上官呆呆的笔记

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高数 ​

一元函数技巧 ​

单调与严格单调 ​

【单调性】对于定义在上的函数 ,若对于 , 时，有,则称函数在上是单调递增(递减)的.

【严格单调】对于定义在上的函数 ,若对于 , 时，有,则称函数在上是严格单调递增(递减)的,则称函数在上是严格单调递增(递减)的.

【例题】例 1.2 若 是可导函数, 下列命题中不正确的是______.
① 若 单调递增, 则 ; ② 若 , 则 单调递增;
③ 若 严格单调递增, 则 ; ④ 若 , 则 严格单调递增.

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③ ==> 原点处导数等于0

④ 令，

连续性 ​

常见错误 ​

函数不连续时，

导函数不连续时，由此可知，洛必达后得不出如：的解

连续函数和差积商的连续 ​

在处连续
==> 在处连续
==> 当在处连续

极限运算 ​

1.存在 存在 = 存在
2.存在 不存在 = 不存在
3.不存在 不存在 = 不一定

1.存在 存在 = 存在
2.存在且非零 不存在 = 不存在
3.存在且为零 不存在 = 不一定
4.不存在 不存在 = 不一定

导数极限定理 ​

在某点处，函数连续，且导数极限存在 ==> 导数值存在（可导）且等于导数极限值
在处连续，且 ==> 存在且等于a

极限与导数极限关系 ​

【总结】存在 ==> ，反之不一定

【口诀】有儿子一定有爸爸，反之不一定。（导数为儿子，函数为爸爸）

【例题】
已知函数在上二阶可导，则()
(A) 若，则.
(B) 若，则.
(C) 若，则.
(D) 若，则.

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(A)根据口诀，不一定存在

(B) ==>

(C)

(D)
由保号性, 当

介于之间，当趋于正无穷时

抓大头 ==>

反函数求导 ​

（1）
（2）

求反函数 ​

【例1】

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==> ==>
==> ==>
==>

【例2】

点击展开答案

==>

高阶导数 ​

（1）奇偶性（求导改变奇偶性）

奇求导偶求导奇

函数求偶数阶导，奇偶性不变求奇数阶导，奇偶性改变

【例题】，求

奇函数求偶数阶导还是奇函数 ==>

（2）公式法

【公式1】




【公式2】




【公式3】

【公式4】

【公式5】

（3）泰勒公式

两类间断点 ​

第一类间断点是间断点处左右两侧极限值都存在,而间断点处左右极限至少有一个不存在即是第二类间断点。

求间断点技巧 ​

（1）求间断点先求定义域，无定义点就是定义域端点
（2）间断点要求在去心邻域有定义
例如：不是间断点（原因：左邻域无定义）
是间断点

（3）先化简提常数再算左右极限的值
例如：

连续判断 ​

1. 在 上连续 ===> 它们的加减乘除（分母不为0）复合仍在上连续
2. 在 处连续 ===> 它们的加减乘除在处连续
3.在处连续

极值点 ​

极值点的定义（极值点指的是一个点的横坐标） ​

函数在的某邻域有定义，如果存在一个邻域，当时，都有，则称为的一个极小值，点为的一个极小值点

极值的必要条件 ​

函数在处取极值，且存在，则

极值的第一充分条件 ​

（两侧一阶导是否异号）在的领域内,的左右领域变号

设函数在处连续，在点的某去心邻域内可导

(1) 若时，，时，，则是的极小值点

(2) 若时，，时，，则是的极大值点

(3) 若在和上，都（或者都），则不是的极值点

极值的第二充分条件 ​

（本质是泰勒展开）（用和来记忆）

设函数在处二阶可导，且，，则是的极值点

当，极小值点；当，极大值点

极值的第三充分条件 ​

（本质是泰勒展开）（不记）

设函数在处阶可导，且，

若是偶数，则是的极值点（当，极小值点；当，极大值点）

若是奇数，则不是的极值点

注：第二充分条件是第三充分条件的特殊情况

驻点 ​

一阶导为0（平稳点）

拐点 ​

拐点的定义（拐点指的是横纵坐标） ​

连续曲线上凹、凸弧的分界点称为该曲线的拐点

凹凸函数性质 ​

函数在区间上二阶可导，则有

在上为凹函数在上在上递增

在上为凸函数在上在上递减

曲线取拐点的必要条件 ​

若点是曲线的拐点，且存在，则

拐点的第一充分条件（两侧二阶导是否异号） ​

设函数在处连续，在点的某去心邻域内二阶可导

(1)若在的左右两侧异号，则点是曲线的拐点

(2)若在的左右两侧同号，则点不是曲线的拐点

拐点的第二充分条件 ​

（本质是泰勒展开）（不记）

设函数在处三阶可导，且，，则点是曲线的拐点

拐点的第三充分条件 ​

（本质是泰勒展开）（不记）

设函数在处阶可导，且，

若是奇数，则点是曲线的拐点

若是偶数，则点不是曲线的拐点

注：第二充分条件是第三充分条件的特殊情形

根据多项式画图（判断正负） ​

【口诀】奇穿偶不穿

值域区间 ​

【草图法求值域区间】

（1）求单调区间和极值
（2）求端点函数值（极限值）
（3）画图

【例题】设,则的值域区间是

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（1）找极值点




==> 单调递增
==> 单调递减

（2）找区间端点

（3）画图确认

==>

渐近线 ​

渐近线的求法：
给出曲线

首先找竖直渐进线：
找出所有无定义点，如果无定义点，则说明在该点有垂直渐近线，即该垂直渐近线为：无定义点

然后试

若则说明有斜渐进线：

，得到斜率为
，得到截距为
解得斜渐近线为：

若，若存在，则说明有水平渐近线：

解得水平渐近线为：

【例题】设 在 连续，且 ,其中 为常数，
又,则时记 有渐近线_______.

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侧有斜渐近线：

中值定理 ​

单中值问题 ​

还原法例题 ​

【例1.1】设在内可导，证明：存在，使得

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构造函数过程：
==>
还原法（两边同时积分
尝试后发现找不到零点，考虑取指数：
得到构造函数：

答题过程：
令 ，有：
由罗尔定理，
==>
==>
==>

【例1.2】设在上二阶可导，，，证明：存在，使得

点击展开答案

构造函数过程：
==>
注意到
还原法（两边同时积分
得到构造函数：

答题过程：
令，有
==> ==>

【例1.3】设函数在上具有连续导数，且，证明：
(1) 存在，使得
(2) 存在，使得

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构造函数过程：
==> ==>
得到构造函数：

答题过程：
令，有

==>

构造函数过程：
==>
得到构造过程：

答题过程：
，有：
==>

【例1.4】设函数在[0,1]上有连续，在(0,1)内可导，且
证明：存在,使得

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构造函数：

==>
没有零点，取指数再构造函数

答题过程：

==>

==> ==>

【例1.5】设，在上有二阶导数且，，又
证明：存在，使得

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构造函数：
==>
注意到：

==> ==>

【例1.6】设，在上连续，在内可导，且，
证明：存在，使得

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令 ==>

【例1.7】设在上有二阶导数且，证明：存在，使得

点击展开答案

==>

令 ==>

微分方程法例题 ​

【例1.8】设在上连续，在内可导，
证明：存在,使得

点击展开答案

==>
==>

【例1.9】奇函数在区间[-1,1]上具有二阶导数，且,证明：
(1) 存在,使得
(2) 存在,使得

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还原法 ==> ，有：

==> ==> ==>

【例1.10】设在[0,1]上具有二阶导数，且
求证：存在,使得

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==> ==>

【例1.11】设在上连续，在内可导，，且，证明 ：
1）存在，使得
2）在内存在与（1）中相异的点，使得

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(1)

(2)

【例1.12】设函数在上连续，在内可导，且，，证明
1)存在，使得
2)存在，使得

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(1)
==>

(2)
==> ==>

设函数在区间[0,1]上具有二阶导数，且
证明：存在,使得

点击展开答案

==> ==>

中值定理关于theta的问题 ​

中值定理中关于的问题

问题出现：

（1）积分中值定理

（2）Lagrange中值定理

（3）Taylor中值定理（Lagrange型余项）

【原则】能解出来就解出来，解不出来就用中值定理

【例题1（能解出来的）】，求

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==>


等价
同乘洛必达

【例题2（解不出来）】设二阶导连续可导，且, 又，则________.

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在处展开：

==>




【例题3】设在内二阶连续可导且
证明：
（1）对于内的任意，存在唯一的，使得成立
（2）

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（1）
不妨设
在上连续内可导

（再证唯一）（反证法）
假设不唯一，即至少存在2个


==>

又因为严格单调，矛盾

综上所述，对于内的任意，存在唯一的，使得成立

（2）

同例题理

重要定理 ​

(介值性) 若函数 在闭区间上连续， 与 为闭区间上 的最小值
和最大值，则对于,至少存在一点使得

(零点存在定理) 若函数在闭区间上连续，且与异号，至
少存在一点 使得 .

(平均值定理) 若函数 在闭区间上连续，对于至少存在一点,使得：

(费马引理) 可导函数的极值点是驻点.

(罗尔定理) 若函数在上连续，上可导，且,则 , .

(拉格朗日中值定理) 若函数在上连续，上可导，则

(柯西中值定理) 若函数和在上连续，上可导，与不同时为零，且,则 ,

(积分中值定理) 设 f(x) 在 [a, b] 上连续, 则存在 ξ ∈ [a, b] (或 (a, b)), 使得

(积分第一中值定理)设与是上的连续函数，且不变号，则至少存在一点 使得dd

重要例题 ​

单中值的罗尔定理问题 ​

例7.1 设在[0,3]上连续，(0,3)上可导，,.证明存在

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关键步骤：
在上，取,为最小值、最大值
==>
由介值定理，

例 7.2 设 在 上连续， 上二阶可导，，证明:
(1) 存在 ，；
(2) 存在 ，。

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关键步骤：
由积分中值定理，

在上，取,为最小值、最大值
==>
由介值定理，

例7.3 设与在上连续，上二阶可导，且二者在存在相等的最大值，,,证明：
(1) 存在;
(2)存在

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重要步骤：
不妨设为最大值且
当时，
当时，
设
有

==>

==>

例7.4 设在上二阶可导，,,证明存在，

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重要步骤：
不妨设
时 ==>
时 ==>

由零点存在定理，

==>

例7.5 设在可导，,,证明：
(1)存在 ;
(2)对于(1)中的,存在

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重要步骤：
（无穷极限表达）
时

找
时


介值定理， f(a) = 1

拉中，

以辅助函数为核心的单中值问题 ​

1.四则运算引出的辅助函数，主要为乘除法，若设问形式明显可以拆解为 或 ，则应构造为 或 .

例7.6 设 与 在 上连续， 上可导，，，证明存在 使得 .

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重要步骤：

F(a) = F(b) = 0
罗尔定理，

例7.7 设函数在[1,2]上可导，证明存在使得

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重要步骤：

由柯西中值定理：

解得：

例7.8 设函数在[0,1]上二阶可导，且,证明：
(1)方程 在(0,1)内至少存在一个实根；
(2)方程 在(0,1)内至少存在两个不同实根

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重要步骤：
（极限的保号性）
时 ==>

零点存在定理, 有实根

有两个零点 有三个相等根

==>

,由罗尔定理，

三个零点, 两次罗尔定理，

2.若形式不便拆解为四则运算，考虑将其拆解为,构造的辅助函数应为,因为此时有 充要于特别地，若中值形式为,辅助函数为

例7.9 设奇函数在[-1,1]上二阶可导，,证明：
(1)存在使得 ;
(2)存在使得

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重要步骤：
拉中，

偶函数, ==>

例 7.10 设 在 上连续， 上可导，，，证明至少存在一点 使得 .

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==>
==> ==>

例7.11 设在[0,1]上二阶可导且,证明至少存在一点使得2.

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重要步骤：
注意形式其中的系数为1
所以需要改写式子

得到：

==>
罗尔定理, ==>

罗尔定理,

例 7.12 设 在 [0,1] 上二阶可导且 ，，证明至少存在一点 使得

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重要步骤：




拉中， ==>

罗尔定理，

利用柯西中值定理的单中值问题 ​

柯西中值定理是较为冷门的考点，证明题中容易被忽略.中值定理的证明通常是在某个区间 上进行的，若问题中出现了端点 或 相关的其他形式则要考虑构造柯西中值定理的形式. 柯西中值定理的难点在于形式较为隐蔽，需要找到隐藏的零点，格外留意变限积分的上下限相等，或ln1等没有在问题中给出的零点，要补充上之后形式才会明显.

例7.13 设在上连续，上可导，,证明存在使得

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重要步骤：
<==>
<==>
观察到两组拉中形式

由柯西中值定理，

例7.14 已知d,证明：
(1) 存在
(2)存在 .

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重要步骤：




柯西中值定理，

双中值的组合模型 ​

（形式一致但不等的双中值问题）
如果问题中出现两个中值形式一模一样，且特意强调了二者不等，那么应该在两个不交的区间分段用拉格朗日.因为拉格朗日只能保证中值点存在，而无法确定位置，若使用的区间有重叠则无法保证二者不等.两区间的分段点通常会在第一问中给出提示，一定要积极联系前几小间.

例 7.15 设 在 上连续， 上可导，，，证明：
(1) 存在 使得 ；
(2) 证明 上存在不相等的 ， 使得 .

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重要步骤：

由零点存在定理，

由拉格朗日中值定理，
由拉格朗日中值定理，

例 7.16 设 在 上连续， 上可导，，，证明：
(1) 存在 使得 ；
(2) 证明 上存在不相等的 ， 使得 .

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重要步骤：

存在零点


例 7.17 设 在 上连续， 上可导，，，证明存在 ， 使得 .

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重要步骤：

得证：

例7.18 设在[0,1]上连续，(0,1)上可导，,,证明(0,1)上存在不相等的,使得

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重要步骤：

由拉格朗日中值定理，
由拉格朗日中值定理，

得证：

（形式不一致的双中值问题）
如果问题中出现两个中值形式不一致，则必有形式的简单和复杂之分，简单中值往往通过拉格朗日中值定理得出，复杂的中值则需要构造柯西中值定理的形式.

例 7.19 设 在 上连续， 上可导，证明存在 满足：
(1) 若 ，；
(2) 若 ，；
(3) 若 ，；
(4) 若 ，，。

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重要步骤：
（1）

（2）

（3）

（4）

例 7.20 设 在 上连续， 上可导，，若极限 存在，证明：
(1) 在 内有 ；
(2) ，使得 ；
(3) 且 使得 .

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重要步骤：

==>

柯西中值定理，

化简：

若上述等式成立，由（2）可知：

由拉格朗日中值定理，

例7.21 设在[1,2]上连续，(1,2)上可导，且导数不为0，证明(1,2)内存在 , , 使得 .

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最复杂的拎出来用柯西，单独的导数用拉格朗日，剩下的就是第三个中值，为固定常数

重要步骤：
化简：

柯西中值定理，

拉格朗日中值定理，

泰勒展开 ​

泰勒公式 ​

(泰勒公式)
带皮亚诺型余项的泰勒公式：
若 在 处有 阶导数，则有：

带拉格朗日型余项的泰勒公式：
若在上有阶导数，在上有阶导数，则对任意的,至少存在一点使得：

重要例题 ​

泰勒展开证明等式/不等式问题 ​

相较于中值定理，泰勒展开的证明题并没有太多套路化的流程，难度会更大，但在考研真题中出现的泰勒展开问题还是有迹可循的.

（特殊定点展开）
考研范围内的题目，通常需要我们在某一特殊定点展开，这个特殊点按照“导数零点(极值点)一中点一端点”的顺序选取，导数零点展开为了形式简洁，中点和端点展开是为了相消方便. 在展开前可以对出现哪些项进行预判，如果出现无法处理和放缩的项，应考虑换种方式展开.展开后代入的通常按照“函数已知点——中点一端点”进行选取，当然也会有将视作动点的情况.

例 7.22 设在 上二阶可导，且 ,证明 使得

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看到有驻点信息，在驻点展开

重要步骤：

令

例 7.23 设 在 上连续， 上二阶可导，，，证明。

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重要步骤：
==> 由费马引理，

处展开，

例 7.24 设 在 上有三阶连续导数, , , , 证明 , .

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重要步骤：



解得：


例 7.25 设 在区间 上具有二阶导数，且 ，，，证明：
(1) 使得 ;
(2) 使得 .

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重要步骤：
积分中值定理，

罗尔定理，



反证：

有矛盾

故

例 7.26 设 二阶可导，且 ，，证明：
(1) 当 时，有 ；
(2) 。

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重要步骤：



（动点展开）
在定点展开中最后的问题落脚于某几个具体点的性质，若问题侧重于函数的整体性质时，如证明某阶导数的界，考虑动点展开，而代入定点.还有另一个明显的特征，是用高阶导的性质反推低阶导的性质(如导数有界推函数有界),这类问题在考研中几乎不出现，视情况掌握即可.

例 7.27 设 在 连续， 可导，且 ，，试证明对 都有 。

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重要步骤：
判断出该题为动点展开，给出需要设出原函数

重新梳理条件：
证明：



例 7.28 设 在 上二阶可导， , ,证明 ,

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构造中点：展开，代入

重要步骤：




得证：

例 7.29 设在 上二阶可导，,,证明 ,

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重要步骤：



辅助多项式法 ​

辅助多项式法适用于类似例 7. 25 的题型，给定某些点的函数值或其它数值， 要证明存在某点使得相比传统的泰勒展开，辅助多项式的运算和书写更为简便，旨在找到一个次(考虑 次)多项式,使其满足函数所满足的一切性质，构造辅助函数,由多项式的构造方法可知由多个零点或驻点，反复利用罗尔定理即得.掌握这样的方法会使此类题目变得简单很多.

例 7.30 设 在 连续， 上二阶可导，，，，证明存在 ，

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重要步骤：
令
解得：

令 ==>

==>

例 7.31(使用辅助多项式法)设在区间[0,1]上具有二阶导数，且, , d,证明：
(1) 使得 ;
(2) 使得

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重要步骤：
令

解得：

==>

，即证

例 7.32 （使用辅助多项式法）设 在 上有三阶连续导数，，，，证明 ，。

条件不够，补条件
推不出三阶导
补条件：两次罗尔
==> ==>

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重要步骤：
令

解得：


例 7.33 设 在区间 上二阶可导， 且有 ，证
明 .

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重要步骤：
令


==>

例 7.34 设在[0,1]具有连续导数，d,证明使得 .

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重要步骤：
令

得到两个条件： ==>
但是，是否重合？不能确定

这时候应该需要去找原函数

==> ==>

两次罗尔罗尔

例 7.35 设 在闭区间 上三阶可导且 , , 证明: 使得 .

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重要步骤：
三阶导等于0,构造二次多项式


三阶导需要三个一阶导 ==> 补充条件：
满足：
解得：



积分中值定理，

两次罗尔两次罗尔罗尔

常数 K 值法 ​

常数 K 值法用于解决一些需要多次泰勒或放缩的问题，其使用条件是最后的问题可化为 ，即一侧为中值（高阶）导，另一侧为只含有区间端点 和 的函数，我们将 记作常数 ，构造辅助函数时将 中的 动起来设为自变量，且在两端同乘来消掉各项分母，这样做的目的与辅助多项式类似，人为构造更多的零点。通过研究辅助函数在区间端点处的函数值与各阶导数来多次利用罗尔定理即可证明。

尽管证明拉格朗日中值定理很容易且方法众多，但我们可利用该定理作为例子演示 K 值法，要证 ，记 ， 动起来变为 ，辅助函数即为 ，显然 ，由罗尔定理知 ，代入即得 。

例7.36 设在上二阶可导，证明存在使得

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重要步骤：


有罗尔

有罗尔

找不到零点，并且代入得不到结果

往回看，一阶导
拉中，得证！

例 7.37 设 在 上三阶可导, 证明存在 使得

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重要步骤：

罗尔


罗尔


已经三阶导，并且找不到零点，开始代入，找结果
，得证！

例 7.38 设在[-()上有二阶连续导数，证明上存在一点使得d

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重要步骤：

罗尔


罗尔


找不到零点，且达到了二阶导，所以开始代入找结果

化简得：


介于与之间

得证：

二元函数 ​

极限存在、连续性、可导性、可微性 ​

在处
① 极限存在： 存在

② 连续性：

③ 可导性： 存在

存在

（先代后导）求的偏导可以先将代入，看的极限存不存在（化为一元极限）

④ 可微性：

（1）

（2）

（3）

（4）

结论1：

设

（1） 在点 处连续

（2） 在点 处可微

结论2：若在点处连续，且

（1）
（2）
（3）在可微，且
（4）曲面在点处的切平面为

总结：
alt text
注：连续可偏导指的是偏导数连续

偏导数 ​

偏导数连续判断条件 ​

且

例：

不存在

二阶偏导定义 ​


（先代后导）求
求代入对求导代入

二阶混合偏导数结论 ​

二阶混合偏导数连续必相等，不连续就不一定相等

反例：




全微分 ​

定义：

例题

二重极限计算 ​

1.直接代入计算

2.等价代换(如：)

3.化简：拆项、提项、同乘、同除
但洛必达不可用（二元不可洛必达）

4.夹逼定理（加绝对值后放缩）

（1）

<==>

（2）

5.换元（普通换元/极坐标换元）

6.用结论
（1）
alt text

（2）极坐标
令 ==>

① 若结果与有关，则不存在
② 若结果分母有，换方法

极值点与驻点 ​

驻点定义：

结论：
1.极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点
反例1：
反例2：

2.偏导数存在的极值点一定是驻点

二元函数相除极值点判断结论 ​

给出 且 ，判断点(0,0)是否是的极值点

当时，若点(0,0)是的极小(大)值点，点(0,0)是的极小(大)值点

当时，若点(0,0)是的极小(大)值点，点(0,0)是的极大(小)值点

若点(0,0)不是的极值点，则点(0,0)也不是的极值点

闭区域最值 ​

方法：边界+内部，分别求，再比较

求找偏导为以及不存在的点，求出函数值

边界（条件极值/条件最值成边界最值）
（1）Lagrange乘数法
（2）将条件代入目标函数（降维）
（3）极坐标（条件与圆或椭圆有关）
（4）不等式（柯西、均值）（一边是常数）

注：
（1）内部的可疑点，若不在内部，删点
（2）若内部没有可疑点，则在边界上的最值，即为所求最值
（3）若可疑点只有一个，随便找一个点作比较
（4）用Lagrange乘数法时，若目标函数不好求导，应等价转化
例如：例 , ,
（5）边界曲线不封闭，讨论端点
（6）均值不等式
算术平均值：
几何平均值：
平方平均值： （最大）
当且仅当成立
无需求
大于
（7）柯西不等式（离散型）
乘积和的平方 平方和的乘积
当且仅当与线性相关时成立

参考这道例题

柯西不等式解边界上的最值 ​

例1：求 在条件下的最值

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当时，

例2：求在条件时的最大值和最小值

点击展开答案


当时,

结论：条件和目标函数：一个是乘积和，一个是平方和，则考虑使用柯西不等式

一元积分 ​

初等函数 ​

初等函数是由基本初等函数（反对幂三指）进行有限次的加减乘除复合，并且能用一个解析式表达的函数（分段函数不是初等函数）

原函数 ​

1.原函数定义
① ==> 的全体原函数
② ==> 的一个原函数

2.原函数存在定理（原函数存在指的是不定积分）
① 区间上连续函数必有原函数, 并且原函数为
② 函数在区间上有第一类或无穷间断点时, 必不存在原函数
③ 函数有震荡间断点时, 不一定存在原函数


不连续且有震荡间断点

3.关于 在 上有原函数 ，要注意以下几点：在 上
(1) 不一定连续；
(2) 不一定是初等函数；
(3) 不一定是初等函数；
(4) 由原函数定义，，因而 连续.

导函数的奇偶性与周期性 ​

可导的奇函数的导函数为偶函数
可导的偶函数的导函数为奇函数
可导的周期函数的导函数仍然是周期函数且周期不变

求导会改变奇偶性
求导周期不变

原函数的奇偶性与周期性 ​

1.连续的奇函数的所有原函数均为偶函数
2.连续的偶函数只有一个原函数为奇函数（C = 0）
3.连续的周期函数的所有原函数均为周期函数 <==>

连续的周期奇函数的所有原函数均为周期函数

【奇偶性口诀】奇导偶，偶导奇，奇原偶，偶原非奇

【例题】判断的奇偶性

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函数可积（仅黎曼可积） ​

1.可积定理（定积分 存在）

① 充分条件
(1)设 在区间 上连续，则 在 上可积。
(2)设 在区间 上有界，且只有有限个间断点，则 在 上可积。
(3)设 在区间 上单调有界，则 在 上可积。

② 必要条件
定理：若函数在上可积，则在上必有界。
该定理指出，任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积，如狄利克雷函数在[0,1] 上有界
但是不可积。

2.口诀
（1）可导必连续，连续必可积，可积必有界
（2）无界必不可积，有无限个间断点必不可积
（3）有界不一定可积

3.设
① 在上可积，则在上连续
② 在上连续，则在上可导，且
③ 若为的可去间断点，则在处可导，且
④ 若为的跳跃间断点，则在处不可导

4.连续、可积、原函数存在关系
虚线表示推导不出

5.绝对值讨论
(1)在可积，在不一定可积 （反例：为有理数为无理数）
(2)在可积，在一定可积

可积运算 ​

因为可积说明存在，所以与极限运算一样

1.可积 可积 = 可积
2.可积 不可积 = 不可积
3.不可积 不可积 = 不一定

1.可积 可积 = 可积
2.可积 不可积 = 不一定
3.不可积 不可积 = 不一定

定积分两个公式 ​

区间再现公式 ​

应用1 ​

当 时，
出题人就是根据这个结论来出题的，把 随便取个函数就是一道题了

【例题1】

【例题2】

【例题3】

应用2 ​

把x取成得

出题

把x取成得

出题
出题为偶函数

把x取成得

出题

把x取成得

出题

所以碰到, , , 要敏感, 考虑利用区间再现公式

【例题1】

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【例题2】

【例题3】

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【例题4】

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【例题5】

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计算：



解得：

应用3 ​

消去
当(其中满足)时，

【例题1】

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【例题2】

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【例题3】

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对称

【例题4】
,其中 为正整数。

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【例题5】

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【例题6】

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【例题7】

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$\xRightarrow{x = tan\theta} = $

【例题8】

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对称


公式2 ​

若 收敛，则对任意的正数 ，都有

常用 的情形

当时，

把取成，，时，为常数，则可以求出来了，出题人就是这么出题的！所以当被积函数有，可以考虑利用此公式。

【例题1】

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【例题2】

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【例题3】

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【例题4】

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积分比较定理 ​

1.若与在上连续，，则。
2.若与在上连续，（且），则。
3.若与在上连续，，则。
4.若在上连续，且，则。
5.若在上可积，且，则。

积分中值定理 ​

1.若在上连续，则
2.若在上连续，则
3.若与在上连续，不变号，则

整体换元法 ​

整体换元法触发特征：

变限积分求导 ​


（1）直接提

（2）换元

（3）二重积分交换积分次序

反常积分技巧 ​

反常积分的敛散性 ​

1.无穷积分的反常积分 ==> 积分： 收敛发散
2.有瑕点（无界的点）的反常积分 ==> 积分： 收敛发散

口诀：想要收敛看无穷和瑕点，无穷用p积分，瑕点用q积分，P大Q小（收敛），形式不符合就放缩成pq积分形式。

反常积分的奇偶性 ​

设 收敛，则为偶为奇

反常积分敛散性的四则运算 ​

1. （拆积分区间）

收敛 收敛 = 收敛
收敛 发散 = 发散
发散 发散 = 发散

2. （拆被积函数）

收敛 收敛 = 收敛
收敛 发散 = 发散
发散 发散 = 不一定

重积分 ​

奇偶对称性 ​

若积分区域 关于关于轴对称，且被积函数是关于 的奇函数，则

若积分区域 关于关于轴对称，且被积函数是关于 的奇函数，则

注：可以用两点法证明

积分区域的对称性如何判断？可以利用如下结论

若,则曲线 关于 轴对称

若,则曲线 关于轴对称

轮换对称性 ​

若 关于 对称，则

若 关于 对称，则

若 关于 对称，则 （当被积函数中 不对称时，可以考虑利用这个结论）

积分区域的对称性如何判断？可以利用如下结论

若 ，则 关于 对称

二重积分换序例题 ​

题一：改变积分次序

四条线：

题二：改变积分次序

题三：改变积分次序

题四：改变积分次序

题五：交换积分次序

题六：交换积分次序

极坐标交换积分次序 ​

① 将改成x，改成

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求含有二重积分的极限 ​

1.二重积分的积分中值定理（被积函数 ）
内容：设在闭区域上连续，为区域的面积，则

2.洛必达（被积函数 --> ）
化简二重积分：
（1）换序
（2）换坐标系
（3）换元

3.广义的积分中值定理（被积函数为两个函数相乘时）
内容：
（1）（定积分）若在上连续，且不变号，则
（2）（二重积分）若在闭区域上连续，不变号，则

注意：不能确定被积函数是否趋于0，当它不为0，用中值定理

形心 ​

平面曲线的形心

空间曲线的形心

平面的形心

空间实心体的形心

三重积分 ​

三重积分的定义 ​

设 是有界闭区域 上的有界函数. 将闭区域 任意分成 个小的闭区域 , , …, , 在每个 上取一点 , 若当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时, 极限

存在, 则称此极限为函数 是有界闭区域 上的三重积分, 记作

【注意】三重积分实际上是求实心几何体质量

三重积分的性质 ​

  1. 线性性质
    设 , 在空间 内可积, 则
为常数

  1. 区域可加性

    其中 且 与 的内部交集为空集 .

  2. 比较定理
    如果在空间Ω上有, 则.

推论: .

  1. 估值定理
    设M和m分别是函数在空间Ω上的最大值和最小值, V为空间Ω的体积, 则
    .

  2. 中值定理
    设函数在空间Ω上连续, V为空间Ω的体积, 则在Ω上至少存在一点, 使得
    .

三重积分的计算 ​

  1. 直角坐标下三重积分的计算
    ① 穿线法（先一后二法）: 先求关于某个变量的定积分, 然后求关于另外两个变量的二重积分, 例如: 先对 积分, 则将 投影到 平面得投影域 , 过 内任意一点 作平行于 轴的直线, 使之与 相穿, 下部边界穿入点得 , 上部边界穿出点得 , 则

【注】此方法为最基本的方法, 应熟练掌握, 但因求解过程较为复杂, 故在考试中有简便方法可用的, 尽量用其他方法.

②切片法（先二后一法或截面法）：先求关于某两变量的二重积分，然后再求定积分，例如，先计算关于x,y的二重积分，然后计算关于z轴的定积分，此时应先将Ω投影到z轴得坐标z∈[c,d]，然后对坐标取平行于Oxy平面的一个平面，截Ω得到一个平面闭区域Dz，则

若仅为的函数，且的面积仅为z的函数，记作，则

  1. 柱坐标下三重积分的计算
    柱坐标 (r, φ, z) 与直角坐标的关系为
  1. 球坐标下三重积分的计算
    球坐标 (r, θ, φ) 与直角坐标的关系为

则

  1. 利用对称性计算三重积分
    ① 积分区域 Ω 关于 xOy 坐标平面对称，则

其中 Ω_1 为 Ω 在平面 xOy 上侧的部分.

② 轮转对称性: 若 x, y 互换后, 积分区域 Ω 所满足的表达式不变,则：

若 x, y, z 互换后, 积分区域 Ω 所满足的表达式不变, 则

【例题1】计算 ， 由 ，，，， 围成。

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【例题2】已知 是由曲线 ² 绕 轴旋转一周而成的曲面与平面 围成的立体, 求 ²²

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【例题3】求 , 其中 .

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关于对称，


【例题4】Ω: ，三重积分 的值为
(A)
(B)
(C)
(D)

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【例题5】计算三重积分

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【例题6】设Ω:，则三重积分____
(A) .
(B) .
(C) .
(D)

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==> ==> (从该不等式可以看出隐藏条件，，说明)




【例题7】求d,其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体。

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绕z轴旋转 ==> ==>

如果是： ==>



几何 ​

弧长公式 ​

设：则弧微分d,弧长

2)设,则弧微分dd,弧长

3)设,则弧微分dd,弧长

旋转体体积 ​

绕x轴旋转旋转体体积
alt text
看成柱体
绕y轴旋转旋转体体积
alt text
看成长方体

旋转体侧面积 ​

alt text

曲率公式 ​

设曲线的直角坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M处的切线的斜率为，所以

又，故曲线L在M点处的曲率为

设曲线是由参数方程给出，利用参数方程求导法可得

曲率半径：

线面积分 ​

第一类曲线积分 ​

第一类曲线积分的定义 ​

设 为 平面上一条光滑曲线， 为定义在 上的有界函数。在 上插入点 ，，…， 将 分成 个小段。第 段长度记作 ，在第 段上取点 ，令 ，若极限

存在，则称此极限为函数 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作

【几何意义】求线的质量，f(x,y)为线密度

第一类曲线积分的性质 ​

(1) 线性性质：在上可积，为任意常数，则

(2) 可加性：若积分弧段可分成两段光滑曲线弧，则

(3) 比较性质：若在上，则

推论：

第一类曲线积分的计算 ​

(1) 曲线 L 由直角坐标 y = y(x), a ≤ x ≤ b 表示, 则

(2) 曲线 L 由极坐标 r = r(θ), α ≤ θ ≤ β 表示, 则

(3) 曲线 L 由参数方程 , α ≤ t ≤ β 表示, 则

(4) 空间曲线 L 由参数方程表示, 则

(5) 利用对称性计算第一类曲线积分
① 积分曲线 关于 轴对称，则

其中 为曲线 在 轴右侧的部分.
② 利用轮转对称性: 若积分曲线 关于直线 对称，则

【例题1】平面曲线 为下半圆周 ，则 ___________.

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【例题2】计算 , 其中

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【总结】曲线积分要代入！！！

【例题3】计算d ,其中

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【例题4】求第一型曲线积分ds,其中为摆线 ,

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【例题5】为双纽线全弧段，则

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==> ==>

角度1：（确认角的范围，在第一象限中，如果角度扩大，则减小到0）有：

角度2： ==> ==>

角度3： ==> ==>

设第一象限的弧段为




【例题6】设曲线 （具有一阶连续偏导数），过第二象限内的点 和第三象限内的点 ， 为 上从点 到点 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）
(A) .
(B)
(C) .
(D) .

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==> 偏导数为0

有：
(A) .
(B)
(C) 弧长.
(D) .

第二类曲线积分 ​

第二类曲线积分的定义 ​

设 为 平面上连接 , 两点的有向光滑曲线弧, 函数 , 为定义在 上的有界函数. 在 上插入点 , , , , 将 分成 个有向弧段:

设 , , 点 为 上任一点. 取 为各小弧段长度最大值, 则当极限

存在, 则称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分, 记作

则称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分，记作

以上两个积分称为第二类曲线积分，若二者均存在，则一般将二者合并起来，记作

第二类曲线积分的性质 ​

(1) 线性性质: 在 上可积, 为任意常数, 则

(2) 可加性: 若有向弧段 可分成两段光滑的有向弧段 , 则

(3) 当 表示有向弧段 的反向曲线弧, 则

第二类曲线积分的计算 ​

(1) 有向弧段 L 由 y = y(x), x: a → b 表示，则

(2) 有向弧段 L 由参数方程表示，则

两类曲线积分的关系 ​

(1)区别:第二类曲线积分与曲线L的方向有关.而第一类曲线积分只与被积表达式和曲线弧长的乘积有关,而与曲线的方向无关.

(2)联系:两类曲线积分的计算关系

其中为有向曲线切线的方向余弦.

格林公式 ​

格林公式的定义 ​

设闭区域 由分段光滑曲线 围成，函数 ， 在 上一阶偏导数连续，则

其中 为 的边界曲线，且为正向（其中 为正向指某人沿 的方向前行时，区域 始终在其左侧）。

【例题1】设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为______.

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补：和

【例题2】计算下面曲线积分

其中 为连接点 与点 的线段 下方的任意路径，且该路径与线段 所围图形的面积为 2.

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补：



【例题3】设具有连续导数，点 , 为以 AB 为直径的左上半个圆弧，且从走向 .求

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补线：

偏导连续封闭，负向

【例题4】求，l 为从点 沿曲线 到 .

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为无定义点，需要挖洞 ==> 补线：且：

补线：

【例 10】设曲线积分.其中为平面上任意一条连续闭 曲线，函数与二阶可导，且，

(I) 求函数和;

(II) 计算曲线从点到点的积分.

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(1)

即
==> ==>
==> 型四
==>
==> ==>

(2)

折线路径：



第一类曲面积分 ​

第一类曲面积分的定义 ​

设函数 是定义在光滑曲面（或分片光滑曲面） 上的有界函数。将曲面分为 个小块 ()（ 也代表第 小块曲面的面积），在小块曲面 上任意取一点 ，令 为各小块曲面直径的最大值，若极限

存在，则称此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作

第一类曲面积分的性质 ​

(1) 线性性质：, 在曲面Σ上可积，，为任意常数，则

(2) 可加性：若积分曲面Σ可分成两块光滑曲面Σ₁，Σ₂，则

第一类曲面积分的计算 ​

==>

(1) 设积分曲面由方程确定, 曲面在坐标面上的投影为, 函数在具有连续偏导数(即曲面是光滑曲面), 在上连续, 则

(2) 利用对称性计算第一类曲面积分
① 积分曲面 Σ 关于 xOy 平面对称，则

其中 Σ_1 为曲面 Σ 在 xOy 平面上方的部分.

②利用轮转对称性: 若 x, y 互换后, 积分曲面 Σ 所满足的表达式不变, 则

若 x, y, z 互换后, 积分曲面 Σ 所满足的表达式不变, 则

【例题1】【例 9.10】设 , 为 在第一卦限中的部分, 则有
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

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图形为一上半球，可知：几何体关于对称

被积函数为或的奇偶函数时，有偶倍奇零结论

【例题2】设曲面 ,则

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【小技巧：根据曲面方程判断对称性】将方程中的改写为若方程不变说明，曲面关于对称

偶倍奇零 ==>

在第一卦象上有：在第一卦象的上有：


【例题3】计算曲面积分, 其中 为锥面 在柱体 内的部分.

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第二类曲面积分 ​

第二类曲面积分的定义 ​

设为光滑（或分片光滑）的有向曲面，函数在上有界.把任意分割成个小块也代表第小块曲面的面积，在面上投影为，为ΔSi上任取的一点，令λ为各小块曲面的直径最大值，若极限

存在，则称此极限为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分，记作

第二类曲面积分的性质 ​

(1) 可加性: 若积分有向曲面Σ可分成两块光滑曲面Σ₁, Σ₂, 则

(2) 令 −Σ 表示 Σ 的反向, 则

第二类曲面积分的计算 ​

(1) 设积分曲面Σ由方程z=z(x,y)确定，曲面在坐标面xOy上的投影为Dxy，函数z=z(x,y)在Dxy具有连续偏导数(即曲面Σ是光滑曲面)，R(x,y,z)在Σ上连续，则

其中若曲面Σ的方向与z轴正向夹角小于，则上式右端取正号；否则取负号.

同理可得

(2) 【投影三合一公式】设积分曲面Σ由方程z=z(x,y)确定，曲面在坐标面xOy上的投影为Dxy，若z(x,y)在Dxy具有连续偏导数(即曲面Σ是光滑曲面)，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Σ上连续，则

其中若曲面Σ的方向与z轴夹角小于，则上式右端取正号；否则取负号。

两类曲面积分关系 ​

其中 为曲面 在点 处的正法线向量的方向余弦.

高斯公式 ​

设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 围成，函数 , , 在 上有连续的一阶偏导数，则

这里 是 的整个边界曲面的外侧.

【例题1】计算曲面积分 ，其中 为曲面 的上侧.

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补面：为曲面的底面，方向向下


==>

补面：偶倍奇零

【例题2】计算dydzdzddxdy为介于和之间的部分，上侧为正.

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补面：方向向下

高斯公式

补面：

【例题3】计算曲面积分 ，其中 为曲线 绕 轴旋转而成的曲面的下侧。

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绕z轴：

补面：方向向下, 方向向上

负方向
正方向


【例题4】设Σ是曲面的前侧，计算曲面积分

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补面：



【例题5】计算曲面积分其中 为椭球面的外侧。

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补面：（方向向内）

【例题6】设为曲面 的下侧，是连续函数，计算

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斯托克斯公式 ​

【空间曲线转化成曲面积分】
设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 所取正侧的法线向量符合右手法则，函数 ，， 在曲面 （连同边界 ）上有连续的一阶偏导数，则

【例题1】设 是柱面 与平面 的交线，从 轴正向往 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 。

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斯托克斯

的方向由右手定则确定，可知方向向上

偶倍奇零

【例题2】是曲面的边界，曲面方向朝上，其方向
与侧符合右手法则，求：

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斯托克斯

三个坐标系上的补面



散度 ​

设向量场 , 其中 有连续的一阶偏导数, 在点 处的散度为

由上式, 高斯公式可写成

旋度 ​

设向量场,其中 有连续的一阶偏导数，在点处的旋度为

梯度 ​

【例题】设有数量场 . 求: (I) grad ; (II) div (grad ); (III) rot (grad ).

方向导数 ​

梯度：

方向导数：若可微

【例题1】设函数 ，单位向量 ，则 =

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【例题2】设 , ，则（）

(A) 在 点连续.

(B) .

(C) ，其中 为任一方向 的方向余弦

(D) 在 点沿 轴负方向的方向导数为 -1

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(A)(B)(C)可参考该小节结论
偏导数存在，推不出函数连续，全微分存在，函数可微

(D)用定义计算：

【例题3】设 在 的最大方向导数为______

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【例题4】设 ，则

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数列技巧 ​

数列收敛的结论 ​

1.唯一性：存在 ==> 极限值唯一
2.有界性：收敛 ==> 有界 （反推不成立，反例：震荡函数sinx）
3.单调有界准则：有界 + 单调 ==> 收敛 （反推不成立，反例：)
4.保号性：（脱极限号） ==> 当时（n足够大时），
（带极限号） （当收敛时）
5.数列极限存在且极限值为A <==> 所有子列极限都存在且都为A

数列单调有界 ​

单调证明 ​

1.求导法
令
(1)数列满足：，，如果在上，，则单调 （若单调增，若单调减）
(2)数列满足：, ,如果在,上，,则单调
注：此时不单调，除非

2.作差/作比法
(1)作差：
1.1 与0比较
1.2 与 比较（同号则单调）
(2)作比： （若>1，则单调增）（若<1，则单调减）

3.数学归纳法 （不常用，并且因为我用得很熟，懒得总结）

有界证明 ​

1.分离常数
2.数学归纳法（常用）（界就是极限）
3.常见不等式

数列不存在证明 ​

【例题1】 设 , , 则 ___.

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证有界：
显然，有下界

证单调：

==> 单调递增

假设有上界，则，令其为A
==> ==> 与矛盾

说明无上界 ==> 极限不存在或为正无穷

【例题2】设 ，，则 ________。

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（1）若，显然，即：有界

==> 单调递减
由单调有界准则可得：极限存在，令其为A
==> ==>

（2）若，显然
==> ==> 单调递减

假设有下界，则极限存在，令其为A ==> ==> 矛盾

说明没有下界，极限不存在或为负无穷

（3）若，显然 ==>

综上：

常见不等式 ​

1.
2.
或者
3.
4.（当且仅当时，等号成立）
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. （a,b同号）
13.

(1)当时，

(2) 当 时
当 时

(3)当 时 ,
当 时
当时，

(4)当时

(5)当时

哈哈哈，重复说明重要

数列极限 ​

定积分定义 ​

【步骤】
(1)先提（不管小区间的长度是不是）

【例题1】（插入点为端点）
求极限

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分成n份，取右端点

【例题2】（插入点为中点）
求极限

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==>

区间划分：

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==>

【例题3】（插入点非中点、端点的情况）

求极限

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alt text

【例题4】（类似例题3）
求极限

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==>

同理（例题3）

【例题5】（出现连乘，先取对数，化累和）
求极限

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【例题6】
求极限

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夹逼准则 ​

形如, 其中且

当时，上面不等式两边的极限相等，此时一定可以用夹逼准则

【例题1】
求极限

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且 ==>

【例题2】
求极限

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和

==>

【例题3】
求极限

求含有sin无穷的数列极限 ​

总结：求含有的数列极限
（1）减去等价无穷大，把无穷大拉回常数
（2）提出等价无穷大，把无穷大拉回常数

【例题1】数列极限 ______.

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【例题2】数列极限 _____.

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【例题3】数列极限 _______.

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裂项相消法例题 ​

【例题1】设 , 则 ___.

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【例题2】 求数列极限

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【例题3】 求数列极限 , 其中 。

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开n次根号 ​

不含有次方

奥特曼公式 ​

为非负，则

【证明】
不妨设：


得证：

微分方程 ​

微分方程概述 ​

1.n阶微分方程的通解应该含有n个不能合并的任意常数
2.n阶齐次微分方程的通解是n个线性无关的特解的线性组合

线性微分方程概述 ​

（要么看未知函数，要么看未知函数)
① 未知函数及未知函数的导数都是一次的
② 未知函数及未知函数的导数只能线性组合

例：判断下列微分方程是否为的线性微分方程

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）

（1）（2）（3）是y的线性微分方程

一阶微分方程通解 ​


通解：

伯努利方程 ​

通过换元，将非线性方程化简成线性

则为线性直接做

① 两边同除

② 令,两边同时对x求导

③ 代入求

总结：必须干净没有，盯着换元（那一项）

欧拉方程 ​

① 令(化成常系数)
则是对的微分算子

② 解得y(t)，再代入为y(x)

例：方程的通解
令

二阶齐次微分方程通解 ​

特征方程：

①

②

③

二阶齐次微分方程特解结论 ​

的任意两个解一定满足（其中C可以通过两个解确定为常数）
证明：


令，则有：

得证：

例题

解的结构 ​

非齐次齐次

① 和 是齐次线性无关的解，则 是齐次的通解
② 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
③ 是齐次的解，仍是齐次的解
④ 是非齐次的解
非齐次的解齐次的解
⑤ 非齐次解 + 齐次解 = 非齐次解

微分算子法（算非齐特解） ​

一、引入记号

（1）表示求导

（2）表示积分

二、步骤

特征方程：


记成：

计算： ==> 没有的形式

如：


型一 ​


【方法】 见就换

时，
时，

例一： 求

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例二： 求

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例三： 求

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，则

例四： 求

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例五： 求

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型二 ​


【方法】 见就换，剩下的用平方差


与型一一样，就求导提一个x出来

例一： 求

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例二： 求

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例三： 求

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例四： 求

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型三 ​

多项式
【方法】

例一： 求

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型四 ​

的多项式
【方法】化简成等比数列级数的形式，然后展开

例一： 求

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例二： 求

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例三： 求

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型五 ​

算子计算顺序为：多项式

(1) ;

利用欧拉公式将三角函数化为










(2)

应该不会考这么难，知道就行

微分方程的换元 ​

题型：关于y和x的微分方程 关于y和t的微分方程，可以有

方法：链式求导法

【例题】作变量替换，方程简化为________。

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无穷级数技巧 ​

常数项级数 ​

级数的收敛与发散 ​

令 ，则称数列 为级数 的部分和数列。
如果级数 的部分和数列 有极限 ，即
则称无穷级数 收敛，这时极限 叫做级数的和，并写成

如果 没有极限，则称无穷级数 发散。

级数的基本性质 ​

(1) 如果级数收敛于和S，则级数也收敛(k为常数)，且收敛于kS；
(2) 如果级数，分别收敛于S，σ，则级数也收敛，且收敛于S±σ；
(3) 若和中一个收敛，另一个发散，则级数发散(a，b为非零常数)；

【注意】若级数与都发散，则的敛散性不确定(a，b为常数).

(4) 在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的收敛性；
(5) 如果级数 收敛，则对此级数的项加上括号后的级数仍收敛，且其和不变；
【注意】若加括号后形成的级数收敛，不能断定去括号后原来的级数收敛。例如级数 收敛于零，但级数 却是发散的。

(6) 级数收敛的必要条件：如果级数收敛，则它的一般项趋于0，即：

收敛 ==> ==>

【注意】常用来判定级数发散，即若，则级数必发散。

拆分级数性质 ​

（1）若收敛，收敛，则一定收敛

（2）若收敛，发散，则一定发散

（3）若发散，发散，则可能收敛可能发散

【例 1】若 ，且级数 收敛，则级数 收敛性的结论是 【 】
(A) 收敛.
(B) 发散.
(C) 不能确定.
(D) 与 正负有关.

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【技巧】消去型级数用定义

【例2】【例 7.2】设级数 收敛, 则下列结论不正确的是
(A) 必收敛.
(B) 必收敛.
(C) 必收敛.
(D) 必收敛.

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(B) 【消去型级数】用定义

(C) 内部加括号

【例题3】对无穷级数 和 ，下列命题成立的是（ ）

（A）若 ，则 和 中至少有一个收敛.
（B）若 ，则 和 中至少有一个发散.
（C）若 ，则 收敛时 收敛.
（D）若 ，则 发散时 发散.

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通项趋于0不能推收敛(A)错误

==> 不都成立 ==> 至少有一个发散(B)正确

【注意】只有正项级数可用比较审敛法等，普通级数只能用，收敛+收敛，同敛散，改变有限项，通项趋于0（必要条件）来判别
(C)(D)错误

【例题4】设 ，若 发散， 收敛，则下面结论正确的是（ ）
（A） 收敛， 发散.
（B） 收敛， 发散.
（C） 收敛.
（D） 收敛.

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收敛＋发散 = 发散
发散 － 收敛 = 发散

(C)级数发散，内部加括号，不知道
(D)级数收敛，内部加括号，收敛

典型级数的敛散性 ​

(1) 几何级数(等比级数): , 当 时收敛于 , 当 时发散;
(2) 级数: , 当 时收敛, 当 时发散;
(3) 对数 级数: , 当 且 时收敛, 当 且 时发散.

【注】 当取 , 对数 级数变为 , 此时, 当 时收敛, 当 时发散.

正项级数 ​

常数项级数的各项非负，即：的级数称为正项级数。

收敛 <==> 有界

加括号问题 ​

（1） 是正项级数，则 收敛收敛

（2）若 ，则 收敛 收敛

正项级数审敛法 ​

① 比较判别法【适合于抽象级数】: 设 , 为正项级数, 且 ,
若 收敛, 则 收敛;
若 发散, 则 发散.

【例题】判断敛散性
（1）

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收敛

（2）, 己知收敛

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② 比较判别法的极限形式【实现等价无穷小，易于判别】: 设 , 为正项级数, 若 ,
当 时, 与 同敛散;
当 且 收敛时, 则 收敛;
当 且 发散时, 则 发散.

【例题】判断下列级数敛散性

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③ 比值判别法（达朗贝尔判别法）【适用于带阶乘级数】：设 为正项级数，若 ，则

收敛，，发散，，不确定，。

【例题】判断下列级数敛散性

(1)

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收敛收敛

单调增 ==>

发散收敛发散

④ 根值判别法(柯西判别法)【适用于带幂级数】: 设 为正项级数, 若 , 则

收敛发散不确定

【例题】

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当时，发散

发散收敛发散

【综合例题】

【例题1】已知函数 是一阶微分方程初始值问题的解，则级数
（A）发散.
（B）条件收敛.
（C）绝对收敛.
（D）收敛性与 的取值有关.

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==>
==> 绝对收敛

【例题2】设为正项级数，下列结论中正确的是（）
（A）若，则级数收敛
（B）若存在非零常数，使得，则级数发散.
（C）若级数收敛，则.
（D）若级数发散，则存在非零常数，使得.

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(A)(B)用比较判别法

交错级数 ​

若 ，则级数 或 称为交错级数，其展开形式有以下两种：

，

。

交错级数的敛散性判定(莱布尼茨判别准则) ​

对于交错级数 , 若:
① ;
② ,
则级数收敛, 且其和 .

【例题】判断下列级数的敛散性

(1)

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在时，单调减，趋于0 ==> 级数收敛

(2)

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单调减，趋于0，级数收敛

一般项级数 ​

绝对收敛与条件收敛的概念 ​

对于一般项级数，
如果级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；
如果级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛.

绝对收敛与条件收敛的性质 ​

(1) 绝对收敛的级数一定收敛, 即若 收敛, 则 收敛;

(2) 条件收敛的级数所有正项 (或负项) 构成的级数一定发散;

【注意】 由级数所有正项或负项构成的级数可分别表示为 和 .

(3) 绝对收敛的级数重新排列后, 级数仍收敛且和不变.

【例题】设常数λ＞0，且级数∑收敛，则级数∑（　　）
（A）发散.
（B）条件收敛.
（C）绝对收敛.
（D）敛散性与λ有关.

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收敛

==> 绝对收敛

【例题2】设常数 ，则级数 （ ）
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 收敛性与 取值有关.

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单调减，趋于0，收敛

，发散加收敛，级数发散，说明是条件收敛

【例题3】关于级数 的敛散性说法正确的是（ ）
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 敛散性与 取值有关.

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，收敛

，发散

==> 级数发散

【例题4】设 收敛，则级数 （ ）
(A) 条件收敛
(B) 绝对收敛
(C) 发散
(D) 敛散性不定

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绝对收敛

【例题5】判别级数 的收敛性, 其中 是单调递增而且有界的正项级数

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由 收敛

收敛

幂级数 ​

幂级数的概念 ​

各项都是幂函数的函数项级数即所谓幂级数，形如，称为在 处的幂级数.

阿贝尔定理及其推论 ​

如果幂级数 当 () 时收敛，则对 的一切 ， 绝对收敛。反之，如果幂级数 当 时发散，则对 的一切 ， 发散。

【推论】如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则可以一个确定的正数 ，使得当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；当 时，幂级数可能收敛也可能发散。

正数 叫做幂级数的收敛半径，开区间 叫做幂级数的收敛区间。再由幂级数在 处的收敛性就可以决定它的收敛域是 、、 或 这四个区间之一。

【注意】在求收敛域时，一定不要忘记判断端点处幂级数的敛散性，这也是其与收敛区间的区别。

幂级数收敛半径的求法 ​

对于幂级数 ，若 （或 ），则幂级数的收敛半径为

【例题】求下列幂级数的收敛域

(1)

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(2) .

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收敛区间

时， 发散
时，收敛

收敛域：,

(3) .

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时，发散
时， 发散

收敛域： ==>

幂级数和函数 ​

(1) 幂级数 的和函数 s(x) 在其收敛域 上连续.

(2) 幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并有逐项积分公式

【注】逐项积分后所得到的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.

【母型级数】
(1)

(2)

(3)

(4)

【例题】求下列幂级数的和函数

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收敛域：

【例题】计算级数

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【例题】求下列幂级数的和函数

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，收敛区间

时收敛 ==>



(3) 幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可导，且有逐项求导公式

【注】逐项求导后所得到的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.

【子型级数】
（1）

（2）

（3）

【例题】

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，即：，收敛区间

发散

【带阶乘级数】
（1）

【例题】求下列幂级数的收敛域与和函数

(1)

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(2)

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常用级数推导 ​

都还记得高中的等比数列求和公式吧？

当

注意到如果 ，的级数展开就是公比为x的等比数列

换一个形式：

改成：

我们知道，那么先求导再积分可得：

化简一下：

我们知道，同理可得：

幂级数展开式大伙都知道吧：

又知的n次导始终为，得：

同理，对，
顺序循环地取0，1，0，-1，...
得：

再求导可得：

还有这个：

上面这个级数你可以使用幂级数展开式自行验证。
总结：

常见曲线 ​

摆线 ​

老演员了，又叫旋轮线、圆滚线、伽利略曲线、最速降线
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助记 ​

积分表 ​

①是常数②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬

高阶导数表 ​

①②③④⑤

三角函数反解 ​

对自变量x，左加右减
对arccos/siny整体加负号
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常用泰勒展开 ​





积化和差 ​

【虽然这个口诀有点令人难绷，但还是记下来了】

==> 帅/嫂 ==> 哥

帅 + 帅 = 帅哥
帅 - 帅 = 哥帅
哥 + 哥 = 哥哥
哥 - 哥 = 负嫂嫂

常见级数（特值法） ​

常见的收敛级数：，，，，，．

常见的发散级数：，，，．

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