d_{1} y_{1}^{2} + d_{2} y_{2}^{2} + \dots + d_{n} y_{n}^{2} = y^{T} Λ y$

标准型结论

（1）二次型经正交变换为标准形，其特征值不变（常用结论）

求标准形

例题：
$f = x_{1}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{2} x_{3}$

拉格朗日配方法

(以三元二次型为例)

(1) 若二次型含有平方项, 不妨设含有 $x_{1}^{2}$ , 先将含有 $x_{1}$ 的项配方, 再将含有 $x_{2}$ 的项配方, 换元得标准形 $f = d_{1} y_{1}^{2} + d_{2} y_{2}^{2} + \dots + d_{n} y_{n}^{2}$ 及所用的可逆线性变换 $x = C y$ ;

【总结】第一个括号把 $x_{1}$ 配干净，第二个括号把 $x_{2}$ 配干净，第三个括号把 $x_{3}$ 配干净

(2) 若二次型不含平方项, 不妨设含有 $x_{1} x_{2}$ , 令 ${\begin{cases} x_{1} = y_{1} + y_{2} \\ x_{2} = y_{1} - y_{2} \\ x_{3} = y_{3} \end{cases}$ , 则二次型化为 (1) 的形式.

$f = x_{1}^{2} + x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{2} x_{3}$
$= (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2}) + x_{3}^{2} - 2 x_{2} x_{3}$
$= (x_{1}^{2} - 2 x_{2} x_{1}) + x_{3}^{2} - 2 x_{2} x_{3}$ $= (x_{1} - x_{0})^{2} - (x_{2}^{2} + 2 x_{3} x_{2}) + x_{3}^{2}$
$= (x_{1} - x_{0})^{2} - (x_{2}^{2} + 2 x_{3} x_{2} + x_{3}^{2}) + 2 x_{3}^{2}$
$= (x_{1} - x_{2})^{2} - (x_{2} + x_{3})^{2} + 2 x_{3}^{2}$

令 ${\begin{cases} x_{1} - x_{2} = y_{1} \\ x_{2} + x_{3} = y_{2} \\ x_{3} = y_{3} \end{cases}$

标准形： $f = y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}$
规范形： $f = z_{1}^{2} - z_{2}^{2} + z_{3}^{2}$

正交变换法三大步

(1) 求二次型的矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ ;

(2) 求 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量 $α_{1}, \dots, α_{n}$ ;

(3) 将不同特征值的特征向量分别 Schmidt 正交化, 得 $γ_{1}, \dots, γ_{n}$ , 得到正交矩阵 $Q = (γ_{1}, \dots, γ_{n})$ .

经过正交变换 $x = Q y$ , 二次型化为标准形 $f = λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2}$ .

$A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}]$

$| λ E - A | = | \begin{matrix} λ - 1 & 1 & 0 \\ 1 & λ & 1 \\ 0 & 1 & λ - 1 \end{matrix} |$
$= | \begin{array}{ccc} λ - 1 & 1 & 0 \\ 1 & λ & 1 \\ - (λ - 1) & 0 & λ - 1 \end{array} | = | \begin{array}{ccc} λ - 1 & 1 & 0 \\ 2 & λ & 1 \\ 0 & 0 & λ - 1 \end{array} |$
$= (λ - 1) | \begin{matrix} λ - 1 & 1 \\ 2 & λ \end{matrix} | = (λ - 1) (λ - 2) (λ + 1) = 0$

标准形： $f = y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}$
规范形： $f = z_{1}^{2} - z_{2}^{2} + z_{3}^{2}$

合同变换法求标准形

合同变换其实就是行列合作共同进行初等变换
一步合同变换：
$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}] \overset{第一列的负一倍加到第二列}{\Rightarrow} [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 6 \\ 7 & 1 & 9 \end{matrix}] \overset{第一行的负一倍加到第二行}{\Rightarrow} [\begin{matrix} 1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 6 \\ 7 & 1 & 9 \end{matrix}]$

使用合同变换将A化简成对角阵 $Λ$ ：
$[\begin{matrix} A \\ E \end{matrix}] \Rightarrow_{带着做相同的行变换}^{初等列变换} [\begin{matrix} Λ \\ C \end{matrix}]$

原理：
$[\begin{matrix} A \\ E \end{matrix}] \Rightarrow_{r}^{c} [\begin{matrix} P_{1}^{T} A P_{1} \\ E P_{1} \end{matrix}] \Rightarrow_{\dots r \dots}^{\dots c \dots} [\begin{matrix} P_{n}^{T} \dots P_{1}^{T} A P_{1} \dots P_{n} \\ P_{1} P_{2} \dots P_{n} \end{matrix}]$

令 $C = P_{1} P_{2} \dots P_{n}$
有： $P_{n}^{T} \dots P_{1}^{T} A P_{1} \dots P_{n} = C^{T} A C$
又因为： $P_{n}^{T} \dots P_{1}^{T} A P_{1} \dots P_{n} = Λ$
得到： $C^{T} A C = Λ$

$[\begin{matrix} A \\ E \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] \Rightarrow [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{\dots}{\Rightarrow} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

规范形

规范形的定义若标准形的系数为1，-1或 0,即 $f = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + \dots + y_{p}^{2} - y_{p + 1}^{2} - \dots - y_{p + q}^{2}$ ,称为二次型的规范形.

标准形的正的改成1，负的改成-1，0还是0

正定

正定的定义

设二次型 $f (X) = X^{T} A X$ ，如果对 $\forall x \neq 0$ ，都有 $f (X) = X^{T} A X > 0$ ，则 $f$ 为正定二次型

注：若 $f$ 为正定二次型，要想让 $f = 0$ ，当且仅当 $x = 0$ 。只要 $x =\neq 0, f = 0$
例： $f = 2 x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 3 x_{3}^{2} \geq 0$

正定的充要条件

<==> $\forall x \neq 0, 恒有 f = X^{T} A X > 0$
<==> $f = X^{T} A X$ 的标准形，系数全大于0 （等于0也不行）
<==> A的所有特征值都大于0
<==> A的正惯性指数等于0
<==> A与E合同
<==> A的各阶顺序主子式全大于0 （常用）

正定的必要条件

==> A是实对称矩阵
==> A的主对角线元素全大于0（等于0也不行）
==> $| A | > 0$ （等于0也不行）
==> A可逆
==> A中最大的数，一定在主对角线上

正定的常用结论

（1）A正定 ==> $A^{- 1}, A^{*}$ 全正定， $f (A) = a_{m} A^{m} + a_{m - 1} A^{m - 1} + \dots + a_{0} E$ 当 $a_{i} \geq 0$ 且不全为0时，也正定

总结：已知具体二次型正定，问参数的范围
（1）配方法化成标准型 ==> 系数全正
（2）A的特征值全正
（3）A的各界顺序主子式全正（取交集）（常用）

惯性

惯性指数

惯性指数：
标准形 $f = d_{1} y_{1}^{2} + d_{2} y_{2}^{2} + \dots + d_{n} y_{n}^{2}$ 中
正平方项的个数称为正惯性指数
负平方项的个数称为负惯性指数
或二次型矩阵的正特征值的个数称为正惯性指数
负特征值的个数称为负惯性指数

惯性定理

惯性定理：
二次型的标准形是不唯一的，但标准形中正平方项的个数和负平方项的个数是唯一的，
即经可逆线性变换，二次型的秩，正、负惯性指数，正定性都不变

【注意】可逆线性变换可以理解为可逆换元： $X = C Y$ （其中C可逆）

【例题】
二次型 $a x_{1}^{2} + (2 a - 1) x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 a x_{1} x_{3} - 2 x_{2} x_{3}$ 的正惯性指数 $p = 1$ . 则 $a \in$
(A) $(1, + \infty)$ .
(B) $(- \frac{1}{2}, 1)$ .
(C) $[- \frac{1}{2}, 1]$ .
(D) $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

二次型矩阵： $A = [\begin{matrix} a & - 1 & a \\ - 1 & 2 a - 1 & - 1 \\ a & - 1 & a \end{matrix}]$
$| A - λ E | = | \begin{array}{cccc} a - λ & - 1 & a \\ - 1 & 2 a - 1 - λ & - 1 \\ a & - 1 & a - λ \end{array} | = 0$
解得： ${\begin{cases} λ_{1} = 0 \\ λ_{2} = 2 a - 2 \\ λ_{3} = 2 a + 1 \end{cases}$

正惯性指数为1，有一个大于0，另外两个小于等于0
$\Rightarrow {\begin{cases} 2 a + 1 > 0 \\ 2 a - 2 \leq 0 \end{cases} \Rightarrow a \in (- \frac{1}{2}, 1]$

二次型与曲面关系

合同

合同的来源（可逆线性变换）

$X^{T} A X \overset{X = C Y}{\Rightarrow} (C Y)^{T} A (C Y) = y^{T} C^{T} A C Y = Y^{T} B Y$
$C^{T} A C = B$ （A，B合同）（A可经合同变换到B）

什么叫合同变换

【类比】A与B等价 <==> A可经有限次初等变换到B
A与B合同
<==> A可经有限次合同变换到B
==> A与B等价

回顾

合同总结

（1）实对称矩阵A与B合同的条件
<==> $\exists 可逆阵 C, 使得 C^{T} A C = B$
<==> $X^{T} A X$ 和 $X^{T} B X$ 有相同的正负惯性指数
<==> A与B有相同的正负特征值的个数
==> $r (A) = r (B)$
==> $A^{T}$ 与 $B^{T}$ 合同， $A^{- 1}$ 和 $B^{- 1}$ 合同， $A + A^{T}$ 与 $B + B^{T}$ 合同

实对称矩阵A与B相似 ==> A与B合同

（2）A与B等价，相似，合同的关系
相似 $\overset{A 与 B 都是实对称矩阵}{\Rightarrow}$ 合同 ==> 等价

注：对称矩阵和非对称阵一定不合同（也一定相似）

向量组

向量组的思维定势

（1） $k α$ ==> $(k α_{1}, k α_{2}, k α_{3}) = k (α_{1}, α_{2}, α_{3})$
（2） $a_{1} α_{1} + a_{2} α_{2}, b_{1} α_{1} + b_{2} α_{2}$ ==> $(a_{1} α_{1} + a_{2} α_{2}, b_{1} α_{1} + b_{2} α_{2}) = (α_{1}, α_{2}) \cdot [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}]$

向量组线性相关（无关）

定义：
一定存在m个数， $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ ，使得 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{m} α_{m} = 0$ ，若 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 只能全为0，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关，若 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}$ 可以不全为0，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关

（2）向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关 <==> 至少存在一个向量可以由其余向量线性表示（谁的系数不是0，谁就可以被表示）

（3）向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关 <==> 任何一个向量都不可以由其余向量线性表示

（4）一个向量构成的向量组线性相关 <==> 它是零向量
注：一个无关向量 = 一个非零向量

（5）两个向量构成的向量组线性相关 <==> 坐标成比例

（6）
① $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性相关 <==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) < m$
② $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关 <==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = m$

（7）n个n维向量
① 线性相关 <==> $| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} | = 0$
② 线性无关 <==> $| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} | \neq 0$
注：能取行列式,就取行列式

（8）n+1个n维向量必相关（个数 > 维数，必相关）

向量组线性无关定理

n个线性无关的n维向量可以表示任何一个n维向量

向量组线性表示的等价命题

（1）向量 $β$ 可由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性表示且表示法唯一
<==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}, β) = n$

（2）向量 $β$ 可由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性表示且表示法不唯一（无穷多种）
<==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}, β) < n$

（3）非零向量 $β$ 可由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性表示 $\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{s} \end{matrix}) = β$ 有解 $\Leftrightarrow r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s} | \begin{matrix} β \end{matrix})$

（4）向量 $β$ 不可由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 线性表示
<==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) \neq r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}, β)$
<==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) + 1 = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}, β)$

（5） $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关，且 $β$ 不能由 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 表示，则 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β$ 线性无关
证明： $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β) = r (α_{1}, \dots, α_{s}) + 1 = s + 1$

（6）向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 可以表示向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$
<==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s})$
==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) \geq r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s})$

口诀：我能表示逆，我比你厉害，我的秩大于等于你的秩

向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 不可以表示向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$
<==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) < r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s})$

（7）
向量组线性相关，再加n个还是相关的（少的相关，多的也相关）
向量组线性无关，去掉n个还是无关的（多的无关，少的也无关）

（8）
向量组线性无关，再加上n个维度还是无关的（低维无关，高维也无关）
向量组线性相关，去掉n个维度还是相关的（高维相关，低维也相关）

（9）向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关， $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β$ 线性相关，则 $β$ 一定能由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 表示且表示法唯一
证明： $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) = s$
$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β) < s + 1$
$s = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}) \leq r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}, β) \leq s$
==> 由（1）可证得

（10）n个线性无关的n维向量可以表示任何一个n维向量
n个n维向量不能表示某一个n维向量 ==> n个n维向量一定线性相关

（11）向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ 可由向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{t}$ 线性表示 $s > t$ ，则向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ 一定线性相关（多的能被少的表示，多的必相关）

（12）向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{t}$ 可以表示向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ 且向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ 线性无关，则 $t \geq s$
（我能表示线性无关的逆，我的个数大于等于你的个数）

(II)若 $α_{1} = (1, 2, 1)^{T}, α_{2} = (2, 5, 3)^{T}, β_{1} = (2, 3, - 1)^{T}, β_{2} = (- 1, 0, 3)^{T}$ ,求所有既可由 $α_{1}, α_{2}$ 线性表示，又可由 $β_{1}, β_{2}$ 线性表示的向量.

\begin{aligned} α_{1} \times α_{2} = | \begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \end{array} | = i - j + k, β_{1} \times β_{2} = | \begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & - 1 \\ - 1 & 0 & 3 \end{array} | = 9 i - 5 j + 3 k \\ (\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 \\ 9 & - 5 & 3 \end{array}) \to (\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{array}), γ = k (\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array}) \end{aligned}

【例 3.9】(2007, 数一、二、三) 设向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $α_{3}$ 线性无关, 则下列向量组线性相关的是【】

(A) $α_{1} - α_{2}$ , $α_{2} - α_{3}$ , $α_{3} - α_{1}$

(B) $α_{1} + α_{2}$ , $α_{2} + α_{3}$ , $α_{3} + α_{1}$

(D) $α_{1} + 2 α_{2}$ , $α_{2} + 2 α_{3}$ , $α_{3} + 2 α_{1}$

$(α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) ∙ (\begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix})$

由 $| \begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix} | = 0$ , $∣ α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1} ∣=∣ α_{1}, α_{2}, α_{3} ∣ ∙ 0 = 0$ ,

于是向量组 $α_{1} - α_{2}, α_{2} - α_{3}, α_{3} - α_{1}$ 线性相关，应选(A).

令 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ ，因为 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性无关，所以 $r (A) = 3$ .

$(α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}) = (α_{1}, α_{2}, α_{3}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})$ ,

因为 $| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} | = 2 \neq 0$ ，所以 $(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})$ 可逆，

从而 $r (α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}) = r (α_{1}, α_{2}, α_{3}) = 3$ ，即 $α_{1} + α_{2}, α_{2} + α_{3}, α_{3} + α_{1}$ 线性无关，(B) 不对；

7.设 4 阶矩阵 $A = (a_{i} j)$ 不可逆 $, a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12} \neq 0, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为矩阵 $A$ 的列向量组 $, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则方程组 $A^{*} x = 0$ 的通解为( )

A. x= $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3}$ ,其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数.

$B . x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{4}$ ,其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数.

$C . x = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ,其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数.

$D . x = k_{1} α_{2} + k_{2} α_{3} + k_{3} α_{4}$ ,其中 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为任意常数.

$A 不可逆$ ==> $| A | = 0$ ==> $r (A) < 4$
$A_{12} \neq 0$ ==> $r (A^{*}) \neq 0$
==> $r (A^{*}) = 1$ ==> $n - r (A^{*}) = 3$

$A_{12} \neq 0$ ==> $(α_{1}, α_{3}, α_{4})$ 线性无关
$A^{*} A = 0$ ==> $(α_{1}, α_{3}, α_{4})$ 为基础解系

向量组等价

（1）定义：两个向量组可以互相表示，则两向量组等价

（2）向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 和向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ 等价
<==> $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}) = r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}, β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s})$
（你的秩 = 我的秩 = 拼起来的秩）缺一不可

（3）若 $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}) = r (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s})$ 且 $α$ 组可以表示 $β$ 组或 $β$ 组可以表示 $α$ 组
==> 向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 和向量组 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}$ 等价

(3) 设向量 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 满足 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3} = 0, k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 为常数，且 $k_{1} k_{3} \neq 0$ ,则( ). A. $a_{l}$ 与 $a_{3}$ 等价 $B . α_{1}, α_{2}$ 与 $α_{1}, α_{3}$ 等价

$D . α_{1}, α_{3}$ 与 $α_{2}, α_{3}$ 等价

C. $α_{1}, α_{2}$ 与 $α_{2}, α_{3}$ 等价

$(3) C .$ 解两个向量组等价是指这两个向量组可以互相线性表示. 由已知条件 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + k_{3} α_{3} = 0, k_{1} k_{3} \neq 0, k_{2}$ 是否为零不能确定，故不能确定 $a_{2}$ 是否可由 $α_{1}, α_{3}$ 线性表示 ,所以 B,D 排除；同样也不能确定 $α_{1}$ 与 $α_{3}$ 是否等价，所以 A 不正确. 对于 C,由 $k_{1} k_{3} \neq 0$ ,知 $α_{1}$ 可由 $α_{2}, α_{3}$ 线性表示，即 $α_{1} = - \frac{k_{2}}{k_{1}} α_{2} - \frac{k_{3}}{k_{1}} α_{3} .$ 同理 $, α_{3}$ 可由 $a_{1}, a_{2}$ 线性表示 ,又 $a_{2} = α_{2} + 0 ∙ α_{3} = α_{2} + 0 ∙ α_{1}$ ,故 $α_{1}, α_{2}$ 与 $α_{2}, α_{3}$ 等价

列向量组等价

$r (A) = r (B) = r (A B)$

行向量组等价

$r (A) = r (B) = r (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$

极大线性无关组

向量组的秩

向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 的极大无关组所含的向量个数称为向量组的秩，记为 $r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s})$
规定：只含有零向量的向量组秩为0

极大无关组的定义

（1）向量组之间线性无关
（2）组内再加一个就相关

自由未知量与极大无关组

自由未知量 ==> 基础解系 ==> 非主元列元素
约束未知量 ==> 极大无关组 ==> 主元列元素

自由未知量

去掉极大无关组（约束未知量），剩下的为自由未知量

自由位置量个数 $= n - r (A) A 为系数方程$

求向量组的极大线性无关组

（1）将向量按列排成矩阵
（2）初等行变换化成行阶梯
（3）每层梯子选一列，即为极大线性无关组

注：
（1）若要求表示法，则进一步化为行最简
（2）若该层梯子为0，则退到上一层梯子
（3）一般极大无关组不唯一，但个数是相同的

例：向量组 $α_{1} = (2, 1, 3)^{T}$ ， $α_{2} = (1, 2, 1)^{T}$ ， $α_{3} = (3, 3, 4)^{T}$ ， $α_{4} = (5, 1, 8)^{T}$ ， $α_{5} = (0, 0, 2)^{T}$ 的一个极大线性无关组是 __________且其他向量的表示为 __________。

$(α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}, α_{5}) = [\begin{matrix} 2 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 8 & 2 \end{matrix}]$ $⟶ [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 8 & 2 \end{matrix}]$
$⟶ [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & - 5 & - 5 & 5 & 2 \end{matrix}]$ $⟶ [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}]$ $⟶ [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

选取 $α_{1}, α_{2}, α_{5}$ 为极大无关组
且 $α_{3} = α_{1} + α_{2}, α_{4} = 3 α_{1} - α_{2}$

向量空间

总结：向量空间V中的一个向量组 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$
满足： ${\begin{cases} (1) 线性无关 \\ (2) V 中每个向量都能由它线性表示 \end{cases}$
则称 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}$ 为向量空间的一个基（基底）
其中所含向量个数为该空间的维数，用该基表示其他向量时，例如： $α = x_{1} α_{1} + x_{2} α_{2} + \dots + x_{r} α_{r}$ ，称 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{r})$ 为 $α$ 在这组基下的坐标
设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 和 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ 为n维向量空间V中的两组基，若 ${\begin{cases} β_{1} = c_{11} α_{1} + c_{21} α_{2} + \dots + c n 1 α_{n} \\ β_{2} = c_{12} α_{1} + c_{22} α_{2} + \dots + c n 2 α_{n} \\ ⋮ \\ β_{n} = c_{n 1} α_{1} + c_{n 1} α_{2} + \dots + c n n α_{n} \end{cases}$ 即： $(β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}) = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}) C$ （基变换公式）
则C称为从基 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 到基 $β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}$ 的过渡矩阵

方程组

求齐次方程组通解(基础解系)

（1）系数矩阵A $\overset{行变换}{\to}$ 行最简（只能行变换）
（2）写同解方程组
（3）自由未知量 $100 / 010 / 001 （ n - r = 3) 或 10 / 01 (n - r = 2) 或 1 (n - r = 1)$ 赋值，构造基础解系
（4）基础解系线性组合，构造通解

【注意】
约束未知量：主元列对应未知量
自由未知量：非主元列对应未知量

例题：
齐次线性方程组 ${\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + x_{4} = 0 \\ 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} - 3 x_{4} = 0 \\ x_{1} + x_{3} - x_{4} = 0 \end{cases}$ 的基础解系是

$A = [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & - 1 & 1 & - 3 \\ 1 & 0 & 1 & - 1 \end{array}] \overset{r}{\to} [\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 2 & - 2 & - 2 \end{array}] \overset{r}{\to} [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

${\begin{cases} x_{1} + x_{3} - x_{4} = 0 \\ x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \end{cases}$ 基础解系： $k_{1} [\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] + k_{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] k_{1}, k_{2} \in R$

注：“反号顺抄”的原理
$A X = 0 A \to [\begin{matrix} 1 & 0 & a_{1} & b_{1} \\ 0 & 1 & a_{2} & b_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

同解方程组： ${\begin{cases} x_{1} + a_{1} x_{3} + b_{1} x_{4} = 0 \\ x_{2} + a_{2} x_{3} + b_{2} x_{4} = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} x_{1} = - a_{1} x_{3} - b_{1} x_{4} \\ x_{2} = - a_{2} x_{3} - b_{2} x_{4} \end{cases}$

（1） $x_{3} = 1, x_{4} = 0$
${\begin{cases} x_{1} = - a_{1} \\ x_{2} = - a_{2} \end{cases} \Rightarrow [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - a_{1} \\ - a_{2} \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$
（2） $x_{3} = 0, x_{4} = 4$
${\begin{cases} x_{1} = - b_{1} \\ x_{2} = - b_{2} \end{cases} \Rightarrow [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - b_{1} \\ - b_{2} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$

注意：必须行最简，行阶梯不能用

基础解系结论

【注意】
基础解系有无穷多种，但是个数相等
任意r个无关解向量都可以作为基础解系

【例 4.4】(2011，数一、二) 设 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ 为 4 阶矩阵， $(1, 0, 1, 0)^{T}$ 为线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系，则 $A^{*} x = 0$ 的基础解系可为【】

(A) $α_{1}, α_{2}$

(B) $α_{1}, α_{3}$

(D) $α_{2}, α_{3}, α_{4}$

由 $(α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0$ ==> $α_{1} + α_{3} = 0$ ==> $α_{1}, α_{3} 相关$
$n - r (A) = 1$ ==> $r (A) = 3$ ==> $r (A^{*}) = 1$ ==> $n - r (A^{*}) = 3$ ==> 需要三个无关解
$r (A) = 3$ ==> $(α_{1}, α_{2}, α_{4}), (α_{2}, α_{3}, α_{4}) 为两组极大无关组$
$A^{*} A = | A | E = 0$ ==> $A 的每一列都可以由 A^{*} 表示$ ==> A极大无关组为 $A^{*}$ 的基础解系

故选(D)

已知基础解系反求A

齐次方程基础解系反解

原理：
设 $[\begin{matrix} ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{matrix}], [\begin{matrix} η_{1} \\ η_{2} \\ η_{3} \end{matrix}]$ 是方程组 ${\begin{cases} a_{1} x_{1} + b_{1} x_{2} + c_{1} x_{3} = 0 \\ a_{2} x_{1} + b_{2} x_{2} + c_{2} x_{3} = 0 \end{cases}$
的基础解系
即： $[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{3} \end{matrix}]$ 的基础解系

==> $[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} ξ_{1} & η_{1} \\ ξ_{2} & η_{2} \\ ξ_{3} & η_{3} \end{matrix}] = 0$

$\overset{转置}{\Rightarrow} [\begin{matrix} ξ_{1} & ξ_{1} & ξ_{1} \\ η_{2} & η_{2} & η_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{matrix}] = 0$

看成 $B X = 0$ ，只需求 $B X = 0$ 的基础解系，竖着拼成 $A^{T}$ ，再转置得到 $A$

【步骤】
（1）把基础解系横着拼成一个矩阵B
（2）解 $B X = 0$ 的基础解系
（3）横着拼成A

【注意】
A不唯一（行数可以随便加），可以看例题加深理解

例题：已知 $α_{1} = (2, 1, 1)^{T}$ ， $α_{2} = (1, - 2, - 1)^{T}$ 是齐次线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系，则系数矩阵 $A$ 可以是 ___________.

$B = [\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & - 1 \end{matrix}]$ ，解： $B X = 0$

$[\begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 2 & - 1 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 1 & - 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{3}{5} \end{matrix}]$

$\overset{反号顺抄}{\Rightarrow} [\begin{matrix} - \frac{1}{5} \\ - \frac{3}{5} & 1 \end{matrix}]$

==> $A = [\begin{matrix} 1 & 3 & - 5 \end{matrix}]$

多加一行可以得到原题的选项：
$A = [\begin{matrix} 1 & 3 & - 5 \\ - 1 & - 3 & 5 \end{matrix}]$

再多加n行：
$A = [\begin{matrix} 1 & 3 & - 5 \\ - 1 & - 3 & 5 \\ k & 3 k & - 5 k \\ ⋮ \end{matrix}]$

非齐次方程基础解系反解

总结：已知 $A X = b$ 的通解，反求 $(A | b)$

非齐次线性组 $A x = b$ , 即 ${\begin{cases} a_{1} x_{1} + b_{1} x_{2} + c_{1} x_{3} = d_{1} \\ a_{2} x_{1} + b_{2} x_{2} + c_{3} x_{3} = d_{2} \end{cases}$

通解为 $k_{1} [\begin{array}{l} ξ_{1} \\ ξ_{2} \\ ξ_{3} \end{array}] + k_{2} [\begin{array}{l} η_{1} \\ η_{2} \\ η_{3} \end{array}] + [\begin{array}{l} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{array}]$

${\begin{cases} a_{1} x_{1} + b_{1} x_{2} + c_{1} x_{3} = 0 \\ a_{2} x_{1} + b_{2} x_{2} + c_{3} x_{3} = 0 \end{cases}$ 的基础解系
==> 求出对应齐次方程组

令非齐次方程组 ${\begin{cases} a_{1} x_{1} + b_{1} x_{2} + c_{1} x_{3} = d_{1} \\ a_{2} x_{1} + b_{2} x_{2} + c_{2} x_{3} = d_{2} \end{cases}$
代入 $[\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}]$ 求出： $d_{1}, d_{2}$

【例题】
已知 $k_{1} {(1, 1, 0, 0)}^{T} + k_{2} {(1, 0, 2, 1)}^{T} + {(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 0)}^{T}, k_{1} k_{2} \in R$ 是非齐次线性方程组 $A x = b$ 的通解，则该线性方程组可以是？

（1）先求齐次方程组
$[\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{matrix}] \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & - 2 & - 1 \end{matrix}]$

$\overset{负号顺抄}{\Rightarrow} [\begin{matrix} - 2 & 2 & 1 & 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}]$

$A X = 0$ 的 $A = [\begin{matrix} - 2 & 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}]$

$A x = 0 为 {\begin{cases} - 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 0 \\ - x_{1} + x_{2} + x_{4} = 0 \end{cases}$

令 $A x = b$ ， ${\begin{cases} - 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = b_{1} \\ - x_{1} + x_{2} + x_{4} = b_{2} \end{cases}$

代入： ${[\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}]}^{T}$

即： $A x = b$ ， ${\begin{cases} - 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = - \frac{1}{2} \\ - x_{1} + x_{2} + x_{4} = - \frac{1}{2} \end{cases}$

线性方程组解的判定

（1） $A X = 0$ 解有2种情况：① 唯一解（只有0解）② 无穷多解（有非0解）
（2） $A X = b$ 解有3种情况：① 唯一解② 无穷多解 ③ 无解
（3） $A X = 0$ 解的判定（n为A的列数）
① $A X = 0$ 只有0解
<==> $r (A) = n$
<==> A的列向量组线性无关
<==> $| A | \neq 0$ （A为方阵）

② $A X = 0$ 有非0解
<==> $r (A) < n$
<==> A的列向量组线性相关
<==> $| A | = 0$ （A为方阵）

② $A X = b$ 有唯一解
<==> $r (A) = r (A | b) = n$
<==> b能由A的列向量z组线性表示，且表示法唯一
<==> $| A | \neq 0$ （A为方阵），可以用克拉默法则解 $A X = b$
==> A的列向量组线性无关
==> $A X = 0$ 只有0解

③ $A X = b$ 有无穷多解
<==> $r (A) = r (A | b) < n$
<==> b能由A的列向量组线性表示，且表示法不唯一
==> $| A | = 0$ （A为方阵）
==> A的列向量组线性相关
==> $A X = 0$ 有非0解

【总结】线性方程组解的情况的判断

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【例 4.1】(2001, 数三) 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, $α$ 为 $n$ 维列向量, 且 $r (\begin{array}{cc} A & α \\ α^{T} & 0 \end{array}) = r (A)$ , 则线性方程组

(A) $A x = α$ 有无穷多解

(B) $A x = α$ 有唯一解

(D) $(\begin{array}{cc} A & α \\ α^{T} & 0 \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = 0$ 有非零解

对(C)(D)
分块矩阵秩与列数作比较
$r (\begin{matrix} A & α \\ α^{T} & 0 \end{matrix}) = r (A) < n + 1$ ，有非0解

对(A)(B)
$r (A) \leq r (A α) \leq r (\begin{matrix} A & α \\ α^{T} & 0 \end{matrix}) = r (A)$ ==> $r (A) = r (A α)$ ==> $A X = α$ 有解

(5) 设矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2} \end{matrix})$ , $b = (\begin{matrix} 1 \\ d \\ d^{2} \end{matrix})$ . 若集合 $Ω = {1, 2}$ , 则线性方程组 $Ax = b$ 有无穷多解的充分必要条件为（）

(A) $a \notin Ω, d \notin Ω .$

(B) $a \notin Ω, d \in Ω .$

(D) $a \in Ω, d \in Ω .$

解的结构

（1）设 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 都是 $A X = 0$ 的解，则 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{n} α_{n}$ 仍是 $A X = 0$ 的解， $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}$ 为任意常数。
（2）设 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 都是 $A X = b$ 的解，则 $k_{1} η_{1} + k_{2} η_{2} + \dots + k_{n} η_{n} {\begin{cases} 是 A X = 0 的解 & , k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n} = 0 \\ 是 A X = b 的解 & , k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n} = 1 \end{cases}$
特别地， $η_{1} - η_{2}$ 是 $A X = 0$ 是解
（3）设 $η_{1}, η_{2}, \dots, η_{n}$ 都是 $A X = b$ 线性无关的解，则 $η_{2} - η_{1}, η_{3} - η_{1}, \dots, η_{n} - η_{1}$ 为 $A X = 0$ 的 $n - 1$ 个线性无关的解
（4）设 $η$ 是 $A X = b$ 的解， $α$ 是 $A X = 0$ 的解，则 $η + α$ 是 $A X = b$ 的解
（5） $A X = 0$ 的任意 $n - r (A)$ 个线性无关的解，都可以构成 $A X = 0$ 的基础解系，并且，如果 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 是 $A X = 0$ 的基础解系，则 $k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{n} α_{n}$ 是 $A X = 0$ 的通解
（6） $A X = b$ 的通解 $x = 齐次通解 + 非齐特解$

(2011,数三)设 $A$ 为 $4 \times 3$ 阶矩阵， $η_{1}, η_{2}, η_{3}$ 为非齐次线性方程组 $A x = β$ 的 3 个线性无关的解， $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数，则 $A x = β$ 的通解为[]

$(A) \frac{η_{2} + η_{3}}{2} + k_{1} (η_{2} - η_{1}) (B) \frac{η_{2} - η_{3}}{2} + k_{2} (η_{2} - η_{1}) (C) \frac{η_{2} + η_{3}}{2} + k_{1} (η_{2} - η_{1}) + k_{2} (η_{3} - η_{1}) (D) \frac{η_{2} - η_{3}}{2} + k_{1} (η_{2} - η_{1}) + k_{2} (η_{3} - η_{1})$

(2002,数一、二、三)设 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ 为4阶矩阵，其中 $α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性无关。 $α_{1} = 2 α_{2} - α_{3}$ .若 $β = α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}$ ,求线性方程组 $A x = β$ 的通解.

$α_{2}, α_{3}, α_{4} 无关$ ==> $r (A) \geq 3$
$α_{1} = 2 α_{2} - α_{3}$ ==> $r (A) = 3$
$基础解系个数： n - r (A) = 1$
$α_{1} - 2 α_{2} + α_{3}$ ==> $A (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = 0$
$β = α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}$ ==> $A (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 0$

==> $x = k (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$

【例 4.8】(2017, 数一、二、三) 设 3 阶矩阵 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 有三个不同的特征值，其中 $α_{3} = α_{1} + 2 α_{2}$ .

(I) 证明 $r (A) = 2$ ;

(II) 若 $β = α_{1} + α_{2} + α_{3}$ ，求线性方程组 $A x = β$ 的通解.

(I) $α_{3} = α_{1} + 2 α_{2}$ ==> $r (A) < 3$
有3个不同特征值 ==> $A \sim (\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix})$
$λ_{1} \neq λ_{2} \neq λ_{3}$ ==> $若 λ_{1} = 0, 则 λ_{2} \neq 0, λ \neq 0$
==> $r (A) = r (Λ) = 2$

(II) 同上道例题理

【例 18】设 4 阶矩阵 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})$ ，其中 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性相关， $α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性无关。若 $ξ = (1, 2, 3, a)^{T}$ 为线性方程组 $A x = 0$ 的解。

(I) 求 $a$ ;

(II) 若 $η = (2, b, c, d)^{T}$ 为 $A x = β$ 的解， $β = α_{1} + α_{2} + α_{3} + α_{4}$ ，求 $b, c, d$ .

【详解】(I) 由 $α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性无关，知 $α_{2}, α_{3}$ 线性无关。又 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 线性相关，故 $α_{1}$ 可 $α_{2}, α_{3}$ 唯一线性表示。

由 $(α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}) (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ a \end{matrix}) = 0$ ，得 $α_{1} + 2 α_{2} + 3 α_{3} + a α_{4} = 0$ ，故 $a = 0$ 。

若 $a \neq 0$ ，则 $α_{2}, α_{3}, α_{4}$ 线性相关，矛盾。

(II)
$x = k (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$ ==> ${\begin{cases} b = 3 \\ c = 4 \\ d = 1 \end{cases}$

【例4.7】设A为4阶矩阵，k为任意常数， $η_{1}$ ， $η_{2}$ ， $η_{3}$ 为非齐次线性方程组 $A x = b$ 的三个解，满足 $η_{1} + η_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})$ ， $η_{2} + 2 η_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix})$ . 若 $r (A) = 3$ ，则 $A x = b$ 的通解为【】

(A) $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}) + k (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

(B) $(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) + k (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

(D) $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + k (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

选(C)

AB=0的三个角度

（1） $r (A) + r (B) \leq n$ （n是AB消掉的那个）
例如： $A_{m \times n} B_{n \times s} = 0$

（2）
<==> B 的列都是 $A X = 0$ 的解
<==> B 的列向量与A的行向量两两正交

证明（2.1）：
$A B = 0 \Rightarrow A (β_{1}, β_{2}, \dots, β_{n}) = 0 \Rightarrow (A β_{1}, A β_{2}, \dots, A β_{n}) = 0$

证明（2.2）；
注：齐次方程组的解与系数矩阵的行向量正交
$x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] 是 A X = 0 的解$
$A [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] = 0 = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] = 0 = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$

（3）
若 $B \neq 0$ ，则A的列向量组线性相关
$r (A) + r (B) \leq n, 又 r (B) \geq 1 \Rightarrow r (A) \leq n - 1$
$r (A_{m \times n} \leq n - 1 \Rightarrow A 的列向量组线性相关$
若 $A \neq 0$ ，则B的行向量组线性相关

【例题】9.设 $A$ 为四阶矩阵， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $A (A - A^{*}) = O$ ,且 $A \neq A^{*}$ ,则 $r (A)$ 的可能取值为( )

(A)0或1

(B)1或3

(D)1或2

$r (A) + r (A - A^{*}) \leq 4, r (A - A^{*}) \geq 1$ ==> $r (A) = 1, 2, 3$
$A^{2} - A A^{*} = 0$ ==> $A^{2} - | A | E = 0$ ==> $A^{2} = 0$ ==> $r (A) + r (A) \leq 4$
==> $r (A) = 1 或 2$

AB=E

长得差不多放一起

$A B = E$ 又有： $A A^{- 1} = E$ 说明 $A, B 满秩, 可交换$

【例1】设 $n$ 阶矩阵 $A$ , $B$ 满足 $A^{2} - A B = E$ ，则 $r (A B - B A + 2 A) =$ ________.

答案：n

【例2】(5) 设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位阵,则必有
(A) ACB=E.
(B) CBA=E.
(C) BAC=E.
(D) BCA=E.

(5)【答案】(D).

【解】由 $A B C = E$ 得 $B C = A^{- 1}$ ,则 $B C A = A^{- 1} A = E$ ,应选(D).

AB=C

【例 3.2】(2013, 数一、二、三) 设 n 阶矩阵 A, B, C 满足 AB = C, 且 B 可逆, 则【】

(A) C 的行向量组与 A 的行向量组等价

(B) C 的列向量组与 A 的列向量组等价

(D) C 的列向量组与 B 的列向量组等价

$A B = C$ 说明A经过初等列变换可化成C，可知A的列可表示C
$A = C B^{- 1}$ 说明C经过初等列变换可化成A，可知C的列可表示A

同解方程组

什么是同解方程组

${\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 6 \\ 2 x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = - 1 \end{cases}$ 对应的系数矩阵： $[\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & - 1 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

${\begin{cases} x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + x_{4} = 6 \\ - 5 x_{2} + x_{3} - 3 x_{4} = - 13 \end{cases}$ 对应的系数矩阵： $[\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & - 1 & 1 & 6 \\ 0 & - 5 & 3 & - 3 & - 13 \end{array}]$

上式与下式的区别是做了一次初等行变换，它们的解是一样的，它们显然是同解方程组！

齐次方程组同解

齐次方程组 $A X = 0$ 与 $B X = 0$ 同解

<==> A可经过有限次初等行变换到B
<==> $\exists$ 可逆阵 $P$ ，使得 $P A = B$
<==> A与B的行向量组等价
<==> $r (A) = r (B) = r [\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}]$
<==> $A X = 0$ 与 $B X = 0$ 基础解系等价
<==> A与B的列向量组有相同的表示关系

【注意】
（1）若 $A X = 0$ 的解均是 $B X = 0$ 的解，且 $r (A) = r (B) = r [\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}]$ ，则 $A X = 0$ 与 $B X = 0$ 同解
（2） $A^{T} A = 0$ 与 $A X = 0$ 同解
（3）左乘列满秩，齐次方程组同解， $A X = 0$ 与 $P A X = 0$ 同解
（4） $A^{n} X = 0$ 与 $A^{n + 1} = 0$ 同解 $(A^{3} X = 0 与 A^{4} X = 0 同解)$

非齐次方程组同解

非齐次方程组 $A X = α$ 与 $B X = β$ 即： $(A | α)$ 与 $(B | β)$

<==> $(A | α)$ 与 $(B | β)$ 行向量组等价
<==> $r (A | α) = r (B | β) = r (\begin{matrix} A & α \\ B & β \end{matrix})$

齐次方程组同解的结论

$A X = 0$ 和 $B X = 0$ 同解 <--> $A X = 0$ 和 $B X = 0$ 有相同或等价的基础解系
$A X = 0$ 和 $B X = 0$ 同解 --> $n - r (A) = n - r (B)$ <--> $r (A) = r (B)$ tips:秩相同推不出同解
$A X = 0$ 的解是 $B X = 0$ 的解 <--> $A X = 0$ 与 $(\begin{matrix} A X = 0 \\ B X = 0 \end{matrix})$ 同解 <--> $r (A) = r (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$ --> $r (A) \geq r (B)$
👉️同解的充要命题， $A X = 0$ 和 $B X = 0$ 同解 <--> $r (A) = r (B) = r (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$ （即A与B的行向量组等价）👈️👍️👍️👍️
若 $A X = 0$ 的解都是 $B X = 0$ 的解,且 $r (A) = r (B)$ ,则 $A X = 0$ 与 $B X = 0$ 同解
由(2)可知,若想证明 $r (A) = r (B)$ ,且A,B列数相同,则考虑证明: $A X = 0$ 和 $B X = 0$ 同解

设 3 阶矩阵 $A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ , $B = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$ ，若向量组 $α_{1}, α_{2}, α_{3}$ 可以由向量组 $β_{1}, β_{2}, β_{3}$ 线性表出，则（）。

(A) $A X = 0$ 的解均为 $B X = 0$ 的解

(B) $A^{T} X = 0$ 的解均为 $B^{T} X = 0$ 的解

(D) $B^{T} X = 0$ 的解均为 $A^{T} X = 0$ 的解

【法一】 A 可由 B线性表出 <==> $r (B) = r (B A)$ (A) <==> $r (A) = r (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$
(B) <==> $r (A^{T}) = r (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})$
(C) <==> $r (B) = r (\begin{matrix} B \\ A \end{matrix})$
(D) <==> $r (B^{T}) = r (\begin{matrix} B^{T} \\ A^{T} \end{matrix})$

$r (B) = r (B A)$ ==> $r (B^{T}) = r (\begin{matrix} B^{T} \\ A^{T} \end{matrix})$

【法二】
A 可由 B线性表出 <==> $B P = A$
(A) ${\begin{cases} B X = 0 \\ A X = 0 \end{cases}$ 由 $B P X_{0} = 0$ ，则 $B X_{0} = 0$ （显然不一定）
(B) ${\begin{cases} B^{T} X = 0 \\ P^{T} B^{T} X = 0 \end{cases}$ 由 $P^{T} B^{T} X_{0} = 0$ ，则 $B^{T} X_{0} = 0$ （不一定）
(C) ${\begin{cases} B X = 0 \\ A X = 0 \end{cases}$ 由 $B X_{0} = 0$ ，则 $B P X_{0} = 0$ （不一定）
(D) ${\begin{cases} B^{T} X = 0 \\ P^{T} B^{T} X = 0 \end{cases}$ 由 $B^{T} X_{0} = 0$ ，则 $P^{T} B^{T} X_{0} = 0$ （显然成立）

选(D)

设矩阵 $A = (\begin{matrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})$ , $B = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2 \end{matrix})$ , 二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} B A x$ .

已知方程组 $A x = 0$ 的解均是 $B^{T} x = 0$ 的解，但这两个方程组不同解.
(Ⅰ) 求 $a, b$ 的值;
(Ⅱ) 求正交变换 $x = Q y$ 将 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 化为标准形.

(I)
方程组 $A x = 0$ 的解均是 $B^{T} x = 0$ 的解，但这两个方程组不同解 <==> $r (A) = r (\begin{matrix} A \\ B^{T} \end{matrix}) = 2 > r (B)$
==> $r (B) = 1$

==> $a = 1, b = 2$

(II)

$C = B A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix}]$
==> $λ_{1} = 0, λ_{2} = 0, λ_{3} = 6$
==> $α_{1} = (1, 1, - 1)^{T}, α_{2} = (1, - 1, 0)^{T} α_{1} 与 α_{2} 正交$
==> $α_{3} = (\begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \end{matrix}) = (1, 12)^{T}$

==>正交化： $e_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, - 1)^{T}, e_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - 1, 0)^{T}, e_{3} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 12)^{T}$

==> $Q = (e_{1}, e_{2}, e_{3}) = [\begin{matrix} \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{matrix}]$

(5) 设 $A$ 为 $n (n ⩾ 2)$ 阶矩阵 $, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵 $, b$ 为 $n$ 维列向量.下列命题中，错误的是()
( A) 若方程组 $A x = b$ 有解 ,则方程组 $A B x = b$ 有解.

( B) 若方程组 $A x = b$ 有解 ,则方程组 $B A x = b$ 有解.

( C) 若方程组 $A x = 0$ 有非零解，则方程组 $A B x = 0$ 有非零解.

( D) 若方程组 $A x = 0$ 有非零解 ,则方程组 $B A x = 0$ 有非零解.

【例24】设A,B为n阶方阵, 若线性方程组Ax=0的解均为Bx=0的解, 则下列方程组与Ax=0同解的个数为【】

①(A+B)x=0 ②ABx=0 ③BAx=0 ④(A-B)(A+B)x=0 ⑤(A)(B)x=0

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

【详解】令B=-A, 排除①; 令B=O, 排除②、③.

由Ax=0的解都是Bx=0的解, 知Ax=0与(A)(B)x=0同解.

又 $(\begin{array}{l} A - B \\ A + B \end{array})$ 行 $(\begin{array}{l} A \\ B \end{array})$ , 故 $(\begin{array}{l} A \\ B \end{array}) x = 0$ 与 $(\begin{array}{l} A - B \\ A + B \end{array}) x = 0$ 同解, 故应选(B).

线性代数中答案不唯一的情况

（1） $A X = 0$ 的基础解系， $A X = b$ 的通解，答案不唯一
（2）已知基础解系反求 $A$ ，已知通解反求 $A X = b$ ，答案不唯一
（3）向量组的极大无关组不唯一（线性相关），向量组线性无关时，极大无关组就是本身
（4）用施密特正交化求正交的向量组不唯一
（5）特征向量不唯一的，故 $P, Q$ 也是不唯一的
（6）二次型矩阵是不唯一的（写成对称矩阵是唯一的）
（7）在配方法求二次型的标准形是不唯一的

线代小题综合

设A为3阶实对称矩阵，A的各行元素之和均为0，若A的全部非零特征值为1,6,则下列命题中，正确的个数为（）

① $A^{*}$ 的全部元素均不为 $0$ .

② $(A^{*})^{*} \neq O$ .

③ $6$ 是 $A *$ 的唯一非零特征值.

④ $A * x = 0$ 与 $A x = 0$ 有非零公共解.

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*} \neq O, ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}, ξ_{4}$ 为非齐次线性方程组 $A x = b$ 的互不相等的解，则 $A x = b$ 的线性无关解向量的个数为

$A^{*} \neq 0$ ==> $r (A) = n 或 n - 1$
$A x = b 有四个解$ ==> 方程组有无穷多解 ==> $r (A) = r (\overset{―}{A}) = n - 1$
解向量个数： $n - r (A) + 1 = 2$ （基础解系＋特解）

设 3 阶非零矩阵 $A$ 满足 $A^{2} = O$ ,非齐次线性方程组 $A x = b$ 有解，则 $A x = b$ 的线性无关解向量的个数为

$r (A) + r (A) \leq 3$ ==> $r (A) \leq 1$
$A x = b 有解$ ==> $r (A) \neq 0$ ==> $r (A) = 1$
$n - r (A) + 1 = 3$

(4)设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵， $P$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，已知 $n$ 维列向量 $α$ 是 $A$ 的属于特征值 $λ$ 的特征向量，则矩阵 $(P^{- 1} A P)^{T}$ 属于特征值 $λ$ 的特征向量是( )

(A) $P^{- 1} α$

( B) $P^{T} α$

( D) $(P^{- 1})^{T} α$

有： $A α = λ α$ ==> $A^{T} α = λ α$

$(P^{- 1} A P)^{T} β = λ β$
$P^{T} A^{T} (P^{- 1})^{T} β = λ β$
$A^{T} (P^{- 1})^{T} β = λ (P^{- 1})^{T} β$

==> $(P^{- 1})^{T} β = α$ ==> $β = P^{T} α$

(7) 设 $A$ 是秩为 2 的 3 阶矩阵， $α$ 是满足 $A α = 0$ 的非零向量。若对满足 $β^{T} α = 0$ 的 3 维列向量 $β$ ，均有 $A β = β$ ，则

A. $A^{3}$ 的迹为 2.

B. $A^{3}$ 的迹为 5.

C. $A^{2}$ 的迹为 8.

D. $A^{2}$ 的迹为 9.

$β^{T} α = 0$ ==> $α^{T} β = 0$ ==> $n - r (α) = 2$
有两个解 $β_{1}, β_{2}$
==> $A β_{1} = β_{1}, A β_{2} = β_{2}$ ==> $λ_{1} = λ_{2} = 1$
$A α = 0$ ==> $λ_{3} = 0$

(A) $A^{3}$ ==> 特征值为： $1^{3}, 1^{3}, 0$ ==> $t r (A^{3}) = 2$
同理：其他迹均为2

设 $A$ , $B$ 均为3阶非零矩阵, 若 $AB = O$ 且矩阵 $A + E$ 与 $B$ 相似, 则 $| tr (A) | + | tr (B) | =$

$A B = 0$ ==> $r (A) + r (B) \leq 3$
又 $r (A) > 0 且 r (B) > 0$
$A 的特征值： λ_{1}, λ_{2}, 0$
$A + E 的特征值： λ_{1} + 1, λ_{2} + 1, 1$
$B 的特征值： λ_{1} + 1, λ_{2} + 1, 1$

当 $λ_{1} + 1 = 0$ 时，
$A 的特征值： - 1, λ_{2}, 0$
$B 的特征值： 0, λ_{2} + 1, 1$

当 $λ_{2} = 0$ 时，
$A 的特征值： - 1, 0, 0$
$B 的特征值： 0, 1, 1$
==> $| t r (A) | + | t r (B) | = 3$

当 $λ_{2} + 1 = 0$ 时，
$A 的特征值： - 1, - 1, 0$
$B 的特征值： 0, 0, 1$
==> $| t r (A) | + | t r (B) | = 3$

综上，答案为3

(10) 设 A, B 为 2 阶矩阵, 且 AB=BA, 则 “A 有两个不相等的特征值” 是 “B 可对角化”的

A. 充分必要条件.

B. 充分不必要条件.

C. 必要不充分条件.

D. 既不充分也不必要条件.

必要性：
$A = B = E$ ==> $A 的特征值均为 1$ （与题设矛盾）

充分性：
有： ${\begin{cases} A α_{1} = λ_{1} α_{1} \\ A α_{2} = λ_{2} α_{2} \end{cases}$

==> $B A α_{1} = λ_{1} B α_{1}$ ==> $A B α_{1} = λ_{1} B α_{1}$
==> ${\begin{cases} B α_{1} = 0 时 & α_{1} 为 B 的特征向量 \\ B α_{1} \neq 0 时 & B α_{1} 为 A 的特征值 λ_{1} 的特征向量 \end{cases}$

==> $B α_{1} = k α_{1}$ ==> $α_{1} 仍为 B 的特征向量$

综上， $α_{1} 为 B 的特征向量$

同理可得， $α_{2} 为 B 的特征向量$

$α_{1} 与 α_{2}$ 无关，故B可相似对角化

线代大题

【例题1】 $3 阶矩阵 A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ 满足每行元素之和为1且 $α_{1} + α_{3} = 0, α_{1} - α_{2} = 0$
(1)记 $X = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}$ ,求二次型f $(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{T} A x$ 规范型
(2)若α为单位列向量，求f(x,x,x,x,x,x)=αTα的解，

$α_{1} = - α_{3}, α_{1} = α_{2}$ ==> $A = [\begin{matrix} x & x & - x \\ y & y & - y \\ z & z & - z \end{matrix}]$

每行元素和为1 ==> $[\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}]$

A不对称，将A对称化： $B = \frac{A + A^{T}}{2} = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}]$ 【对称化技巧】对角线不变，其余对称位置平摊

$| λ E - B | = | \begin{matrix} λ - 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & λ - 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ + 1 \end{matrix} | = (λ + 1) (λ - 2) λ$

【特征值验算技巧】 $t r (A) = \sum λ_{i}$ ==> $t r (B) = 1 + 1 - 1 = 1 = - 1 + 2 + 0$

设 $A = (a_{i j})$ 为 $n (n \geq 3)$ 阶非零矩阵， $A_{i} j$ 为 $a_{i} j$ 的代数余子式，证明：

(I) $a_{i j} = A_{i j} (i, j = 1, 2, \dots, n) \Leftrightarrow A^{*} = A^{T} \Leftrightarrow A A^{T} = E$ 且 $| A | = 1;$

(II) $a_{i j} = - A_{i j} (i, j = 1, 2, \dots, n) \Leftrightarrow A^{*} = - A^{T} \Leftrightarrow A A^{T} = E$ 且 $| A | = - 1.$

(I)
$A^{*} = A^{T}$ ==> $| A^{*} | = | A |^{n - 1} = | A^{T} | = | A |$ ==> $| A | = 0, 1, - 1$
$| A | = a_{11} A_{11} + \dots a_{1 n} A_{1 n} = a_{11}^{2} + \dots + a_{1 n}^{2} > 0$ ==> $| A | = 1$ ==> $A A^{T} = A A^{*} = | A | E = E$

(II)
$A^{*} = - A^{T}$ 同理

【记住推导过程即可】

【2021，数一】设 $A = (\begin{matrix} a & 1 & - 1 \\ 1 & a & - 1 \\ - 1 & - 1 & a \end{matrix})$ .

(I) 求正交矩阵 P，使得 $P^{T} A P$ 为对角矩阵；

(II) 求正定矩阵 C，使得 $C^{2} = (a + 3) E - A$ .

(I)
$A = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] + (a - 1) E$

$λ_{3} = 3, λ_{1} = λ_{2} = 0$ ==> $α_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$
构造符合 $x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0$ 的特征向量: $α_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ ， $α_{3} = α_{1} \times α_{2} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1, 1 \end{matrix})$
单位化后：令 $P = [\begin{array}{ccc} η_{1} & η_{2} & η_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} - \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{array}]$ ，则 $P^{T} A P = [\begin{array}{ccc} a - 1 & 0 & 0 \\ 0 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & a + 2 \end{array}]$ ，故 $P$ 为所求正交矩阵。

(2) 由(1)知, $(a + 3) E - A = (a + 3) E - P [\begin{array}{ccc} a - 1 & 0 & 0 \\ 0 & a - 1 & 0 \\ 0 & 0 & a + 2 \end{array}] P^{⊤} = P [\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] P^{⊤} .$

令 $C = P [\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] P^{⊤}$ , 则 $C^{2} = (a + 3) E - A$ . 故所求正定矩阵是

$C = [\begin{matrix} - \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] {[\begin{matrix} - \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \end{matrix}]}^{T} = [\begin{matrix} \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \end{matrix}] .$

线性代数 ​

行列式 ​

行列式的定义 ​

代数余子式 ​

余子式求和 ​

三阶行列式的对角线法则 ​

具体行列式的计算 ​

抽象行列式的计算 ​

行列式重要结论 ​

矩阵 ​

矩阵的运算 ​

方阵满足乘法交换律的条件 ​

逆运算 ​

转置运算 ​

幂运算 ​

伴随运算 ​

转置、逆、伴随、k次幂可交换 ​

分块矩阵 ​

分块矩阵的运算 ​

分块矩阵结论 ​

对角矩阵 ​

初等矩阵 ​

初等矩阵的指令 ​

广义初等变换(分块矩阵) ​

代数余子式 ​

矩阵乘法 ​

向量角度计算矩阵乘法 ​

伴随矩阵 ​

伴随矩阵的秩 ​

二阶矩阵的伴随 ​

元素之和 ​

逆矩阵 ​

可逆的定义 ​

可逆六充要 ​

常规求逆 ​

二阶矩阵的逆 ​

三阶矩阵求逆 ​

初等矩阵的逆 ​

对角矩阵的逆 ​

分块矩阵的逆 ​

对称矩阵与反对称矩阵定义 ​

解矩阵方程 ​

取逆 ​

待定系数法 ​

分块矩阵法(重要) ​

矩阵的n次方 ​

找规律 ​

列乘行矩阵（秩为1） ​

特殊的幂0矩阵 ​

二项式定理 ​

分块矩阵的n次方 ​

相似对角化 ​

行阶梯和行最简 ​

矩阵的秩 ​

秩的定义 ​

求矩阵A的秩 ​

求含参矩阵A的秩 ​

矩阵的秩结论 ​

秩不变口诀 ​

消除律 ​

四秩相等口诀 ​

AB=0 ​

西尔维斯特不等式 ​

矩阵等价 ​

矩阵A与B等价的充要条件 ​

矩阵A与B行等价的充要条件 ​

矩阵A与B列等价的充要条件 ​

矩阵相似 ​

矩阵相似的性质 ​

判断A与B是否相似 ​

矩阵相似对角阵结论 ​

矩阵可相似对角化条件 ​

矩阵A和A伴随秩的关系 ​

矩阵的特征值和特征向量 ​

两条特征值重要结论 ​

求解矩阵的特征值 ​

秩一矩阵的特征值 ​

上三角矩阵的特征值 ​

特征值重要结论 ​

特征向量的定义 ​

线性代数

行列式

行列式的定义

代数余子式

余子式求和

三阶行列式的对角线法则

具体行列式的计算

抽象行列式的计算

行列式重要结论

矩阵

矩阵的运算

方阵满足乘法交换律的条件

逆运算

转置运算

幂运算

伴随运算

转置、逆、伴随、k次幂可交换

分块矩阵

分块矩阵的运算

分块矩阵结论

对角矩阵

初等矩阵

初等矩阵的指令

广义初等变换(分块矩阵)

代数余子式

矩阵乘法

向量角度计算矩阵乘法

伴随矩阵

伴随矩阵的秩

二阶矩阵的伴随

元素之和

逆矩阵

可逆的定义

可逆六充要

常规求逆

二阶矩阵的逆

三阶矩阵求逆

初等矩阵的逆

对角矩阵的逆

分块矩阵的逆

对称矩阵与反对称矩阵定义

解矩阵方程

取逆

待定系数法

分块矩阵法(重要)

矩阵的n次方

找规律

列乘行矩阵（秩为1）

特殊的幂0矩阵

二项式定理

分块矩阵的n次方

相似对角化

行阶梯和行最简

矩阵的秩

秩的定义

求矩阵A的秩

求含参矩阵A的秩

矩阵的秩结论

秩不变口诀

消除律

四秩相等口诀

AB=0

西尔维斯特不等式

矩阵等价

矩阵A与B等价的充要条件

矩阵A与B行等价的充要条件

矩阵A与B列等价的充要条件

矩阵相似

矩阵相似的性质

判断A与B是否相似

矩阵相似对角阵结论

矩阵可相似对角化条件

矩阵A和A伴随秩的关系

矩阵的特征值和特征向量

两条特征值重要结论

求解矩阵的特征值

秩一矩阵的特征值

上三角矩阵的特征值

特征值重要结论

特征向量的定义