上官呆呆的笔记

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高数 ​

一元函数技巧 ​

单调与严格单调 ​

【单调性】对于定义在D上的函数 f(x),若对于∀x1,x2∈D ,x1<x2 时，有f(x1)⩽f(x2)(f(x1)⩾f(x2)),则称函数在D上是单调递增(递减)的.

【严格单调】对于定义在D上的函数 f(x),若对于∀x1,x2∈D ,x1<x2 时，有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),则称函数在D上是严格单调递增(递减)的f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),则称函数在D上是严格单调递增(递减)的.

【例题】例 1.2 若 f(x) 是可导函数, 下列命题中不正确的是______.
① 若 f(x) 单调递增, 则 f′(x)⩾0; ② 若 f′(x)⩾0, 则 f(x) 单调递增;
③ 若 f(x) 严格单调递增, 则 f′(x)>0; ④ 若 f′(x)>0, 则 f(x) 严格单调递增.

③ y=x3y′=3x2 ==> 原点处导数等于0

④ 令x1<x2， f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1)>0

连续性 ​

常见错误 ​

函数不连续时， limx→0f(x)≠f(0)
导函数不连续时，由此可知，洛必达后得不出如：f″(x)=f″(0)的解

连续函数和差积商的连续 ​

u(x),v(x)在x0处连续
==> u(x)v(x),u(x)±v(x)在x0处连续
==> 当v(x0)≠0,u(x)v(x)在x0处连续

极限运算 ​

1.存在 ± 存在 = 存在
2.存在 ± 不存在 = 不存在
3.不存在 ± 不存在 = 不一定

1.存在 × 存在 = 存在
2.存在且非零 × 不存在 = 不存在
3.存在且为零 × 不存在 = 不一定
4.不存在 × 不存在 = 不一定

导数极限定理 ​

在某点处，函数连续，且导数极限存在 ==> 导数值存在（可导）且等于导数极限值
f(x)在x=x0处连续，且limx→x0f′(x)=a ==> f′(x0)存在且等于a

极限与导数极限关系 ​

【总结】limx→x0f′(x)存在 ==> limx→x0f(x)，反之不一定

【口诀】有儿子一定有爸爸，反之不一定。（导数为儿子，函数为爸爸）

【例题】
已知函数f(x)在(0,+∞)上二阶可导，则()
(A) 若limx→+∞f(x)=0，则limx→+∞f′(x)=0.
(B) 若limx→+∞f′(x)=0，则limx→+∞f(x)=0.
(C) 若limx→+∞f(x)=+∞，则limx→+∞f″(x)>0.
(D) 若limx→+∞f″(x)>0，则limx→+∞f(x)=+∞.

(A)根据口诀，不一定f′(x)存在

(B) y=arctanx ==> limx→∞f′(x)=0,limx→∞f(x)=π2

(C) f(x)=x

(D)
由保号性, ∃X>0,当x≥X,f″(x)>a2

f(x)=f(X)+f′(X)(x−X)+f″(ξ)2(x−X)2

ξ介于X,∞之间，当x趋于正无穷时
>f(X)+f′(X)(x−X)+a4(x−X)2

抓大头 ==> f(x)=+∞

反函数求导 ​

（1）dxdy=1dydx=1y′
（2）d2dy2=d(dxdy)dy=d(dxdy)dxdydx=−y″y′2y′=−y″y′3

求反函数 ​

【例1】y=ex−1ex
ex=t>0 ==> y=t−1t ==> t2−yt−1=0
==> t=y±y2+42 ==> t=ex=y+y2+42
==> x=ln(y+y2+42)

【例2】y=ln(x+1+x2

{ey=x+1+x2e−y=1+x2−x ==> x=ey−e−y2

高阶导数 ​

（1）奇偶性（求导改变奇偶性）

奇⇒求导偶⇒求导奇⋯

函数{求偶数阶导，奇偶性不变求奇数阶导，奇偶性改变

【例题】f(x)=x1+x2，求f(2n)(0)

奇函数求偶数阶导还是奇函数 ==> f(2n)(0)=0

（2）公式法

【公式1】
(1ax+b)(n)=(−1)n⋅n!⋅an(ax+b)(n+1)

[(ax+b)−1]′=(−1)⋅(ax+b)−2⋅a
[(ax+b)−1]″=(−1)(−2)(ax+b)−3⋅a2
⋮⋮
(1ax+b)(n)=(−1)n⋅n!⋅an(ax+b)(n+1)

【公式2】
[ln(ax+b)](n)=(−1)n−1(n−1)!an(ax+b)n

[ln⁡(ax+b)]′=1ax+b⋅a=(ax+b)−1⋅a
[ln⁡(ax+b)]″=(−1)(ax+b)−2⋅a2
⋮⋮
[ln(ax+b)](n)=(−1)n−1(n−1)!an(ax+b)n

【公式3】[sin⁡(ax+b)](n)=an⋅sin⁡(ax+b+n2π)

【公式4】[cos⁡(ax+b)]n=an⋅cos⁡(ax+b+n2π)

【公式5】(u⋅v)(n)=Cn0u(n)⋅v+Cn1u(n−1)⋅v′+Cn2u(n−2)⋅v′′+Cn3u(n−3)⋅v‴+⋯+Cn0u⋅v(n)

（3）泰勒公式
f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+⋯

两类间断点 ​

第一类间断点是间断点处左右两侧极限值都存在,而间断点处左右极限至少有一个不存在即是第二类间断点。

求间断点技巧 ​

（1）求间断点先求定义域，无定义点就是定义域端点
（2）间断点要求在去心邻域有定义
例如：f(x)=lnx,x=0不是间断点（原因：左邻域无定义）
f(x)=ln|x|,x=0是间断点

（3）先化简提常数再算左右极限的值
例如：limx→0f(x)=limx→0|sin⁡x|x(π−x)e−1x−1=Alimx→0|sin⁡x|x={limx→0+sin⁡xx=Alimx→0−−sin⁡xx=−A

连续判断 ​

1.f(x),g(x) 在R 上连续 ===> 它们的加减乘除（分母不为0）复合仍在R上连续
2.f(x),g(x) 在x=x0 处连续 ===> 它们的加减乘除f(x)g(x)(g(x0)≠0)在x=x0处连续
3.f[g(x)]在x=x0处连续

极值点 ​

极值点的定义（极值点指的是一个点的横坐标） ​

函数f(x)在x=x0的某邻域有定义，如果存在一个邻域U(x0,δ)，当x∈U(x0,δ)时，都有f(x)⩾f(x0)，则称f(x0)为f(x)的一个极小值，点x=x0为f(x)的一个极小值点

极值的必要条件 ​

函数f(x)在x=x0处取极值，且f′(x0)存在，则f′(x0)=0

极值的第一充分条件 ​

（两侧一阶导是否异号）在x0的领域内,y′(x0)的左右领域变号

设函数f(x)在x=x0处连续，在点x0的某去心邻域U∘(x0,δ)内可导

(1) 若x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)<0，x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)>0，则x=x0是f(x)的极小值点

(2) 若x∈(x0−δ,x0)时，f′(x)>0，x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)<0，则x=x0是f(x)的极大值点

(3) 若在(x0−δ,x0)和(x0,x0+δ)上，f′(x)都>0（或者f′(x)都<0），则x=x0不是f(x)的极值点

极值的第二充分条件 ​

（本质是f(x)泰勒展开）（用x2和−x2来记忆）

设函数f(x)在x=x0处二阶可导，且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，则x=x0是f(x)的极值点

当f″(x0)>0，极小值点；当f″(x0)<0，极大值点

极值的第三充分条件 ​

（本质是f(x)泰勒展开）（不记）

设函数f(x)在x=x0处n(n⩾2)阶可导，且f′(x0)=f″(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0

若n是偶数，则x=x0是f(x)的极值点（当f(n)(x0)>0，极小值点；当f(n)(x0)<0，极大值点）

若n是奇数，则x=x0不是f(x)的极值点

注：第二充分条件是第三充分条件的特殊情况

驻点 ​

一阶导为0（平稳点）

拐点 ​

拐点的定义（拐点指的是横纵坐标） ​

连续曲线y=f(x)上凹、凸弧的分界点称为该曲线的拐点

凹凸函数性质 ​

函数f(x)在区间I上二阶可导，则有

f(x)在I上为凹函数⇔f″(x)在I上⩾0⇔f′(x)在I上递增

f(x)在I上为凸函数⇔f″(x)在I上⩽0⇔f′(x)在I上递减

曲线取拐点的必要条件 ​

若点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，且f″(x0)存在，则f″(x0)=0

拐点的第一充分条件（两侧二阶导是否异号） ​

设函数f(x)在x=x0处连续，在点x0的某去心邻域U∘(x0,δ)内二阶可导

(1)若f″(x)在x=x0的左右两侧异号，则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点

(2)若f″(x)在x=x0的左右两侧同号，则点(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点

拐点的第二充分条件 ​

（本质是f″(x)泰勒展开）（不记）

设函数f(x)在x=x0处三阶可导，且f″(x0)=0，f‴(x0)≠0，则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点

拐点的第三充分条件 ​

（本质是f″(x)泰勒展开）（不记）

设函数f(x)在x=x0处n(n⩾3)阶可导，且f″(x0)=⋯=f(n−1)(x0)=0，f(n)(x0)≠0

若n是奇数，则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点

若n是偶数，则点(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点

注：第二充分条件是第三充分条件的特殊情形

根据多项式画图（判断正负） ​

【口诀】奇穿偶不穿
f(x)=a(x−2)(x−3)2(x−4)3

值域区间 ​

【草图法求值域区间】

（1）求单调区间和极值
（2）求端点函数值（极限值）
（3）画图

【例题】设f(x)=x(1+x2)3/2,x∈[0,+∞),则f(x)的值域区间是

（1）找极值点

f(x)=x(1+x2)3/2
lnf(x)=lnx−32ln(1+x2)
f′(x)f(x)=1x−322x1+x2
f′(x)=(1−3x21+x2×1(1+x2)32

==> (0,22,f′(x)>0,f(x)单调递增
==> (22,∞),f′(x)<0,f(x)单调递减

f(22)=239

（2）找区间端点

f(0)=0,limx→+∞x(1+x2)32=0

（3）画图确认

==> f(x)∈[0,239

渐近线 ​

渐近线的求法：
给出曲线 y=f(x)

竖直渐近线：确定 f(x) 的无穷间断点

水平或斜渐近线：计算 a=limx→∞f(x)x, b=limx→∞[f(x)−ax]，则 y=ax+b 就是水平或斜渐近线

水平和斜渐近线的特殊求法：若 f(x) 可表为 ax+b+α（其中 α 表示当 x 趋于 ∞ 时的无穷小），则 y=ax+b 为其水平或斜渐近线，如何表示呢？我们通常对 f(x) 利用泰勒展开

（1）水平渐近线
limx→∞f(x)=b，若b存在，则说明f(x)有水平渐近线

解得水平渐近线为：y=b

（2）斜渐近线
limx→∞f(x)=∞，则说明f(x)有斜渐近线
limx→∞f(x)x=k，得到斜率为k
limx→∞f(x)−kx=b，得到截距为b

解得斜渐近线为：y=kx+b

（3）垂直渐近线
x→无定义点

limx→无定义点f(x)=∞，则说明f(x)有垂直渐近线

解得垂直渐近线为：x=无定义点

【例题】设 f(x) 在[0,+∞) 连续，且 f(x)=a+g(x),其中a≠0 为常数，limx→+∞g(x)=0又∫0+∞g(t)dt=b,则x→+∞时y=F(x)⇒记∫0xf(t)dt 有渐近线_______.

limx→+∞∫0xf(t)dt=limx→+∞∫0xa+g(t)dt=ax+b=∞

limx→+∞F(x)x=limx→+∞a+g(x)=a

limx→+∞F(x)−ax=ax+b−ax=b

x→+∞侧有斜渐近线：f(x)=ax+b

中值定理 ​

单中值问题 ​

还原法例题 ​

【例1.1】设f(x)在(−2,2)内可导，证明：存在ξ∈(−2,2)，使得ξ(1−ξ)f′(ξ)+1−2ξ=0

构造函数过程：
f′(ξ)+1ξ−11−ξ=0 ==> f(x)+1x−11−ξ=0
⇒还原法（两边同时积分f(x)+lnx+ln(1−x)=C
尝试后发现找不到零点，考虑取指数：ef(x)⋅x(1−x)=±eC
得到构造函数：G(x)=ef(x)⋅x(1−x)

答题过程：
令G(x)=ef(x)⋅x(1−x) ，有：G(0)=0,G(1)=0
由罗尔定理，∃ξ∈(0,1),s.t.G′(ξ)=0
==> (ef(x)+lnx+ln(1−x))′=0
==> f′(ξ)+1ξ−11−ξ=0
==> ξ(1−ξ)f′(ξ)+1−2ξ=0

【例1.2】设f(x)在[0,12]上二阶可导，f(0)=f′(0)，f(12)=0，证明：存在ξ∈(0,12)，使得f″(ξ)=3f′(ξ)1−2ξ

构造函数过程：
(1−2ξ)f″(ξ)=3f′(ξ) ==> (1−2x)f″(x)=3f′(x)
⇒注意到[(1−2x)f′(x)]′=f′(x)
⇒还原法（两边同时积分(1−2x)f′(x)=f(x)+C
得到构造函数：G(x)=(1−2x)f′(x)−f(x)

答题过程：
令G(x)=(1−2x)f′(x)−f(x)，有G(0)=G(12)=0
==>G′(ξ)=0 ==> f″(ξ)=3f′(ξ)1−2ξ

【例1.3】设函数f(x)在[0,1]上具有连续导数，且f(0)=0，证明：
(1) 存在ξ∈(0,1)，使得2ξ∫01f(x)dx−f(ξ)=0
(2) 存在η∈(0,ξ)，使得f′(η)=2∫01f(x)dx

构造函数过程：
F(x)=∫0xf(t)dt ==> 2xF(1)−F′(x)=0 ==> x2⋅F(1)−F(x)=C
得到构造函数：G(x)=x2F(1)−F(x)

答题过程：
令G(x)=x2F(1)−F(x)，有G(0)=F(0)=0,G(1)=F(1)−F(1)=0
∃ξ∈(0,1),s.t.G′(ξ)=0
==> 2ξ∫01f(x)dx−f′(ξ)=0

构造函数过程：
F″(x)=2F(1) ==> F′(x)=2xF(1)+C
得到构造过程：G(x)=F′(x)−2xF(1)

答题过程：
G(x)=F′(x)−2xF(1)，有：G(0)=0,G(ξ)=0
==> f′(ξ)=2∫01f(x)dx

【例1.4】设函数f(x)在[0,1]上有连续，在(0,1)内可导，且∫01e−f(x)arctan⁡xdx=1,f(1)=ln⁡π4
证明：存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1(1+ξ2)arctan⁡ξ

构造函数：
f′(x)=1(1+x2)⋅arctanx
==> f(x)=lnarctanx+C
⇒没有零点，取指数再构造函数e−f(x)⋅arctanx=±eC

答题过程：
G(x)=e−f(x)⋅arctanx
(1−0)e−f(ξ1)arctan⁡ξ1=∫01e−f(x)arctan⁡xdx=1 ==> G(ξ1)=1
G(1)=4π⋅π4=1
==> G′(ξ)=0 ==> f′(ξ)=1(1+ξ2)arctan⁡ξ

【例1.5】设f(x)，g(x)在[a,b]上有二阶导数且g(x)，g″(x)≠0，又f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0
证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)g(ξ)=f″(ξ)g″(ξ)

构造函数：
f(ξ)g(ξ)=f″(ξ)g″(ξ) ==> f(x)⋅g″(x)−g(x)⋅f″(x)=0
注意到：G(x)=f(x)⋅g′(x)−f′(x)⋅g(x)
G(a)=f(a)⋅g′(a)−f′(a)⋅g(a)=0,G(b)=f(b)⋅g′(b)−f′(b)⋅g(b)=0
==> G′(ξ)=0 ==> f(ξ)g(ξ)=f″(ξ)g″(ξ)

【例1.6】设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g′(x)<0
证明：存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)g′(ξ)+∫aξf(t)dt∫ξbg(t)dt=0

令F(x)=∫axf(t)dt,G(x)=∫bxg(t)dt ==> F″(x)⋅G(x)−G″(x)⋅F(x)=0

【例1.7】设f(x)在[0,1]上有二阶导数且f(0)=f′(0)=0，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f″(ξ)=2f(ξ)(1−ξ)2

f″(ξ)=2f(ξ)(1−ξ)2 ==> f″(x)f(x)=2(1−x)2

令g(x)=(1−x)2,g′(x)=−2(1−x),g″(x)=2 ==> f″(x)f(x)=g″(x)g(x)

微分方程法例题 ​

【例1.8】设f(x)在[0,π]上连续，在(0,π)内可导，f(0)=f(π2)=−12
证明：存在ξ∈(0,π),使得f′(ξ)−f(ξ)=sin⁡ξ

f′(x)−f(x)=sinx ==> C=f(x)e−x+12(sinx+cosx)e−x
==> G(x)=[f(x)+12(sinx+cosx)]e−x

G(0)=0,G(π2=0

【例1.9】奇函数f(x)在区间[-1,1]上具有二阶导数，且f(1)=1,证明：
(1) 存在ξ∈(0,1),使得f′(ξ)=1
(2) 存在η∈(−1,1),使得f′′(η)+f′(η)=1

⇒还原法f(x)=x+C ==> F(x)=f(x)−x，有：F(0)=0,F(1)=0

f″(x)+f′(x)=1 ==> {f″(x)+f′(x)=1R′(x)+R(x)=1 ==> R(x)=1 ==> G(x)=[f′(x)−1]ex

【例1.10】设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且f(0)=0,f(1)=1
求证：存在ξ∈(0,1),使得ξf′′(ξ)+(1+ξ)f′(ξ)=1+ξ

xf″(x)+(1+x)f′(x)=1+x ==> {F′(x)+F(x)=1+xR′(x)+R(x)=1+x ==> G(x)=[xf′(x)−x]ex

【例1.11】设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)=a2，且∫abf(x)dx=13(a3−b3)，证明 ：
1）存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=ξ2
2）在(a,b)内存在与（1）中相异的点η，使得f′(η)+f(η)=η2+2η

(1)
F(x)=∫axf(x)−13x3

(2)
G(x)=[f(x)−2x]ex

【例1.12】设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(12)=1，证明
1)存在ξ∈(12,1)，使得f(ξ)=ξ
2)存在η∈(0,ξ)，使得f′(η)=f(η)−η+1

(1)
F(x)=f(x)−x ==> F(12=12,F(1)=−1

(2)
f′(x)−f(x)=−x+1 ==> {f′(x)−f(x)=−x+1R′(x)−R(x)=−x+1 ==> G(x)=[f(x)−x]e−x

设函数f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数，且f′(0)=f′(1)=0
证明：存在ξ∈(0,1),使得f″(ξ)+[f(ξ)f′(ξ)]2=0

f(x)=y,f′(x)=p,f″(x)=pdpdy ==> p′+y2p=0 ==> G(x)=f′(x)⋅ef3(x)3

中值定理关于theta的问题 ​

中值定理中关于θ的问题

问题出现：ξ∈(a,b),ξ=a+θ(b−a),θ∈(0,1)

（1）积分中值定理
∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
∫abf(x)dx=f[a+θ(b−a)](b−a),θ∈[0,1]

（2）Lagrange中值定理
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),ξ∈(a,b)
f(b)−f(a)=f′[a+(a−b)θ](b−a),θ∈(0,1)

（3）Taylor中值定理（Lagrange型余项）
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)[x0+θ(x−x0)](n+1)!(x−x0)n+1,θ∈(0,1)

【原则】能解出来就解出来，解不出来就用中值定理

【例题1（能解出来的）】∫0xetdt=xeθx，求limx→0θ

∫0xetdt=xeθx ==> θ=1xln∫0xetdtx

limx→0θ=limx→01xln∫0xetdtx
⇒等价limx→0∫0xetdtx−1x
⇒同乘x,洛必达limx→0ex−12x=12

【例题2（解不出来）】设f(x)二阶导连续可导，且f″(x)≠0, 又f(x+h)=f(x)+f′(x+θh)⋅h,θ∈(0,1)，则limh→0θ=________.

f(x+h)=f(x)+f′(x+θh)⋅h

f(x+h)在x处展开：f(x+h)=f(x)+f′(x)⋅h+f″(x)2!⋅h2+o(h2)

==> f′(x+θh)⋅h=f′(x)⋅h+f″(x)2!⋅h2+o(h2)
f′(x+θh)−f′(x)=f″(x)2!⋅h+o(h)
f′(x+θh)−f′(x)h=f″(x)2!
limh→0θf′(x+θh)−f′(x)θh=f″(x)2!
f″(x)limh→0θ=12f″(x)
limh→0θ=12

【例题3】设y=f(x)在(−1,1)内二阶连续可导且f″(x)≠0
证明：
（1）对于(−1,1)内的任意x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0,1)，使得f(x)=f(0)+xf′[xθ(x)]成立
（2）limx→0θ(x)=12

（1）
不妨设x>0
f(x)在[0,x]⊂上连续,(0,x)⊂(−1,1)内可导
∃θ∈(0,1),s.t.f(x)−f(0)=f′[0+xθ(x)]⋅x=xf′[xθ(x)]

（再证唯一）（反证法）
假设θ(x)不唯一，即至少存在2个θ1(x)≠θ2(x)

f(x)=f(0)+xf′[xθ1(x)]
f(x)=f(0)+xf′[xθ2(x)]

==> f′[xθ1(x)]=f′[xθ2(x)]

又因为f″(x)≠0,f′(x)严格单调，矛盾

综上所述，对于(−1,1)内的任意x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0,1)，使得f(x)=f(0)+xf′[xθ(x)]成立

（2）
f(x)=f(0)+f′(0)⋅x+f″(0)2⋅x2+o(x2)

⇒同例题2理limx→0f′[xθ(x)]−f′(0)x=f″(0)/2

limx→0θ(x)=12

重要定理 ​

(介值性) 若函数f 在闭区间[a,b]上连续，m 与M 为闭区间上f 的最小值 和最大值，则对于∀μ∈[m,M],至少存在一点x0∈[a,b]使得f(x0)=μ.

(零点存在定理) 若函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，至 少存在一点x0∈[a,b] 使得 f(x0)=0 .

(平均值定理) 若函数f 在闭区间[a,b]上连续，对于∀x1,x2...xn∈[a,b]至少存在一点x0∈[a,b],使得：

f(x0)=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)n.

(费马引理) 可导函数的极值点是驻点.

(罗尔定理) 若函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，且f(a)=f(b),则∃ξ∈(a,b) , f′(ξ)=0 .

(拉格朗日中值定理) 若函数f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，则∃ξ∈(a,b),f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a.

(柯西中值定理) 若函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，f′(x)与g′(x)不同时为零，且g(a)≠g(b),则 ∃ξ∈(a,b), f′(ξ)g′(ξ)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)

(积分中值定理) 设 f(x) 在 [a, b] 上连续, 则存在 ξ ∈ [a, b] (或 (a, b)), 使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a).

(积分第一中值定理)设f(x)与g(x)是[a,b]上的连续函数，且g(x)不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b] 使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx.

重要例题 ​

单中值的罗尔定理问题 ​

例7.1 设f(x)在[0,3]上连续，(0,3)上可导，f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.证明存在ξ∈(0,3),f′(ξ)=0.

关键步骤：
f在[0,2]上，取m,M为最小值、最大值
3m≤3≤3M ==> m≤1≤M
由介值定理，∃ξ∈[0,2],s.t.f(ξ)=1

例 7.2 设 f(x) 在 [0,3] 上连续，(0,3) 上二阶可导，2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)，证明:
(1) 存在 ξ∈(0,2)，f(0)=f(ξ)；
(2) 存在 η∈(0,3)，f″(η)=0。

关键步骤：
由积分中值定理，∃ξ∈(0,2),s.t.∫02f(x)dx=2f(ξ)

f在[2,3]上，取m,M为最小值、最大值
2m≤2f(0)≤2M ==> m≤f(0)≤M
由介值定理，∃ξ∈[0,2],s.t.f(ξ)=f(0)

例7.3 设f(x)与g(x)在[a,b]上连续，(a,b)上二阶可导，且二者在(a,b)存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：
(1) 存在ξ∈(a,b),f(ξ)=g(ξ);
(2)存在η∈(a,b),f′′(η)=g′′(η).

重要步骤：
不妨设f(x1),g(x2)为最大值且x1≤x2
当x1=x2时，f(x1)=g(x2)=max
当x1<x2时，
设F(x)=f(x)−g(x)
有F(x1)=f(x1)−g(x1)=max−g(x1)>0
F(x2)=f(x2)−g(x2)=f(x2)−max<0
∃ξ∈(x1,x2),s.t.F(ξ)=0 ==> f(ξ)=g(ξ)

F(a)=F(ξ)=F(b)=0 ==> F″(η)=0

例7.4 设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0,f′(a)f′(b)>0,证明存在ξ，η∈(a,b),f(ξ)=0,f′′(η)=0.

重要步骤：
不妨设f′(a),f′(b)>0
f′(a)=limx→a+f(x)−f(a)x−a>0∃δ>0,x∈(a,a+δ)时,f(x)x−a>0 ==> f(x)>0f′(b)=limx→b−f(x)−f(b)x−b>0∃δ>0,x∈(b−δ,b)时,f(x)x−b>0 ==> f(x)<0

由零点存在定理，∃ξ∈[ξ1,ξ2],s.t.f(ξ)=0

f(a)=f(ξ)=f(b) ==> f″(η)=0

例7.5 设f(x)在[0,+∞)可导，f(0)=0,limx→+∞f(x)=2,证明：
(1)存在a>0,f(a)=1 ;
(2)对于(1)中的a,存在ξ∈(0,a),f′(ξ)=1a.

重要步骤：
（无穷极限表达）
∀ϵ>0,∃X>0,∀x>X时,|f(x)−2|<ϵ

找f(ξ)≥1
ϵ0=12∃X0>0,x>X0时,f(x)∈(1.5,2.5)>1

f(X0+1)>1,f(0)=0
介值定理， f(a) = 1

拉中，f′(ξ)=1a

以辅助函数为核心的单中值问题 ​

1.四则运算引出的辅助函数，主要为乘除法，若设问形式明显可以拆解为 u′v+uv′ 或 u′v−uv′，则应构造为(uv) 或 (uv).

例7.6 设 f(x) 与 g(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导，f(a)=f(b)=0，g(x)≠0，证明存在 ξ∈(a,b) 使得 f(ξ)g′(ξ)=f′(ξ)g(ξ).

重要步骤：
F(x)=f(x)g(x)F′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)

F(a) = F(b) = 0
罗尔定理，F′(ξ)=0

例7.7 设函数f(x)在[1,2]上可导，证明存在ξ∈(1,2)使得f(2)−2f(1)=ξf′(ξ)−f(ξ).

重要步骤：
F(x)=f(x)xF′(x)=xf′(x)−f(x)x2

xf′(x)−f(x)=xf′(x)−f(x)x21x2=F′(x)1x2=F′(x)(−1x)′

G(x)=−1x

由柯西中值定理：

f(2)2−f(1)1−12+1=ξf′(ξ)−f(ξ)ξ21ξ2

解得：f(2)−2f(1)=ξf′(ξ)−f(ξ)

例7.8 设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(1)>0,limx→0+f(x)x<0,证明：
(1)方程f(x)=0 在(0,1)内至少存在一个实根；
(2)方程f(x)f′′(x)+[f′(x)]2=0 在(0,1)内至少存在两个不同实根

重要步骤：
（极限的保号性）
x∃>0,x∈(0,δ)时,f(x)x<0 ==> f(x)<0

零点存在定理, 有实根f(ξ)=0

F(x)=f(x)f′(x)F′(x)有两个零点 F(x)有三个相等根

F(ξ)=0limx→0+f(x)=f(0)=0 ==> F(0)=0

f(0)=f(ξ)=0,由罗尔定理，f′(η)=0

三个零点, 两次罗尔定理，F′(ξ1)=F′(ξ2)=0

2.若形式不便拆解为四则运算，考虑将其拆解为f′+fg′=0,构造的辅助函数应为F(x)=eg(x)f(x),因为此时有F′=eg(f′+fg′)=0 充要于f′+fg′=0.特别地，若中值形式为f′+f=0,辅助函数为exf(x).

例7.9 设奇函数f(x)在[-1,1]上二阶可导，f(1)=1,证明：
(1)存在ξ∈(0,1)使得f′(ξ)=1 ;
(2)存在η∈(−1,1)使得f″(η)+f′(η)=1.

重要步骤：
拉中，f′(ξ)=f(1)−f(0)1−0

F(x)=ex(f′(x)−1)F′(x)=ex(f″+f′−1)

F(ξ)=0f′(x) 偶函数,f′(−ξ)=f′(ξ)=1 ==> F(−ξ)=0

例 7.10 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导，f(a)=a，∫abf(x)dx=12(b2−a2)，证明至少存在一点 ξ∈(a,b) 使得 f′(ξ)=f(ξ)−ξ+1.

f′−f−(1−x)=0
F(x)=e−x(f(x)−x)

f(a)=a ==> F(a)=0
∫ab(f(x)−x)dx=0 ==> (b−a)(f(ξ1)−ξ1)=0 ==> F(ξ1)=0

例7.11 设f(x)在[0,1]上二阶可导且f(0)=f(1),证明至少存在一点ξ∈(0,1)使得2f′(ξ)+(ξ−1)f′′(ξ)=0.

重要步骤：
注意形式f′+fg′=0其中f′的系数为1
所以需要改写式子f″(ξ)+2ξ−1f′(ξ)=0
g′(x)=2x−1g(x)=2ln(x−1)
得到：F(x)=(x−1)2f′(x)

F(1)=0
f(0) = f(1),罗尔定理,f′(η)=0 ==> F(η)=0

罗尔定理, 2f′(ξ)+(ξ−1)f′′(ξ)=0

例 7.12 设 f(x) 在 [0,1] 上二阶可导且 f(0)=0，f(1)=1，证明至少存在一点 ξ∈(0,1) 使得 ξf″(ξ)+(1+ξ)f′(ξ)=1+ξ

重要步骤：
F1(x)=exxf′(x)F1′=ex[xf″(x)+(x+1)f′(x)]
F2(x)=ex(−x)F2′=ex(−x−1)
F(x)=F1(x)+F2(x)=exx[f′(x)−1]
F′(x)=ex[xf″(x)+(1+x)f′(x)−1−x

F(0)=0
拉中，f′(η)=f(1)−f(0)=1 ==> F(η)=0

罗尔定理，F′(ξ)=0

利用柯西中值定理的单中值问题 ​

柯西中值定理是较为冷门的考点，证明题中容易被忽略.中值定理的证明通常是在某个区间 [a,b]上进行的，若问题中出现了端点a 或b 相关的其他形式则要考虑构造柯西中值定理的形式. 柯西中值定理的难点在于形式较为隐蔽，需要找到隐藏的零点，格外留意变限积分的上下限相等，或ln1等没有在问题中给出的零点，要补充上之后形式才会明显.

例7.13 设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，0<a<b,证明存在ξ∈(a,b)使得f(b)−f(a)=ξln⁡baf′(ξ).

重要步骤：
f(b)−f(a) <==> f′(ξ)
lnb−lna <==> (lnξ)′=1ξ
观察到两组拉中形式

由柯西中值定理，f′(ξ)1ξ=f(b)−f(a)lnb−lna

例7.14 已知f(x)=∫1xet2dt,证明： (1) 存在ξ∈(1,2),f(ξ)=(2−ξ)eξ2;
(2)存在η∈(1,2),f(2)=ηeη2ln⁡2 .

重要步骤：
F(x)=f(x)−(2−x)ex2
F′(x)=ex2−[(2−x)⋅2x−1]ex2=2ex2(x−1)2>0
F(1)=−e,F(2)=∫12ex2dx>0
F(ξ)=0

ln2−ln1→1η
f(2)−f(1)→f′(η)=eη2

柯西中值定理，f(2)−f(1)ln2−ln1=eη21η

双中值的组合模型 ​

（形式一致但不等的双中值问题）
如果问题中出现两个中值形式一模一样，且特意强调了二者不等，那么应该在两个不交的区间分段用拉格朗日.因为拉格朗日只能保证中值点存在，而无法确定位置，若使用的区间有重叠则无法保证二者不等.两区间的分段点通常会在第一问中给出提示，一定要积极联系前几小间.

例 7.15 设 f(x) 在 [0,1] 上连续，(0,1) 上可导，f(0)=0，f(1)=1，证明：
(1) 存在 x0∈(0,1) 使得 f(x0)=1−x0；
(2) 证明 (0,1) 上存在不相等的 ξ，η 使得 f′(ξ)f′(η)=1.

重要步骤：
F(x)=f(x)+x−1F(0)=−1F(1)=1
由零点存在定理，∃x0∈(0,1),s.t.F(x0)=0

由拉格朗日中值定理，∃ξ∈(0,x0),s.t.F(x0)−F(0)x0−0=f′(ξ)+1=1x0
由拉格朗日中值定理，∃η∈(x0,1),s.t.F(1)−F(x0)1−x0=f′(η)+1=11−x0

f′(ξ)f′(η)=1−x0x0⋅x01−x0=1

例 7.16 设 f(x) 在 [0,1] 上连续，(0,1) 上可导，f(0)=0，f(1)=1，证明：
(1) 存在 x0∈(0,1) 使得 f(x0)=2−3x0；
(2) 证明 (0,1) 上存在不相等的 ξ，η 使得 [1+f′(ξ)][1+f′(η)]=4.

重要步骤：
F(x)=f(x)−2+3xF(0)=−2F(1)=2
存在零点x0

F(x0)−F(0)x0−0=f′(ξ)+3=2x0
F(1)−F(x0)1−x0=f′(η)+3=21−x0

[1+f′(ξ)][1+f′(η)]=4

例 7.17 设 f(x) 在 [0,1] 上连续，(0,1) 上可导，f(0)=0，f(1)=13，证明存在 ξ∈(0,12)，η∈(12,1) 使得 f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2.

重要步骤：
F(x)=f(x)−13x3F(0)=0F(1)=1

F′(ξ)+F′(η)=F(12)−F(0)12−0+F(1)−F121−12=0

得证：f′(ξ)+f′(η)=ξ2+η2

例7.18 设f(x)在[0,1]上连续，(0,1)上可导，f(0)=0,f(1)=1,证明(0,1)上存在不相等的ξ,η使得1f′(ξ)+1f′(η)=2.

重要步骤：

f(0)=0,f(1)=1,∃x0∈(0,1),s.t.f(x0)=12

由拉格朗日中值定理，f′(ξ)=f(x0)−f(0)x0−0=12x0
由拉格朗日中值定理，f′(η)=f(1)−f(x0)1−x0=12(1−x0)

得证：1f′(ξ)+1f′(η)=2

（形式不一致的双中值问题）
如果问题中出现两个中值形式不一致，则必有形式的简单和复杂之分，简单中值往往通过拉格朗日中值定理得出，复杂的中值则需要构造柯西中值定理的形式.

例 7.19 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导，证明存在 ξ,η∈(a,b) 满足：
(1) 若 a>0，f′(ξ)=ηf′(η)ln⁡(ba)b−a；
(2) 若 f′≠0，f′(ξ)f′(η)=eb−eab−ae−η；
(3) 若 ab>0，abf′(ξ)=η2f′(η)；
(4) 若 f′≠0，a>0，f′(ξ)=a+b2ηf′(η)。

重要步骤：
（1） f′(ξ)=f(b)−f(a)b−aηf′(η)=f(b)−f(a)lnb−lna

（2） f′(η)eη=f(b)−f(a)eb−ea=f′(ξ)(b−a)eb−ea

（3） f′(η)1η2=f(b)−f(a)−1b+1a=(b−a)f(ξ)b−aab=abf′(ξ)

（4） f′(η)η=f(b)−f(a)12b2−12a2=(b−a)f′(ξ)12(b−a)(b+a)=2f′(ξ)a+b

例 7.20 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导，f′(x)>0，若极限 limx→a+f(2x−a)x−a 存在，证明：
(1) 在 (a,b) 内有 f(x)>0；
(2) ∃ξ∈(a,b)，使得 b2−a2∫abf(x)dx=2ξf(ξ)；
(3) ∃η∈(a,b) 且 η≠ξ 使得 f′(η)(b2−a2)=2ξξ−a∫abf(x)dx.

重要步骤：

limx→a+=0=f(a)f′(x)>0 ==> f(x)>0

柯西中值定理，b2−a2∫abf(x)dx−∫aaf(x)dx=2ξf(ξ)

化简：b2−a2∫abf(x)dx=2ξ(ξ−a)f′(η)

若上述等式成立，由（2）可知：f(ξ)=(ξ−a)f′(η)

由拉格朗日中值定理，f′(η)=f(ξ)−f(a)ξ−aη∈(a,ξ)

例7.21 设f(x)在[1,2]上连续，(1,2)上可导，且导数不为0，证明(1,2)内存在ξ , η , ζ使得f′(ζ)f′(ξ)=ξη .

最复杂的拎出来用柯西，单独的导数用拉格朗日，剩下的就是第三个中值，为固定常数

重要步骤：
化简：ξf′(ξ)=ηf′(ζ)

柯西中值定理，f′(ξ)1ξ=f(2)−f(1)ln2−ln1

拉格朗日中值定理，f(2)−f(1)ln2=f′(ζ)⋅1ln2

1<ln2<2→η=1ln2

泰勒展开 ​

泰勒公式 ​

(泰勒公式)
带皮亚诺型余项的泰勒公式：
若 f(x)在 x0处有 n 阶导数，则有：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)(x−x0)22!+...+f(n)(x0)(x−x0)nn!+o((x−x0)n)

带拉格朗日型余项的泰勒公式：
若f(x)在[a,b]上有n阶导数，在(a,b)上有n+1阶导数，则对任意的x,x0∈[a,b],至少存在一点ξ∈(a,b)使得：
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)(x−x0)22!+...+f(n)(x0)(x−x0)nn!+f(n+1)(ξ)(x−x0)n+1(n+1)!

重要例题 ​

泰勒展开证明等式/不等式问题 ​

相较于中值定理，泰勒展开的证明题并没有太多套路化的流程，难度会更大，但在考研真题中出现的泰勒展开问题还是有迹可循的.

（特殊定点展开）
考研范围内的题目，通常需要我们在某一特殊定点展开，这个特殊点按照“导数零点(极值点)一中点一端点”的顺序选取，导数零点展开为了形式简洁，中点和端点展开是为了相消方便. 在展开前可以对出现哪些项进行预判，如果出现无法处理和放缩的项，应考虑换种方式展开.展开后代入的x通常按照“函数已知点——中点一端点”进行选取，当然也会有将x视作动点的情况.

例 7.22 设f(x)在[a,b] 上二阶可导，且 f′(a)=f′(b)=0,证明 ∃ξ∈(a,b)使得|f″(ξ)|⩾4(b−a)2|f(b)−f(a)|.

看到有驻点信息，在驻点展开

重要步骤：
f(x)=f(a)+f″(ξ)(x−a)22f(x)=f(b)+f″(η)(x−b)22

令x=a+b2
f(a)+f″(ξ)(b−a)28=f(b)+f″(η)(b−a)28

|f(b)−f(a)|=(b−a)28|f″(ξ)−f″(η)|≤(b−a)28[|f″(ξ)|+|f″(η)|]≤(b−a)24max{|f″(ξ)|,f″(η)|}

例 7.23 设 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上二阶可导，|f″(x)|⩾1，f(a)=f(b)=0，证明maxa⩽x⩽b|f(x)|⩾18(b−a)2。

重要步骤：
max|f(x)|=|f(x0)|,x0∈(a,b) ==> 由费马引理， f′(x0)=0

x0处展开，f(x)=f(x0)+f″(ξ)(x−x0)22
f(x0)=−f″(ξ)(a−x0)22=−f″(η)(b−x0)22

|f(x0)|=12|f″(ξ)(a−x0)22+f″(η)(b−x0)22|≤14[(x0−a)2+(b−x0)2]≤18(b−a)2

例 7.24 设 f(x) 在 [−1,1] 上有三阶连续导数, f(−1)=0, f(1)=1, f′(0)=0, 证明 ∃ξ∈(−1,1), f‴(ξ)=3.

重要步骤：
f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2x2+f‴(ξ)x36

1=f(1)=f(0)+f″(0)2+f‴(ξ)6
0=f(−1)=f(0)+f″(0)2−f‴(η)6
解得：f‴(ξ)+f‴(η)=6

2m≤f‴(ξ)+f‴(η)≤2M
∃ξ1∈(−1,1),f‴(ξ1)=3

例 7.25 设 f(x) 在区间 [0,1] 上具有二阶导数，且 f(0)=0，f(1)=1，∫01f(x)dx=1，证明：
(1) ∃ξ∈(0,1) 使得 f′(ξ)=0;
(2) ∃η∈(0,1) 使得 f″(η)<−2.

重要步骤：
积分中值定理，∃ξ1∈(0,1),s.t.f(ξ1)=∫01f(x)dx=1

罗尔定理，f′(ξ)=0

0=f(0)=f(ξ)+f1″ξ22
1=f(1)=f(ξ)+f2″(1−ξ)22

1=2f(ξ)+12[f1″ξ2+f2″(1−ξ)2]
f1″ξ2+f2″(1−ξ)2=−2

反证：∀x∈(0,1),f″≥−2
−2≥−2[(ξ2+(1−ξ)2]
ξ2−ξ≥0 有矛盾

故∃η∈(0,1),s.t.f″(η)<−2

例 7.26 设 f(x) 二阶可导，且 f′(0)=f′(1)，|f″(x)|≤1，证明：
(1) 当 x∈(0,1) 时，有 |f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x|≤x(1−x)2；
(2) |∫01f(x)dx−f(0)+f(1)2|≤112。

重要步骤：
f(x)=f(0)+f′(0)x+f1″x22
f(x)=f(1)+f′(1)(x−1)+f2″(x−1)22

(1−x)f(x)=(1−x)f(0)+f′(0)x(1−x)+f1″x2(1−x)2
xf(x)=xf(1)+f′(1)(x−1)x+f1″(x−1)2x2

f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x=x(1−x)2[xf1″+(1−x)f2″]
|f(x)−f(0)(1−x)−f(1)x|≤x(1−x)2

|∫⋯dx|≤∫|⋯|dx≤112

（动点展开）
在定点展开中最后的问题落脚于某几个具体点的性质，若问题侧重于函数的整体性质时，如证明某阶导数的界，考虑动点展开，而代入定点.还有另一个明显的特征，是用高阶导的性质反推低阶导的性质(如导数有界推函数有界),这类问题在考研中几乎不出现，视情况掌握即可.

例 7.27 设 f(x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 ∫01f(x)dx=0，|f′(x)|⩽1，试证明对 ∀x∈(0,1) 都有 |f(x)|⩽12。

重要步骤：
判断出该题为动点展开，给出∫01f(x)dx=0需要设出原函数

重新梳理条件：
F(x)=∫0xf(t)dtF(0)=F(1)=0|F″|≤1证明：|F′|≤12

F(x0)=F(x)+F′(x)(x0−x)+F″(ξ)(x0−x)22
0=F(x)+F′(x)(−x)+F1″x22
0=F(x)+F′(x)(1−x)+F2″(1−x)22

|F′(x)|=12|F1″x2−F2″(1−x)2|≤12[x2+(1−x)2]≤12

例 7.28 设 f(x)在R 上二阶可导，|f(x)|⩽M ,|f″(x)|⩽N ,证明∀x∈R ,|f′(x)|⩽2MN.

构造中点：x展开，代入x±h

重要步骤：

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f1″h22
f(x−h)=f(x)−f′(x)h+f2″h22

|2f′(x)h|=|f(x+h)−f(x−h)+f1″h22+f2″h22|
|2f′(x)h|≤2M+h2N
|f′(x)|≤Mh+Nh2Mh+Nh2≥2MN

得证：|f′(x)|≤2MN

例 7.29 设f(x)在R 上二阶可导，|f(x)|⩽M,|f′′′(x)|⩽N,证明∀x∈R ,|f′(x)|⩽9M2N83.

重要步骤：

f(x+h)=f(x)+f′(x)h+f″(x)h22+f1‴h36
f(x−h)=f(x)−f′(x)h+f″(x)h22−f2‴h36

|2f′(x)h|=|f(x+h)−f(x−h)+h36(f2‴−f1‴)
|f′(x)|≤Mh+Nh26=M2h+M2h+Nh26

M2h+M2h+Nh26≥3M2N243

|f′(x)|≤9M2N83

辅助多项式法 ​

辅助多项式法适用于类似例 7. 25 的题型，给定某些点的函数值或其它数值， 要证明存在某点ξ使得f(n)(ξ)=k(n∈N+).相比传统的泰勒展开，辅助多项式的运算和书写更为简便，旨在找到一个n次(k=0考虑 n−1次)多项式p(x),使其满足函数所满足的一切性质，构造辅助函数F(x)=f(x)−p(x),由多项式的构造方法可知F(x)由多个零点或驻点，反复利用罗尔定理即得.掌握这样的方法会使此类题目变得简单很多.

例 7.30 设 f(x) 在 [0,2] 连续，(0,2) 上二阶可导，f(0)=0，f(1)=2，f(2)=0，证明存在 ξ∈(0,2)，f″(ξ)=−4

重要步骤：
令g(x)=ax2+bx+cg(0)=0g(1)=2g(2)=0
解得：g(x)=−2x2+4x

令F(x)=f(x)−g(x) ==> F(0)=F(1)=F(2)=0

F″(η)=0 ==> f″(η)=g″(η)=−4

例 7.31(使用辅助多项式法)设f(x)在区间[0,1]上具有二阶导数，且f(0)=0, f(1)=1 , ∫01f(x)dx=1,证明：
(1) ∃ξ∈(0,1)使得f′(ξ)=0 ;
(2) ∃η∈(0,1)使得f″(η)<−2.

重要步骤：
令g(x)=ax2+bx+cg(0)=0g(1)=1∫01g(x)dx=1

解得：g(x)=−3x2+4x

F(x)=f(x)−g(x)F(0)=F(1)=0∫01F(x)dx=0 ==> F(ξ)=0

f″=g″=−6<−2，即证

例 7.32 （使用辅助多项式法）设 f(x) 在 [−1,1] 上有三阶连续导数，f(−1)=0，f(1)=1，f′(0)=0，证明 ∃ξ∈(−1,1)，f‴(ξ)=3。

条件不够，补条件
F(−1)=F(1)=0,F′(0)=0推不出三阶导
补条件：F(0)=0→两次罗尔F1′=F2′=0
F1′=F2′=F′(0)=0 ==> F1″=F2″=0 ==> F‴=0

重要步骤：
令g(x)=ax3+bx2+cx+d
g(−1)=0,g(1)=1,g′(0)=0,g(0)=f(0)
解得：g(x)=12x3+(12−f(0))x2+f(0)

F‴=f‴−g‴=0f‴=g‴=3

例 7.33 设 f(x) 在区间 [0,1] 上二阶可导，f(0)=f(1)=0 且有 max0⩽x⩽1f(x)=2，证 明 min0⩽x⩽1f″(x)⩽−16.

重要步骤：
令g(x)=ax2+bx+cg(0)=g(1)=0g(x0)=2
g(x)=2x02−x0(x2−x)

f″=g″=4x02−x0
x0(x0−1)≥−14 ==> f″≤−16

例 7.34 设f(x)在[0,1]具有连续导数，∫01f(x)dx=52,∫01xf(x)dx=32,证明∃ξ∈(0,1)使得f′(ξ)=3 .

重要步骤：
令g(x)=3x+1
F(x)=f(x)−(3x+1)

得到两个条件：∫01F(x)dx=∫01xF(x)dx=0 ==> F′(ξ1)=F′(ξ2)=0
但是，ξ1,ξ2是否重合？不能确定

这时候应该需要去找原函数
G(x)=∫0xF(t)dtG(0)=G(1)=0
∫01xF(x)dx=∫01xdG(x)=xG(x)|01−∫01G(x)dx=0 ==> ∫01G(x)dx=0 ==> ∃ξ∈(0,1),G(ξ)=0

G(0)=G(ξ)=G(1)=0⇒两次罗尔G′(ξ1)=G′(ξ2)=0⇒罗尔G″(ξ3)=0
f′=g′=3

例 7.35 设 f(x) 在闭区间 [1,3] 上三阶可导且 ∫12f(x)dx=∫12f(x+1)dx, f′(2)=0, 证明: ∃ξ∈(1,3) 使得 f‴(ξ)=0.

重要步骤：
三阶导等于0,构造二次多项式
g(x)=a(x−2)2+b
F(x)=f(x)−g(x)
三阶导需要三个一阶导 ==> 补充条件：F(2)=0
g(x)满足：∫12g(x)dx=∫12f(x)dx,g′(2)=0,g(2)=f(2)
解得：a=3[∫12f(x)dx+f(2)],b=f(2)

F(x)=f(x)−3[∫12f(x)dx+f(2)](x−2)2−f(2)
∫12F(x)dx=∫23F(x)dx=0,F′(2)=0,F(2)=0
积分中值定理，∃ξ1∈(1,2),ξ2∈(2,3),s.t.F(ξ1)=F(ξ2)=0

F(ξ1)=F(2)=F(ξ2)=0⇒两次罗尔F′(η1)=F′(η2)=0+F′(2)=0⇒两次罗尔F″(ζ1)=F″(ζ2)=0⇒罗尔F‴(ξ)=0

常数 K 值法 ​

常数 K 值法用于解决一些需要多次泰勒或放缩的问题，其使用条件是最后的问题可化为 f(n)(ξ)=Φ(a,b)，即一侧为中值（高阶）导，另一侧为只含有区间端点 a 和 b 的函数，我们将 Φ(a,b) 记作常数 K，构造辅助函数时将 Φ(a,b)−K=0 中的 b 动起来设为自变量，且在两端同乘来消掉各项分母，这样做的目的与辅助多项式类似，人为构造更多的零点。通过研究辅助函数在区间端点处的函数值与各阶导数来多次利用罗尔定理即可证明。

尽管证明拉格朗日中值定理很容易且方法众多，但我们可利用该定理作为例子演示 K 值法，要证 f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a，记 K=f(b)−f(a)b−a，b 动起来变为 x，辅助函数即为 F(x)=f(x)−f(a)−K(x−a)，显然 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知 F′(ξ)=0，代入即得 f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a。

例7.36 设f(x)在[a,b]上二阶可导，证明存在ξ∈(a,b)使得f(a)−2f(a+b2)+f(b)=(b−a)24f″(ξ).

重要步骤：
f″(ξ)=4(b−a)2[f(a)−2f(a+b2)+f(b)]
K=4(b−a)2[f(a)−2f(a+b2)+f(b)]
F(x)=4f(a)−8f(a+x2)+4f(x)−K(x−a)2

有F(a)=F(b)=0⇒罗尔F′(ξ1)=0
F′(x)=−4f′(a+x2)+4f′(x)−2K(x−a)

有F′(a)=0+F′(ξ1)=0⇒罗尔F″(ξ2)=0
F″(x)=−2f″(a+x2)+4f″(x)−2K
找不到零点，并且代入F″(ξ2)=0得不到结果(f″(ξ)=K)

往回看，一阶导F′(ξ1)=−4f′(a+ξ12)+4f′(ξ1)−2K(ξ1−a)=0
K=f′(ξ1)−f′(a+ξ12)ξ1−a2⇒拉中K=f″(ξ)，得证！

例 7.37 设 f(x) 在 [a,b] 上三阶可导, 证明存在 ξ∈(a,b) 使得f(b)=f(a)+12(b−a)[f′(a)+f′(b)]−112(b−a)3f‴(ξ)

重要步骤：
F(x)=12f(a)−12f(x)+6(x−a)[f′(a)+f′(x)]−(x−a)3K
F(a)=F(b)=0⇒罗尔F′(ξ1)=0

F′(x)=−12f′(x)+6[f′(a)+f′(x)]+6(x−a)f″(x)−3(x−a)2K
F′(a)=F′(ξ1)=0⇒罗尔F″(ξ2)=0

F″(x)=6(x−a)f‴(x)−6(x−a)K
已经f三阶导，并且找不到零点，开始代入，找结果(K=f‴(ξ)
F″(ξ2)=6(ξ2−a)f‴(ξ2)−6(ξ2−a)K=0⇒K=f‴(ξ2)，得证！

例 7.38 设f(x)在[-a,a](a>0)上有二阶连续导数，证明[−a,a]上存在一点ξ使得∫0af(x)dx=a2[3f(0)−f(−a)]+512f′′(ξ)a3.

重要步骤：
F(x)=12∫0xf(t)dt−6x[3f(0)−f(−x)]−5x3K
F(0)=F(a)=0⇒罗尔=F′(ξ1)=0

F′(x)=12f(x)−18f(0)+6f(−x)−6xf′(−x)−15x2K
F′(0)=F′(ξ1)=0⇒罗尔F″(ξ2)=0

F″(x)=12f′(x)−6f′(−x)−6f′(−x)+6xf″(−x)−30xK
找不到零点，且f达到了二阶导，所以开始代入找结果(K=f″(ξ)
F″(ξ2)=12[f′(ξ2)−f′(−ξ2)]+6ξ2f″(−ξ2)−30ξ2K=0
化简得：K=4f″(ξ3)+f″(−ξ2)5

5m≤4f″(ξ3)+f″(−ξ2)≤5M⇒m≤4f″(ξ3)+f″(−ξ2)5≤M
∃ξ介于ξ3与−ξ2之间,s.t.f″(ξ)=4f″(ξ3)+f″(−ξ2)5

得证：K=f″(ξ)

总结 ​

中值定理和泰勒展开是考研数学最难的知识点，题目难度上限极高，想全部掌握性价比是非常低的，故在考研范围内我们仅需掌握中值定理的证明套路与定点展开的泰勒公式即可.一些补充方法如辅助多项式、K 值法等等视情况掌握，对于这部分内容，最好的学习资源并非视频，而是知网，在知网中搜索关键词或主题如“辅助多项式” “常数 K 值法”“反解微分方程法”等等，即会出现大量高校从事基础课教学的同志发表的文章(搜索如下图例).如武忠祥老师于 1998 年发表了《一类微分学问题的新方法》,阐述了如何应用辅助多项式解决问题.这些文章通常会总结方法流程并附带例题，其中原理部分不必深究，阅读这些文献有助于博采众长，从一手资料中学习补充方法，本讲义及例题仅为前人方法拙劣的转述而已.同时希望大家在学习过程中发掘新的方法，并不吝与大家分享.

二元函数 ​

极限存在、连续性、可导性、可微性 ​

f(x,y)在(x0,y0)处
① 极限存在： limx→x0y→y0f(x,y)存在

② 连续性： limx→x0y→y0f(x,y)=f(x0,y0)

③ 可导性： fx′(x0,y0)=limx→x0f(x,y0)−f(x0,y0)x−x0存在

fy′(x0,y0)=limy→y0f(x0,y)−f(x0,y0)y−y0存在

（先代后导）求x的偏导可以先将y0代入，看x→x0的极限存不存在（化为一元极限）

④ 可微性：

（1） △z=f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ)
ρ=(△x)2+(△y)2

（2） △z=f(x,y)−f(x0,y0)=A(x−x0)+B(y−y0)+o(ρ)
ρ=(x−x0)2+(y−y0)2

（3）

lim△x→0△y→0[f(x0+△x,y0+△y)−f(x0,y0)]−[A△x+B△y](△x)2+(△y)2=0

（4）

limx→x0y→y0[f(x,y)−f(x0,y0)]−[A(x−x0)+B(y−y0)](x−x0)2+(y−y0)2=0

结论1：

设f(x,y)={xαyβx2+y2, x2+y2≠00, x2+y2=0

（1） f(x,y) 在点 (0,0) 处连续 ⇔α+β>2

（2）f(x,y) 在点 (0,0) 处可微 ⇔α+β>3

结论2：若f(x,y)在点(x0,y0)处连续，且

limx→x0y→y0f(x,y)−Ax−By−C(x−x0)2+(y−y0)2=0

（1）f(x0,y0)=Ax0+By0+C
（2）fx′(x0,y0)=Afy′(x0,y0)=B
（3）f(x,y)在(x0,y0)可微，且df|(x0,y0)=Adx+Bdy
（4）曲面z=f(x,y)在点(x0,y0)处的切平面为z=Ax+By+C

总结：
alt text 注：连续可偏导指的是偏导数连续

偏导数 ​

偏导数连续判断条件 ​

limx→0y→0fx′(x,y)=fx′(0,0)且limx→0y→0fy′(x,y)=fy′(0,0)

例：
f(x,y)={xyx2+y2, x2+y2≠00, x2+y2=0

fx′(x,y)={y3(x2+y2)32, x2+y2≠00, x2+y2=0

limx→0y→0y3(x2+y2)32=limr→0+r3sin3⁡θr3不存在

二阶偏导定义 ​

fxy″(0,0)⇒[fx′(x,y)]y′|(0,0)limy→0fx′(0,y)−fx′(0,0)y−0
fyx″(0,0)⇒[fy′(x,y)]x′|(0,0)limx→0fy′(x,0)−fy′(0,0)y−0

（先代后导）求fyx″(0,0)
fyx″(0,0)⇒求fy′(0,0)⇒代入y=0fy′(x,0)⇒对x求导fyx″(x,0)⇒代入x=0fyx″(0,0)

二阶混合偏导数结论 ​

二阶混合偏导数fxy″(x0,y0),fyx″(x0,y0)连续必相等，不连续就不一定相等

反例：

f(x,y)={xyx2−y2x2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)

fxy″(0,0)=limy→0fx′(0,y)−fx′(0,0)y−0
fx′(0,y)=limΔx→0f(Δx,y)−f(0,y)Δx=limΔx→0ΔxyΔx2−y2Δx2+y2Δx=−y
fxy″(0,0)=limy→0−y−0y−0=−1

fy′(x,0)=limΔy→0f(x,Δ)−f(x,0)Δy=x
fyx″(x,0)=1⇒fyx″(0,0)=1

fxy″(0,0)≠fyx″(0,0)

全微分 ​

定义：df(x,y)=fx′(x,y)dx+fy′(x,y)dy

例题

二重极限计算 ​

1.直接代入计算

limx→0y→0ex+sin⁡x1+x+y=e0+sin⁡01+0+0=1

2.等价代换(如：sin⁡x→x→0x)

limx→0y→0sin(x+y)x+y=x+yx+y=1limx→0y→0tan(x+y)⋅sin1x+y=(x+y)⋅sin1x+y=0limx→0y→0xy−sinxyln(1+2x3y3)=limx→0y→016x3y32x3y3=112

3.化简：拆项、提项、同乘、同除
但洛必达不可用（二元不可洛必达）

4.夹逼定理（加绝对值后放缩）

（1）limx→0y→0x2yx2+y2

0≤|x2yx2+y2|=x2x2+y2|y|≤|y|=0

limx→0y→0|x2yx2+y2|=0 <==> limx→0y→0x2yx2+y2=0

（2）

limx→0y→01+x2y2−1x2+y2=limx→0y→012x2y2x2y20≤12x2y2x2y2≤x2x2y212y2≤12y2=0limx→0y→01+x2y2−1x2+y2=0

5.换元（普通换元/极坐标换元）

6.用结论
（1）
alt text

（2）极坐标
令{x=r⋅cos⁡θy=r⋅sin⁡θ ==> limr→0+⋯

① 若结果与θ有关，则不存在
② 若结果分母有θ，换方法

极值点与驻点 ​

驻点定义：fx′(x0,y0)=fy′(x0,y0)=0

结论：
1.极值点不一定是驻点，驻点不一定是极值点
反例1：f(x,y)=|x|+|y|
反例2：f(x,y)=x3+y3

2.偏导数存在的极值点一定是驻点

二元函数相除极值点判断结论 ​

给出 lim(x,y)→(0,0)f(x,y)−f(0,0)h(x,y)=A(A≠0) 且 h(0,0)=0，判断点(0,0)是否是f(x,y)的极值点

当A>0时，若点(0,0)是h(x,y)的极小(大)值点，点(0,0)是f(x,y)的极小(大)值点

当A<0时，若点(0,0)是h(x,y)的极小(大)值点，点(0,0)是f(x,y)的极大(小)值点

若点(0,0)不是h(x,y)的极值点，则点(0,0)也不是f(x,y)的极值点

闭区域最值 ​

方法：边界+内部，分别求，再比较

求fx′(x,y),fy′(x,y)找偏导为0以及不存在的点，求出函数值

边界（条件极值/条件最值成边界最值）
（1）Lagrange乘数法
（2）将条件代入目标函数（降维）
（3）极坐标（条件与圆或椭圆有关）
（4）不等式（柯西、均值）（一边是常数）

注：
（1）内部的可疑点，若不在内部，删点
（2）若内部没有可疑点，则在边界上的最值，即为所求最值
（3）若可疑点只有一个，随便找一个点作比较
（4）用Lagrange乘数法时，若目标函数不好求导，应等价转化
例如：例 |◻|⇒◻2, ◻⇒◻, e◻⇒◻
（5）边界曲线不封闭，讨论端点
（6）均值不等式
算术平均值：a+b2
几何平均值：ab
平方平均值：a2+b22 （最大）
a2+b22≥a+b2≥ab(″=″当且仅当a=b成立)
a2+b22≥a+b2a,b无需求
a+b2≥aba,b大于0
（7）柯西不等式（离散型）
乘积和的平方 ≤ 平方和的乘积
(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)(″=″当且仅当(a,b)与(x,y)线性相关时成立)

参考这道例题

柯西不等式解边界上的最值 ​

例1：求|2x+3y| 在条件x2+4y2=4下的最值
(2x+3y)2=(2x+32⋅2y)2≤[22+(32)2]⋅(x2+4y2)
当x2+4y2=4时，(2x+3y)2≤4⋅[22+(32)2]=25⇒−5≤2x+3y≤5

例2：求x+y在条件x2+y2=1时的最大值和最小值
(x+y)2≤2(x2+y2)
当x2+y2=1时,(x+y)2≤2⇒−2≤x+y≤2

结论：条件和目标函数：一个是乘积和，一个是平方和，则考虑使用柯西不等式

一元积分 ​

初等函数 ​

初等函数是由基本初等函数（反对幂三指）进行有限次的加减乘除复合，并且能用一个解析式表达的函数（分段函数不是初等函数）

原函数 ​

1.原函数定义
① ∫f(x)dx=∫axf(t)dt+C ==> f(x)的全体原函数
② ∫axf(t)dt ==> f(x)的一个原函数

2.原函数存在定理（原函数存在指的是不定积分∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C）
① 区间I上连续函数必有原函数, 并且原函数为 ∫axf(t)dt+C
② 函数在区间I上有第一类或无穷间断点时, 必不存在原函数
③ 函数有震荡间断点时, 不一定存在原函数
f(x)={2xsin⁡1x−cos⁡1xx≠00x=0F(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0
f(x)不连续且有震荡间断点

3.关于 f(x) 在 (a,b) 上有原函数 F(x)，要注意以下几点：在 (a,b) 上
(1) f(x) 不一定连续；
(2) f(x) 不一定是初等函数；
(3) F(x) 不一定是初等函数；
(4) 由原函数定义，F′(x)=f(x)，因而 F(x) 连续.

导函数的奇偶性与周期性 ​

可导的奇函数的导函数为偶函数
可导的偶函数的导函数为奇函数
可导的周期函数的导函数仍然是周期函数且周期不变

求导会改变奇偶性
求导周期不变

原函数的奇偶性与周期性 ​

1.连续的奇函数的所有原函数均为偶函数
2.连续的偶函数只有一个原函数为奇函数（C = 0）
3.连续的周期函数的所有原函数均为周期函数 <==> ∫0Tf(x)dx=0

连续的周期奇函数的所有原函数均为周期函数

【奇偶性口诀】奇导偶，偶导奇，奇原偶，偶原非奇

【例题】判断g(x)=∫0sin⁡xet2dt的奇偶性

g(−x)=∫0sin⁡(−x)et2dt=∫0−sin⁡xet2dt⇒t=−udt=−du−∫0sin⁡xeu2du=−g(x)

函数可积（仅黎曼可积） ​

1.可积定理（定积分 ∫abf(x)dx 存在）

① 充分条件
(1)设f(x) 在区间[a,b] 上连续，则f(x) 在[a,b] 上可积。
(2)设f(x) 在区间[a,b] 上有界，且只有有限个间断点，则f(x) 在[a,b] 上可积。
(3)设f(x) 在区间[a,b] 上单调有界，则f(x) 在[a,b] 上可积。

② 必要条件
定理：若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必有界。
该定理指出，任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积，如狄利克雷函数在[0,1] 上有界 但是不可积。

2.口诀
（1）可导必连续，连续必可积，可积必有界
（2）无界必不可积，有无限个间断点必不可积
（3）有界不一定可积

3.设F(t)=∫axf(t)dt
① f(x)在[a,b]上可积，则F(x)在[a,b]上连续
② f(x)在[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上可导，且F′(x)=f(x)
③ 若x=x0为f(x)的可去间断点，则F(x)在x=x0处可导，且F′(x0)≠f(x0)F′(x0)=limx→x0f(x)
④ 若x=x0为f(x)的跳跃间断点，则F(x)在x=x0处不可导

4.连续、可积、原函数存在关系
虚线表示推导不出

5.绝对值讨论
(1)|f(x)|在[a,b]可积，f(x)在[a,b]不一定可积 （反例：f(x)={1,x 为有理数−1,x 为无理数）
(2)f(x)在[a,b]可积，|f(x)|在[a,b]一定可积

可积运算 ​

因为可积说明limn→∞∑i=1nf(ξ)⋅Δxi存在，所以与极限运算一样

1.可积 ± 可积 = 可积
2.可积 ± 不可积 = 不可积
3.不可积 ± 不可积 = 不一定

1.可积 × 可积 = 可积
2.可积 × 不可积 = 不一定
3.不可积 × 不可积 = 不一定

定积分两个公式 ​

区间再现公式 ​

∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx=12∫ab[f(x)+f(a+b−x)]dx+
应用1 ​

当 f(x)=g(x)g(x)+g(a+b−x) 时，∫abg(x)g(x)+g(a+b−x)dx=12(b−a)
出题人就是根据这个结论来出题的，把 g(x) 随便取个函数就是一道题了

【例题1】
∫24ln⁡xln⁡(6−x)+ln⁡xdx=1

【例题2】
∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx=π4

【例题3】
∫02e3−xe1+x+e3−xdx=1

应用2 ​

11+x+11+1x=1(x≠0)

把x取成tanλ⁡x得11+tanλ⁡x+11+cotλ⁡x=1

⇒出题∫0π211+tanλ⁡x dx

把x取成ax得11+ax+11+a−x=1

⇒出题∫−cc11+axdx
⇒出题∫−cc11+ax⋅f(x)dx(f(x)为偶函数)
=∫−ccf(x)dx

arcsin⁡x+arcsin⁡1−x2=π2(0<x<1)

把x取成x得arcsin⁡x+arcsin⁡1−x=π2

⇒出题∫01arcsin⁡xdx

arctan⁡x+arctan⁡1x=π2(0<x)

把x取成ax得arctan⁡ax+arctan⁡a−x=π2

⇒出题

所以碰到11+tanλ⁡x, 11+ax, arcsin⁡g(x), arctan⁡g(x)要敏感, 考虑利用区间再现公式

【例题1】
∫0π211+tanλ⁡xdx(λ≠0)

=12∫0π211+tanλ⁡x+11+tanλ⁡(π2−x)dx=12⋅π2

【例题2】
∫0π2sinλ⁡xsinλ⁡x+cosλ⁡xdx(λ≠0)

∫0π2cosλ⁡xsinλ⁡x+cosλ⁡xdx(λ≠0).

=π4

【例题3】 ∫−ππ11+2x⋅sin⁡3xsin⁡xdx.

=12∫−ππ11+2x⋅sin⁡3xsin⁡x+11+2−x⋅sin⁡(−3x)sin⁡(−x)dx
=12∫−ππsin⁡3xsin⁡x⋅(11+2x+11+2−x)dx
12∫−ππsin⁡3xsin⁡xdxtip:sin3x=sin(x+2x)
=π

【例题4】
∫−π2π2exsin2⁡x1+exdx.

12∫−π2π2sin2⁡xdx=π4

【例题5】
∫01ln⁡(1−x+x2)arcsin⁡xdx

=12∫01ln⁡(1−x+x2) (arcsin⁡x+arcsin⁡1−x)dx
π4∫01ln⁡(1−x+x2)dx
=π4[x⋅ln⁡(1−x+x2)|01−∫01x⋅11−x+x2⋅(−1+2x)dx]=−π4∫01−x+2x21−x+x2dx

计算：∫−x+2x21−x+x2dx

=∫x−21−x+x2+2dx
=∫a(2x−1)1−x+x2+b1−x+x2dx+2x
=12ln(1−x+x2)−3arctan2x−13+2x

解得：I=(−33π+2)(−π4)

应用3 ​

消去x
当f(x)=xg(x)(其中g(x)满足g(x)=g(a+b−x))时，∫abxg(x)dx=a+b2∫abg(x)dx

【例题1】
∫02xex+e2−xdx

=12∫02xex+e2−xdx+2−xe2x+e2−(2−x)dx

∫1ex+e2−xdx⇒ex=t=∫1t+e2t⋅1tdt=1earctante

【例题2】
∫0πxsin3⁡x1+cos2⁡xdx

=12∫0πxsin3⁡x1+cos2⁡x+(π−x)sin3⁡(π−x)1+cos2⁡(π−x)dx
π2∫0πsin3⁡x1+cos⁡xdx⇒cosx=tπ2∫−111−t21+t2dt

=π2−2π2

【例题3】
∫0πxsin2n⁡xsin2n⁡x+cos2n⁡xdx

=12∫0π[xsin2n⁡xsin2n⁡x+cos2n⁡x+(π−x)sin2n⁡(π−x)sin2n⁡(π−x)+cos2n⁡(π−x)]dx
=π2∫0πsin2n⁡xsin2n⁡x+cos2n⁡xdx
⇒x=π2对称f(x)=f(π−x)π∫0π2sin2n⁡xsin2n⁡x+cos2n⁡xdx=π24

【例题4】
∫0nπx|sin⁡x|dx ,其中n 为正整数。

=12∫0nπx|sin⁡x|+(nπ−x)|sin⁡(nπ−x)|dx
=nπ2∫0nπ|sinx|dx
nπ2⋅n∫0πsin⁡xdx=n2π

【例题5】
∫02nx(x−1)(x−2)⋅⋅⋅(x−2n)dx

12∫02nx(x−1)(x−2)⋅⋅⋅(x−2n)+(−1)2n+1x(x−1)(x−2)⋅⋅⋅(x−2n)dx=0

【例题6】
∫0π4ln⁡(1+tan⁡x)dx

=12∫0π4ln⁡(1+tan⁡x)+ln⁡(1+tan⁡(π4−x))dx
=12∫0π4ln2dx=πln28

【例题7】
∫01ln⁡(1+x)1+x2dx.

⇒x=tanθ

【例题8】
∫0π2lnsinxdx.

=12∫0π2ln⁡sin⁡x+ln⁡sin⁡(π2−x)dx

⇒ln⁡(sin⁡xcos⁡x)=ln⁡sin⁡2x2=ln⁡sin⁡2x−ln⁡212⋅12∫0π2ln⁡sin⁡2x(2dx)−12∫0π2ln⁡2dx=14∫0πln⁡sin⁡tdt⇒x=π2对称f(x)=f(π−x)14⋅2∫0π2ln⁡sin⁡tdt−12∫0π2ln⁡2dx

I=12I−πln24
I=−π2ln2

公式2 ​

若 ∫0+∞f(x)dx 收敛，则对任意的正数 k，都有

∫0+∞f(x)dx=∫0+∞kx2f(kx)dx=12∫0+∞[f(x)+kx2f(kx)]dx.

常用 k=1 的情形

∫0+∞f(x)dx=∫0+∞1x2f(1x)dx=12∫0+∞[f(x)+1x2f(1x)]dx.

当f(x)=11+x2g(x)时，∫0+∞g(x)1+x2dx=12∫0+∞g(x)+g(1x)1+x2dx

把g(x)取成11+xα，ln⁡xα，arctan⁡xα时，g(x)+g(1x)为常数，则12∫0+∞g(x)+g(1x)1+x2dx可以求出来了，出题人就是这么出题的！所以当被积函数有11+x2，可以考虑利用此公式。

【例题1】
∫0+∞1(1+x2)(1+xα)dx(α≠0).

=12∫0+∞1(1+x2)(1+xα)+1x2⋅1(1+1x2)(1+1xα)dx
=12∫0+∞11+x2dx=π4

【例题2】
∫0+∞arctan⁡x3x2+1dx

=12∫0+∞arctan⁡x3x2+1+1x2⋅arctan⁡1x31x2+1dx=π28

【例题3】

∫0+∞ln⁡xx2+1dx

=0

【例题4】
∫0+∞ln⁡xx2+a2dx(a>0)

=1a2∫0+∞ln⁡xdx(xa)2+1⇒xa=t1a2∫0+∞(ln⁡a+ln⁡t)⋅adtt2+1
=1a⋅∫0+∞ln⁡at2+1dt+1a∫0+∞ln⁡tt2+1dt=πlna2a

积分比较定理 ​

1.若f(x)与g(x)在[a,b]上连续，f(x)≤g(x)，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx(b≥a)。
2.若f(x)与g(x)在[a,b]上连续，f(x)≤g(x)（且f(x)≠g(x)），则∫abf(x)dx<∫abg(x)dx(b>a)。
3.若f(x)与g(x)在[a,b]上连续，f(x)<g(x)，则∫abf(x)dx<∫abg(x)dx(b>a)。
4.若f(x)在[a,b]上连续，f(x)≥0且f(x)≠0，则∫abf(x)dx>0。
5.若f(x)在[a,b]上可积，f(x)≥0且f(x)≠0，则∫abf(x)dx≥0。

积分中值定理 ​

1.若f(x)在[a,b]上连续，则∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)ξ∈[a,b]
2.若f(x)在[a,b]上连续，则∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)ξ∈(a,b)
3.若f(x)与g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号，则∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dxξ∈[a,b]

整体换元法 ​

整体换元法触发特征：

ax+bax+bcx+da⋅ex+ba⋅ex+bc⋅ex+d

变限积分求导 ​

y=∫ψ(x)φ(x)f(x,t)dt
y′=φ′(x)f(x,φ(x))−ψ′(x)f(x,ψ(x))+∫ψ(x)φ(x)∂f(x,t)∂x

（1）直接提

（2）换元

（3）二重积分交换积分次序

反常积分技巧 ​

反常积分的敛散性 ​

1.无穷积分的反常积分 ==> p积分： ∫a+∞1xpdx{收敛p>1发散p≤1
2.有瑕点（无界的点）的反常积分 ==> q积分： ∫ab1(x−a)qdx{收敛q<1发散q≥1

口诀：想要收敛看无穷和瑕点，无穷用p积分，瑕点用q积分，P大Q小（收敛），形式不符合就放缩成pq积分形式。

反常积分的奇偶性 ​

设∫−∞+∞f(x)dx 收敛，则∫−∞+∞f(x)dx={2∫0+∞f(x)dxf(x)为偶0f(x)为奇

反常积分敛散性的四则运算 ​

1.∫−∞+∞f(x)dx=∫−∞0f(x)dx+∫0+∞f(x)dx （拆积分区间）

收敛 ± 收敛 = 收敛
收敛 ± 发散 = 发散
发散 ± 发散 = 发散

2.∫a+∞[f(x)+g(x)]dx=∫a+∞f(x)dx+∫a+∞g(x)dx （拆被积函数）

收敛 ± 收敛 = 收敛
收敛 ± 发散 = 发散
发散 ± 发散 = 不一定

重积分 ​

奇偶对称性 ​

若积分区域D 关于关于x轴对称，且被积函数f(x,y)是关于y 的奇函数，则∬Df(x,y)dxdy=0

若积分区域D 关于关于y轴对称，且被积函数f(x,y)是关于x 的奇函数，则∬Df(x,y)dxdy=0

注：可以用两点法证明

积分区域的对称性如何判断？可以利用如下结论

若f(x,y)=f(−x,y),则曲线f(x,y)=0 关于y 轴对称

若f(x,y)=f(x,−y),则曲线f(x,y)=0 关于x轴对称

轮换对称性 ​

若 D1,D2 关于 y=x 对称，则 ∬D1f(x,y)dxdy=∬D2f(y,x)dxdy

若 D 关于 y=x 对称，则 ∬Df(x,y)dxdy=∬Df(y,x)dxdy

若 D 关于 y=x 对称，则 ∬Df(x,y)dxdy=12∬D[f(x,y)+f(y,x)]dxdy （当被积函数中 x,y 不对称时，可以考虑利用这个结论）

积分区域的对称性如何判断？可以利用如下结论

若 f(x,y)=f(y,x)，则 f(x,y)=0 关于 y=x 对称

二重积分换序例题 ​

题一：改变积分次序 ∫01dy∫arcsin⁡yπ−arcsin⁡yf(x,y)dx

四条线：
y=1,y=0,x=π−arcsiny,x=arcsiny

题二：改变积分次序 ∫012dy∫1π−arcsin⁡yf(x,y)dx

题三：改变积分次序 ∫−π4π2dx∫0cos⁡xf(x,y)dy

题四：改变积分次序 ∫02adx∫2ax−x22axf(x,y)dy(a>0)

题五：交换积分次序 ∫−π4π2dθ∫02acos⁡θf(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr(a>0)

题六：交换积分次序 ∫02dr∫arccos⁡r2−ππf(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdθ

极坐标交换积分次序 ​

① 将θ改成x，r改成y

∫−π4π2dθ∫02cos⁡θf(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdr∫−π4π2dx∫02cos⁡x⋯dy

alt text

∫02dy∫−π4arccosy2⋯dx+∫22dy∫−arccosy2arccosy2⋯dx∫02dr∫−π4arccosr2f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdθ+∫22dr∫−arccosr2arccosr2f(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdθ

求含有二重积分的极限 ​

1.二重积分的积分中值定理（被积函数 ≠0）
内容：设f(x,y)在闭区域D上连续，SD为区域的面积，则∃(ξ,η)∈D,s.t.∬Df(x,y)dxdy=f(ξ,η)⋅SD

2.洛必达（被积函数 --> 0）
化简二重积分：
（1）换序
（2）换坐标系
（3）换元

3.广义的积分中值定理（被积函数为两个函数相乘时）
内容：
（1）（定积分）若f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)不变号，则∃ξ∈[a,b],s.t.∫abf(x)g(x)=f(ξ)∫abg(x)dx
（2）（二重积分）若f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续，g(x,y)不变号，则∃(ξ,η)∈D,s.t.∬Df(x,y)g(x,y)dxdy=f(ξ,η)∬g(x,y)dxdy

注意：不能确定被积函数是否趋于0，当它不为0，用中值定理

形心 ​

平面曲线的形心 (∫Lxds∫Lds,∫Lyds∫Lds)

空间曲线的形心(∬σxds∬σds,∬σyds∬σds,∬σzds∬σds)

平面的形心(∮xdxdy∮1dxdy,∮ydxdy∮1dxdy)

空间实心体的形心 (∬Ωxdv∬Ω1dv,∬Ωydv∬Ω1dv,∬Ωzdv∬Ω1dv)

三重积分 ​

三重积分的定义 ​

设 f(x,y,z) 是有界闭区域 D 上的有界函数. 将闭区域 D 任意分成 n 个小的闭区域 Δv1, Δv2, …, Δvn, 在每个 Δvi 上取一点 f(ξi,ηi,ζi), 若当各小闭区域的直径中的最大值 λ 趋近于零时, 极限

limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi

存在, 则称此极限为函数 f(x,y,z) 是有界闭区域 D 上的三重积分, 记作

∭Ωf(x,y,z)dv=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi.

【注意】三重积分实际上是求实心几何体质量

三重积分的性质 ​

  1. 线性性质
    设 f(x,y,z), g(x,y,z) 在空间 Ω 内可积, 则
∭Ω[f(x,y,z)±g(x,y,z)]dv=∭Ωf(x,y,z)dv±∭Ωg(x,y,z)dv;∭Ωkf(x,y,z)dv=k∭Ωf(x,y,z)dv(k 为常数).

  1. 区域可加性
    ∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ω1f(x,y,z)dv+∭Ω2f(x,y,z)dv+⋯+∭Ωnf(x,y,z)dv.
    其中 Ω=Ω1∪Ω2∪⋯∪Ωn 且 Ωi 与 Ωj 的内部交集为空集 (i≠j).

  2. 比较定理
    如果在空间Ω上有f(x,y,z)⩽g(x,y,z), 则∭Ωf(x,y,z)dv⩽∭Ωg(x,y,z)dv.

推论: |∭Ωf(x,y,z)dv|⩽∭Ω|f(x,y,z)|dv.

  1. 估值定理
    设M和m分别是函数f(x,y,z)在空间Ω上的最大值和最小值, V为空间Ω的体积, 则
    ∭Ωf(x,y,z)dv⩽MV.

  2. 中值定理
    设函数f(x,y,z)在空间Ω上连续, V为空间Ω的体积, 则在Ω上至少存在一点(ξ,η,ζ), 使得
    ∭Ωf(x,y,z)dv=f(ξ,η,ζ)⋅V.

三重积分的计算 ​

  1. 直角坐标下三重积分的计算
    ① 穿线法（先一后二法）: 先求关于某个变量的定积分, 然后求关于另外两个变量的二重积分, 例如: 先对 z 积分, 则将 Ω 投影到 Oxy 平面得投影域 Dxy, 过 Dxy 内任意一点 (x,y) 作平行于 z 轴的直线, 使之与 Ω 相穿, 下部边界穿入点得 z1=z1(x,y), 上部边界穿出点得 z2=z2(x,y), 则
∭Ωf(x,y,z)dv=∬Dxydxdy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz.

【注】此方法为最基本的方法, 应熟练掌握, 但因求解过程较为复杂, 故在考试中有简便方法可用的, 尽量用其他方法.

②切片法（先二后一法或截面法）：先求关于某两变量的二重积分，然后再求定积分，例如，先计算关于x,y的二重积分，然后计算关于z轴的定积分，此时应先将Ω投影到z轴得坐标z∈[c,d]，然后对坐标取平行于Oxy平面的一个平面，截Ω得到一个平面闭区域Dz，则

∭Ωf(x,y,z)dv=∫cddz∬Dzf(x,y,z)dxdy.

若f(x,y,z)仅为z的函数，且Dz的面积仅为z的函数，记作A(z)，则

∭Ωf(x,y,z)dv=∫cddz∬Dzf(x,y,z)dxdy=∫cdf(z)dz∬Dzdxdy=∫cdA(z)f(z)dz.
  1. 柱坐标下三重积分的计算
    柱坐标 (r, φ, z) 与直角坐标的关系为
{x=rcos⁡φ,0⩽r<+∞,y=rsin⁡φ,0⩽φ⩽2π,z=z,−∞<z<+∞.dv=rdr dφ dz.
  1. 球坐标下三重积分的计算
    球坐标 (r, θ, φ) 与直角坐标的关系为
{x=rsin⁡θcos⁡φ,0⩽r<+∞,y=rsin⁡θsin⁡φ,0⩽θ⩽π,z=rcos⁡θ,0⩽φ⩽2π.dv=r2sin⁡θdrdθdφ,

则

∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(rsin⁡θcos⁡φ,rsin⁡θsin⁡φ,rcos⁡θ)r2sin⁡θdrdθdφ.
  1. 利用对称性计算三重积分
    ① 积分区域 Ω 关于 xOy 坐标平面对称，则
∭Ωf(x,y,z)dv={2∭Ω1f(x,y,z)dv,f(x,y,−z)=f(x,y,z),0,f(x,y,−z)=−f(x,y,z).

其中 Ω_1 为 Ω 在平面 xOy 上侧的部分.

② 轮转对称性: 若 x, y 互换后, 积分区域 Ω 所满足的表达式不变,则：

∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(y,x,z)dv.

若 x, y, z 互换后, 积分区域 Ω 所满足的表达式不变, 则

∭Ωf(x,y,z)dv=∭Ωf(y,x,z)dv=∭Ωf(z,x,y)dv.

【例题1】计算 I=∭Ωx2dxdydz，Ω 由 z=xy，x+y=1，x=0，y=0，z=0 围成。

I=∬Ddxdy∫0xyx2dz=∬Dx2⋅xydxdy=∫01dx∫01−xx3ydy=∫01x3(x−1)22dx=∫01x3(x2−2x+1)2dx=1120

【例题2】已知 Ω 是由曲线 y²=2z,x=0 绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面 z=2,z=8 围成的立体, 求 I=∭Ω(x²+y²)dv.

Ω:{x2+y2≤2z2≤z≤8

I=∫28dz∬x2+y2≤2z(x2+y2)dxdy=∫28dz[∫02πdθ∫02zr2⋅rdr]
=2π∫28(2z)44dz=336π

【例题3】求 I=∭Ω(x+z)dv, 其中 Ω:z≥x2+y2,z≤1−x2−y2.

Ω关于yoz对称，∭Ωxdv=0

∫022dz∬x2+y2≤z2zdxdy+∫221dz∬x2+y2≤1−z2zdxdy=∫022z⋅πz2 dz+∫221z⋅π(1−z2) dz
=π⋅z44|022+π(z22−z44)|022=π8

【例题4】Ω: x2+y2+z2≤2z，三重积分 I=∭Ω(x2+y2+z2)5 dV 的值为
(A) 169π.
(B) 259π.
(C) 649π.
(D) 1009π.

∫0π2dθ∫02πdφ∫02cos⁡θr5⋅r2sin⁡θdr=649π

【例题5】计算三重积分 I=∫01dx∫0xdy∫0ysin⁡z(1−z)2dz

I=∫01dx∫0xdy∫0ysinz(1−z)2dz
=∫01dx∫0xdz∫zxsinz(1−z)2dy
=∫01dx∫0xsinz(1−z)2(x−z)dz
=∫01dz∫z1sinz(1−z)2(x−z)dx
=∫01sinz(1−z)2[1−z22−(1−z)z]dz
=∫01sinz2dz=1−cos12

【例题6】设Ω:x2+y2+z2⩽2z，则三重积分I=∭Ω(x2+y2+z2)5dV=____
(A) 169π.
(B) 259π.
(C) 649π.
(D) 1009π

{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφ
==> r2≤2rcosφ ==> r≤2cosφ(从该不等式可以看出隐藏条件，cosφ>0，说明φ∈(0,12π))

I=∫0π2dφ∫02πdθ∫02cosφr5⋅r2sinφdr
=2π∫0π2288⋅cos8φ⋅sinφdr
=64π∫02πcos8φd(−cosφ)
=64π⋅19[1−0]=649π

【例题7】求I=∭0(x2+y2+z)dv,其中Ω是由曲线{yz=2z,x=0.绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体。

绕z轴旋转 ==> x2+y2=x2(z)+y2(z)=2z ==> x2+y2=2z

如果是：y=2z ==> ±x2+y2=2z

I=∭Ω(x2+y2+z)dv
=∫04dz∬x2+y2≤2z(x2+y2+2z)dxdy
=∫04dz∫02πdθ∫02z(r2+z)⋅rdr=2563π

几何 ​

弧长公式 ​

1)设L：y=f(x)(a≤x≤b),则弧微分ds=1+f′2(x)dx,弧长

02

s=∫ab1+f′2(x)dx.

2)设L:{x=x(t),y=y(t)(α≤t≤β),则弧微分ds=x′2(t)+y′2(t)dt,弧长

s=∫αβx′2(t)+y′2(t)dt.

3)设L:r=r(θ)(α≤θ≤β),则弧微分ds=r2(θ)+r′2(θ)dθ,弧长

s=∫αβr2(θ)+r′2(θ)dθ.

旋转体体积 ​

绕x轴旋转旋转体体积 alt text 看成柱体
绕y轴旋转旋转体体积
alt text 看成长方体

旋转体侧面积 ​

alt text

曲率公式 ​

设曲线的直角坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M处的切线的斜率为y′=tanα，所以

sec2α×dαdx=y″dαdx=y″1+tan2α=y″1+y′2dα=y″1+(y′2)dx

又ds=1+y′2dx，故曲线L在M点处的曲率为

K=dαds=|y″|(1+y′2)32

设曲线是由参数方程{x=φ(t)y=ω(t)给出，利用参数方程求导法可得

K=|φ′(t)ω″(t)−ω′(t)φ″(t)|[φ′2(t)+ω′2(t)]32

曲率半径：

ρ=1K

线面积分 ​

第一类曲线积分 ​

第一类曲线积分的定义 ​

设 L 为 Oxy 平面上一条光滑曲线，f(x,y) 为定义在 L 上的有界函数。在 L 上插入点 M1，M2，…，Mn−1 将 L 分成 n 个小段。第 i 段长度记作 Δsi，在第 i 段上取点 (ξi,ηi)，令 λ=max{Δsi}，若极限

limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi

存在，则称此极限为函数 f(x,y) 在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作

∫Lf(x,y)ds=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δsi.

【几何意义】求线的质量，f(x,y)为线密度

第一类曲线积分的性质 ​

(1) 线性性质：f(x,y),g(x,y)在L上可积，a,b为任意常数，则

∫L[af(x,y)+bg(x,y)]ds=a∫Lf(x,y)ds+b∫Lg(x,y)ds.

(2) 可加性：若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1,L2，则

∫Lf(x,y)ds=∫L1f(x,y)ds+∫L2f(x,y)ds.

(3) 比较性质：若在L上f(x,y)⩽g(x,y)，则

∫Lf(x,y)ds⩽∫Lg(x,y)ds.

推论：|∫Lf(x,y)ds|⩽∫L|f(x,y)|ds.

第一类曲线积分的计算 ​

(1) 曲线 L 由直角坐标 y = y(x), a ≤ x ≤ b 表示, 则

∫Lf(x,y)ds=∫abf(x,y)1+y′2(x)dx.

(2) 曲线 L 由极坐标 r = r(θ), α ≤ θ ≤ β 表示, 则

∫Lf(x,y)ds=∫αβf(rcos⁡θ,rsin⁡θ)r2(θ)+r′2(θ)dθ.

(3) 曲线 L 由参数方程 {x=x(t)y=y(t), α ≤ t ≤ β 表示, 则

∫Lf(x,y)ds=∫αβf[x(t),y(t)]x′2(t)+y′2(t)dt.

(4) 空间曲线 L 由参数方程{x=x(t)y=y(t)z=z(t),α⩽t⩽β表示, 则

∫Lf(x,y,z)ds=∫aβf[x(t),y(t),z(t)]x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)dt

(5) 利用对称性计算第一类曲线积分
① 积分曲线 L 关于 y 轴对称，则

∫Lf(x,y)ds={2∫L1f(x,y)ds,f(−x,y)=f(x,y),0,f(−x,y)=−f(x,y).

其中 L1 为曲线 L 在 y 轴右侧的部分.
② 利用轮转对称性: 若积分曲线 L 关于直线 y=x 对称，则

∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds.

【例题1】平面曲线 L 为下半圆周 y=−1−x2，则 I=∫L(x2+y2)dl= ___________.

I=∫L(x2+y2)dl=∫L1dl=L=π

【例题2】计算 I=∫Lex2+y2arctan⁡x2+y2ds, 其中 L:x2+y2=1,y>0

I=∫Lex2+y2arctan⁡x2+y2ds=∫Le1arctan⁡1ds=e⋅π4⋅π

【总结】曲线积分要代入！！！

【例题3】计算I=∮Lx2+y2ds ,其中L:x2+y2=4x.

I=2∫Ly≥0x2+y2ds=2∫0π24cos⁡θ(4cos⁡θ)2+(−4sin⁡θ)2dθ=32

【例题4】求第一型曲线积分∫iy2ds,其中l为摆线 x=a(t−sin⁡t) ,y=a(1−cos⁡t),0⩽t⩽2π.

{x=a(t−sint)y=a(1−cost)ds=a(1−cost)2+sin2t=a2(1−cost)

∫Ly2ds=∫02πa2(1−cost)2⋅2⋅a⋅1−costdt
=a3⋅2∫02π(1−cost)52dt
=32a3∫02πsin5udu=256a315

【例题5】l为双纽线(x2+y2)2=a2(x2−y2)全弧段，则∫l|y|ds=_

{x=rcosθy=rsinθ ==> r4=a2⋅r2cos2θ ==> r2=a2cos2θ

角度1：（确认θ角的范围，在第一象限中，如果角度扩大，则r减小到0）有：θ=12arccosr2a2=π4

角度2：x2−y2≥0 ==> |y|≤|x| ==> θ∈(0,π4)

角度3：r2=a2cos2θ ==> cos2θ≥0 ==> θ∈(0,π4)

设第一象限的弧段为L1

I=∫l|y|ds=4∫L1|y|ds
=4∫0π4rsinθr2+(r′)2dθ
=4∫0π4acos2θ⋅sinθ⋅acos2θdθ
=4a2∫0π4sinθdθ=4a2(1−22)

【例题6】设曲线 L:f(x,y)=1（f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第二象限内的点 M 和第三象限内的点 N，Γ 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）
(A) ∫Γf(x,y)dx.
(B) ∫Γf(x,y)dy (C) ∫Γf(x,y)ds.
(D) ∫Γfx(x,y)dx+fy(x,y)dy.

f(x,y)=1 ==> 偏导数为0

有：
(A) ∫Γ1dx=xN−xM.
(B) ∫Γ1dy=yN−YM (C) ∫Γ1ds=弧长.
(D) ∫Γ0dx+0dy=0.

第二类曲线积分 ​

第二类曲线积分的定义 ​

设 L 为 xOy 平面上连接 A, B 两点的有向光滑曲线弧, 函数 P(x,y), Q(x,y) 为定义在 L 上的有界函数. 在 L 上插入点 M1(x1,y1), M2(x2,y2), ⋯, Mn−1(xn−1,yn−1), 将 L 分成 n 个有向弧段:

Mi−1Mi→(i=1,2,⋯,n;M0=A,Mn=B).

设 Δxi=xi−xi−1, Δyi=yi−yi−1, 点 (ξi,ηi) 为 Mi−1Mi→ 上任一点. 取 λ 为各小弧段长度最大值, 则当极限

limλ→0∑i=1nP(ξi,ηi)Δxi

存在, 则称此极限为函数 P(x,y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分, 记作

∫Lf(x,y)dx=limλ→0∑i=1nP(ξi,ηi)Δxi.

limλ→0∑i=1nQ(ξi,ηi)Δyi 则称此极限为函数 Q(x,y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 的曲线积分，记作

∫LQ(x,y)dy=limλ→0∑i=1nQ(ξi,ηi)Δyi.

以上两个积分称为第二类曲线积分，若二者均存在，则一般将二者合并起来，记作

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy.

第二类曲线积分的性质 ​

(1) 线性性质: P(x,y),Q(x,y) 在 L 上可积, a,b 为任意常数, 则

∫LaP(x,y)dx+bQ(x,y)dy=a∫LP(x,y)dx+b∫LQ(x,y)dy.

(2) 可加性: 若有向弧段 L 可分成两段光滑的有向弧段 L1,L2, 则

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫L1P(x,y)dx+Q(x,y)dy+∫L2P(x,y)dx+Q(x,y)dy.

(3) 当 L− 表示有向弧段 L 的反向曲线弧, 则

∫L−P(x,y)dx+Q(x,y)dy=−∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy.

第二类曲线积分的计算 ​

(1) 有向弧段 L 由 y = y(x), x: a → b 表示，则

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ab{P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y′(x)}dx.

(2) 有向弧段 L 由参数方程{x=x(t)y=y(t)(t:α→β)表示，则

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫αβ{P[x(t),y(t)]x′(t)+Q[x(t),y(t)]y′(t)}dt.

两类曲线积分的关系 ​

(1)区别:第二类曲线积分与曲线L的方向有关.而第一类曲线积分只与被积表达式f(x,y)和曲线L弧长的乘积有关,而与曲线L的方向无关.

(2)联系:两类曲线积分的计算关系

∫LPdx+Qdy=∫L(Pcos⁡α+Qcos⁡β)ds

其中cos⁡α,cos⁡β为有向曲线L切线的方向余弦.

格林公式 ​

格林公式的定义 ​

设闭区域 D 由分段光滑曲线 L 围成，函数 P(x,y)，Q(x,y) 在 D 上一阶偏导数连续，则

∮LPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy.

其中 L 为 D 的边界曲线，且为正向（其中 L 为正向指某人沿 L 的方向前行时，区域 D 始终在其左侧）。

【例题1】设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分,则曲线积分∫Lxdy−2ydx的值为______.

补：L1:(0,0)→(1,0)和L2:(0,1)→(0,0)

∫L1=∫L2=0

∬D1−(−2)dxdy−∫L1−∫L2=3∬Ddxdy=32π

【例题2】计算下面曲线积分

∫AMB[φ(y)cos⁡x−πy]dx+[φ′(y)sin⁡x−π]dy.

其中 AMB 为连接点 A(π,2) 与点 B(3π,4) 的线段 AB― 下方的任意路径，且该路径与线段 AB― 所围图形的面积为 2.

补：L1:B→A

∮AMB+L1[φ(y)cos⁡x−πy]dx+[φ′(y)sin⁡x−π]dy=∬Dπdxdy=2π

∫L1Pdx+Qdy=∫3ππφ(y)cos⁡x−πy+φ′(y)sin⁡x−ππdx
=∫3ππ[φ(xπ+1)cos⁡x−(x+π)+φ′(xπ+1)sin⁡xπ−1]dx
=(φ(xπ+1)⋅sin⁡x)|3ππ−∫3ππ[x+(π+1)]dx

I=2π−∫π3π(x+π+1)dx=−6π2

【例题3】设f(x)具有连续导数，点 A(1,1),B(3,3) ,l 为以 AB 为直径的左上半个圆弧，且从A走向B .求∫l[1xf(xy)+y]dx−[1yf(xy)+x]dy.

补线：L0:B→A

I=∮L+L0Pdx+Qdy⇒偏导连续封闭，负向−∬D(−2)dxdy=2π

I0=∫L0Pdx+Qdy⇒y=x∫31[1xf(1)+x]dx−[1xf(1)+x]dx=0

∫l[1xf(xy)+y]dx−[1yf(xy)+x]dy=I−I0=2π

【例题4】求∫l(x−y)dx+(x+y)dyx2+y2，l 为从点 A(−π2,0) 沿曲线 y=cos⁡x 到 B(π2,0).

(0,0)为无定义点，需要挖洞 ==> 补线：L1:B→C(ϵ,0)L2:C→D(−ϵ,0)且x2+y2=ϵ2L3：D→A

∂Q∂x−∂P∂y=0

∮L+L1+L2+L3Pdx+Qdy=−∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dσ=0

I1+I3=∫1ϵ1xdx+∫−ϵ−11xdx=0

补线：L4:D→C

I2=∫L2(x−y)dx+(x+y)dyϵ2=∮L2+L4(x−y)dx+(x+y)dy−∫L4(x−y)dx+(x+y)dyϵ2=∬D2dσ−∫−ϵϵxdxϵ2=π

I=−I2=−π

【例 10】设曲线积分I=∮C2[xf(y)+g(y)]dx+[x2g(y)+2xy2−2xf(y)]dy=0.其中C为平面上任意一条连续闭 曲线，函数f(y)与g(y)二阶可导，且f(0)=−2，g(0)=1

(I) 求函数f(y)和g(y);

(II) 计算曲线从点(0,0)到点(π,π2)的积分.

(1)

∂Q∂x−∂P∂y=0,即:[2xg′(y)+2y2−2f′(y)]−[2xf′(y)+2g′(y)]=0
==> 2x[g(y)−f′(y)]+2[y2−f(y)−g′(y)]=0 ==> {g(y)=f′(y)f(y)+g′(y)=y2
==> f(y)+f″(y)=y2⇒型四f(y)=C1cosy+C2siny+y2−2
==> g(y)=−C1siny+C2cosy+2y
==> {f(0)=C1−2=−2g(0)=C2=1 ==> {f(y)=siny+y2−2g(y)=cosy+2y

(2)

折线路径：L1:(0,0)→(0,π2);L2:(0,π2)→(π,π2)

∫L1Pdx+Qdy=∫0π20dy=0
∫L2Pdx+Qdy=int0π[2xf(π2)+2g(π2)]dx
=f(π2)x2+2g(π2)x|0π=π44+π2

第一类曲面积分 ​

第一类曲面积分的定义 ​

设函数 f(x,y,z) 是定义在光滑曲面（或分片光滑曲面）Σ 上的有界函数。将曲面分为 n 个小块 ΔSi (i=1,2,⋯,n)（ΔSi 也代表第 i 小块曲面的面积），在小块曲面 ΔSi 上任意取一点 (ξi,ηi,ζi)，令 λ 为各小块曲面直径的最大值，若极限

limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi

存在，则称此极限为函数 f(x,y,z) 在曲面 Σ 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作

∬Σf(x,y,z)dS=limλ→0∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi.

第一类曲面积分的性质 ​

(1) 线性性质：f(x,y), g(x,y)在曲面Σ上可积，a，b为任意常数，则

∬Σ[af(x,y)+bg(x,y)]dS=a∬Σf(x,y)dS+b∬Σg(x,y)dS.

(2) 可加性：若积分曲面Σ可分成两块光滑曲面Σ₁，Σ₂，则

∬Σf(x,y)dS=∬Σ1f(x,y)dS+∬Σ2f(x,y)dS.

第一类曲面积分的计算 ​

Z=Z(x,y)⇒Z(x,y)−Z=0⇒Zxdx+Zydy−dz=0⇒n→=(Zx,Zy,−1)

cosα=Zx|n→|,cosβ=Zy|n→|,cosγ=−1|n→|

dS⋅cosα=dydz,dS⋅cosβ=dxdz,dS⋅cosγ=dxdy

==> dydz:dzdx:dxdy=cosα:cosβ:cosγ

(1) 设积分曲面Σ由方程z=z(x,y)确定, 曲面在坐标面xOy上的投影为Dxy, 函数z=z(x,y)在Dxy具有连续偏导数(即曲面Σ是光滑曲面), f(x,y,z)在Σ上连续, 则

∬Σf(x,y,z)dS=∬Dxyf[x,y,z(x,y)]1+zx′2+zy′2dxdy.

(2) 利用对称性计算第一类曲面积分
① 积分曲面 Σ 关于 xOy 平面对称，则

∬Σf(x,y,z)dS={2∬Σ1f(x,y,z)dS,f(x,y,−z)=f(x,y,z),0,f(x,y,−z)=−f(x,y,z).

其中 Σ_1 为曲面 Σ 在 xOy 平面上方的部分.

②利用轮转对称性: 若 x, y 互换后, 积分曲面 Σ 所满足的表达式不变, 则

∬Σf(x,y,z)dS=∬Σf(y,x,z)dS.

若 x, y, z 互换后, 积分曲面 Σ 所满足的表达式不变, 则

∬Σf(x,y,z)dS=∬Σf(y,z,x)dS=∬Σf(z,x,y)dS.

【例题1】【例 9.10】设 S:x2+y2+z2=a2(z≥0), S1 为 S 在第一卦限中的部分, 则有
(A) ∬Sx dS=4∬S1x dS.
(B) ∬Sy dS=4∬S1x dS.
(C) ∬Sz dS=4∬S1x dS.
(D) ∬Sxyz dS=4∬S1xyz dS.

图形为一上半球，可知：几何体关于xOz,yOz对称

被积函数为y或x的奇偶函数时，有偶倍奇零结论

∬Sx dS=∬Sy dS=∬Sxyz dS

∬Sz dS=2∬S2z dS=4∬S1z dS

【例题2】设曲面Σ:|x|+|y|+|z|=1 ,则∬(x+|y|)dS=

【小技巧：根据曲面方程判断对称性】|x|+|y|+|z|=1将方程中的x改写为−x若方程不变说明，曲面关于yOz对称

偶倍奇零 ==> ∬ΣxdS=0

在第一卦象上有：z=1−x−y在第一卦象的xOy上有：y=1−x

∬Σ|y|dS=8∬Σ1|y|dS=83∬Σ1|x|+|y|+|z|dS=83∬Σ1dS
83∬D1+Zx2+Zy2dxdy=833∫01dx∫01−xdy=433

【例题3】计算曲面积分∬ΣzdS, 其中 Σ 为锥面 z=x2+y2 在柱体 x2+y2⩽2x内的部分.

dS=1+Zx2+Zy2dxdy=2dxdy

I=∬x2+y2≤2xx2+y2⋅2dxdy=2∫−π2π2dθ⋅∫02cosθr2dr=3292

第二类曲面积分 ​

第二类曲面积分的定义 ​

设Σ为光滑（或分片光滑）的有向曲面，函数R(x,y,z)在Σ上有界.把Σ任意分割成n个小块ΔSi(i=1,2,⋯,n)(ΔSi也代表第i小块曲面的面积)，ΔSi在xOy面上投影为(ΔSi)xy，(ξi,ηi,ζi)为ΔSi上任取的一点，令λ为各小块曲面的直径最大值，若极限

limλ→0∑i=1nR(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy

存在，则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分，记作

∬ΣR(x,y,z)dxdy=limλ→0∑i=1nR(ξi,ηi,ζi)(ΔSi)xy.

第二类曲面积分的性质 ​

(1) 可加性: 若积分有向曲面Σ可分成两块光滑曲面Σ₁, Σ₂, 则

∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬Σ1Pdydz+Qdzdx+Rdxdy+∬Σ2Pdydz+Qdzdx+Rdxdy.

(2) 令 −Σ 表示 Σ 的反向, 则

∬−ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=−∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy.

第二类曲面积分的计算 ​

(1) 设积分曲面Σ由方程z=z(x,y)确定，曲面在坐标面xOy上的投影为Dxy，函数z=z(x,y)在Dxy具有连续偏导数(即曲面Σ是光滑曲面)，R(x,y,z)在Σ上连续，则

∬ΣR(x,y,z)dxdy=±∬DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy.

其中若曲面Σ的方向与z轴正向夹角小于π2，则上式右端取正号；否则取负号.

同理可得

∬ΣP(x,y,z)dydz=±∬DyzP[x(y,z),y,z]dydz.∬ΣQ(x,y,z)dzdx=±∬DxzQ[x,y(z,x),z]dzdx.

(2) 【投影三合一公式】设积分曲面Σ由方程z=z(x,y)确定，曲面在坐标面xOy上的投影为Dxy，若z(x,y)在Dxy具有连续偏导数(即曲面Σ是光滑曲面)，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Σ上连续，则

∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬Σ{P,Q,R}⋅dS=±∬Dxy{P,Q,R}⋅{−zx,−zy,1}dxdy=±∬Dxy{−zxP[(x,y,z(x,y)]−zyQ[x,y,z(x,y)]+R[x,y,z(x,y)]}dxdy.

其中若曲面Σ的方向与z轴夹角小于π2，则上式右端取正号；否则取负号。

两类曲面积分关系 ​

∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬Σ(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ)dS,

其中 cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ 为曲面 Σ 在点 (x,y,z) 处的正法线向量的方向余弦.

cosα=−zx1+zx2+zy2,cosβ=−zy1+zx2+zy2,cosγ=11+zx2+zy2

高斯公式 ​

设空间闭区域 Ω 由分片光滑的闭曲面 Σ 围成，函数 P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在 Ω 上有连续的一阶偏导数，则

∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv.

这里 Σ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧.

【例题1】计算曲面积分 I=∬Σxzdydz+2zydzdx+3xydxdy，其中 Σ 为曲面 z=1−x2−y24(0≤z≤1) 的上侧.

补面：Σ1:为曲面的底面，方向向下

∬Σ+Σ1xzdydz+2zydzdx+3xydxdy=∭Ω(z+2z)dv
=3∬Ddxdy∫01−x2−y24zdz=32∬D(1−x2−y24)2dxdy

{x=rcosθy=2rsinθ ==> |cosθ−rsinθ2sinθ2rcosθ|=2r

32∫02πdθ⋅∫01(1−r2)2⋅2rdr=π

补面：∬Σ1=−∬D3xydxdy⇒偶倍奇零0

【例题2】计算I=∬xdydz+ydzdx+zdxdy,S:为z=x2+y2介于z=0和z=1之间的部分，上侧为正.

补面：S0:{z=11=x2+y2方向向下

∬S+S0xdydz+ydzdx+zdxdy⇒高斯公式−∭Ω(1+1+1)dv
=−3∬Ddxdy∫x2+y21dz=−3∬D[1−(x2+y2)]dxdy
=−3∫02πdθ⋅∫01(1−r2)⋅rdr=−32π

补面：∬S0=−∬Ddxdy=−π

I=−32π−(−π)=−12π

【例题3】计算曲面积分 I=∬Σ5zxdydz−2zydzdx+(1−z2)dxdy，其中 Σ 为曲线 {z=y,x=0, (1⩽y⩽2) 绕 z 轴旋转而成的曲面的下侧。

绕z轴：x2(z)+y2(z)=0+z2,z∈[1,2]

补面：Σ1:{x2+y2≤1z=1(方向向下), Σ2:{x2+y2≤4z=2(方向向上)

I1=∬Σ11−1dxdy⇒负方向−0
I2=∬Σ2(1−4)dxdy⇒正方向−12π

I3=∬Σ+Σ1+Σ2Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ωzdv=∫12dz⋅∬x2+y2≤z2zdσ
=∫12z2⋅π⋅zdz=154π

I=I3−I1−I2=634π

【例题4】设Σ是曲面x=1−3y2−3z2的前侧，计算曲面积分I=∬Σxdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdy.

补面：Σ1:{y2+z2≤13x=0

I1=∬Σ10dydz=0

I2=∬Σ+Σ1Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(1+3y2+3z2)dv
=∫03dx⋅∬y2+z2≤1−x23(1+3y2+3z2)dσ
=∫03dx⋅∫02πdθ⋅∫01−x23(1+3r2)rdr=1445π

【例题5】计算曲面积分I=∬Σxdydz+ydzdx+zdxdy(x2+y2+z2)3/2,其中 Σ 为椭球面x24+y29+z225=1的外侧。

补面：Σ1:x2+y2+z2=ϵ2（方向向内）

I1=∬Σ13ϵ3dv=−4π

I2=∬Σ+Σ1Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Σ+Σ1(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv=0

I=I2−I1=4π

【例题6】设Σ为曲面 z=x2+y2(1⩽x2+y2⩽4)的下侧，f(x)是连续函数，计算∬Σ[xf(xy)+2x−y]dydz+[yf(xy)+2y+x]dzdx+[zf(xy)+z]dxdy.

∂z∂x=122xx2+y2=xz,∂z∂y=122yx2+y2=yz

I=−∬D(xf+2x−y,yf+zy+x,z(1+f))(−zx,−zy,1)dxdy
=∬Dzdxdy=∫02πdθ∫12r2dr=143π

斯托克斯公式 ​

【空间曲线转化成曲面积分】 设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ 是以 Γ 为边界的分片光滑的有向曲面，Γ 的正向与 Σ 所取正侧的法线向量符合右手法则，函数 P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z) 在曲面 Σ（连同边界 Γ）上有连续的一阶偏导数，则

∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∬Σ|dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zPQR|=∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy.

【例题1】设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 ∮Lxzdx+xdy+y22dz=______。

I⇒斯托克斯∬S|dydzdzdxdxdy∂∂x∂∂y∂∂zxzxy22|
=∬Sydydz+xdzdx+1⋅dxdy

S的方向由右手定则确定，可知方向向上

=∬D(−y−x+1)dxdy=∬x2+y2le1(1−x−y)dxdy⇒偶倍奇零∬x2+y2le11dxdy=π

【例题2】L是曲面Σ:4x2+y2+z2=1,x≥0,y≥0,z≥0的边界，曲面方向朝上，其方向 与Σ侧符合右手法则，求：I=∮L(yz2−cos⁡z)dx+2xz2dy+(2xyz+xsin⁡z)dx

I=⇒斯托克斯=∬Σ−2xzdydz+0dzdx+z2dxdy

三个坐标系上的补面

I1=∫Σ1=∬D10dzdx=0
I2=∫Σ2=∬D2−2xy|x=0dydz=0
I3=∫Σ3=∬D3z2|z=0dxdy=0

I4=∬Σ+Σ1+Σ2+Σ3pdydz+θdzdx+Rdxdy=+∭Ω0dV=0

I=I4−I1−I2−I3=0−0−0−0=0

散度 ​

设向量场 F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, 其中 P,Q,R 有连续的一阶偏导数, F 在点 (x,y,z) 处的散度为

divF=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z.

由上式, 高斯公式可写成

∬SPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∬S{P,Q,R}⋅dS=∭ΩdivFdV.

旋度 ​

设向量场F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,其中 P,Q,R 有连续的一阶偏导数，F在点(x,y,z)处的旋度为

rotF=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR|=(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k.

梯度 ​

gradf=(fx,fy,fz)

【例题】设有数量场 u=xyz. 求: (I) grad u; (II) div (grad u); (III) rot (grad u).

gradu=(ux,uy,uz)=(yz,xz,xy)div(gradu)=∂(yz)∂x+∂(xz)∂y+∂(xy)∂z=0rot(gradu)=|ijk∂∂x∂∂y∂∂zyzxzxy|=0→

方向导数 ​

梯度：gradf=(fx,fy)

方向导数：limt→0f(x0+tcosα,y0+tcosβ)−f(x0,y0)t⇒若f(x,y)可微limt→0fx⋅tcosα+fy⋅tcosβ+o(t)t=fx⋅cosα+fy⋅cosβ=gradf⋅(cosα,cosβ)

∂f∂l=gradf⋅(cosα,cosβ)=|gradf|⋅|1|⋅cosθ≤|gradf|

【例题1】设函数 u(x,y,z)=1+x26+y212+z218，单位向量 n=13(1,1,1)，则 ∂u∂n|(1,2,3) =

gradu=(ux,uy,uz)|(1,2,3)=(13,13,13)

∂u∂n|(1,2,3)=gradu⋅n=33

【例题2】设 fx′(0,0)=1, fy′(0,0)=2，则（）

(A) f(x,y) 在 (0,0) 点连续.

(B) df(x,y)|(0,0)=dx+2dy.

(C) ∂f∂l|(0,0)=cos⁡α+2cos⁡β，其中 cos⁡α,cos⁡β 为任一方向 l 的方向余弦

(D) f(x,y) 在 (0,0) 点沿 x 轴负方向的方向导数为 -1

(A)(B)(C)可参考该小节结论
偏导数存在，推不出函数连续，全微分存在，函数可微

(D)用定义计算：limt→0f(x0+tcosα,y0+tcosβ)−f(x0,y0)t=limt→0f(−t,0)−f(0,0)t=−fx(0,0)=−1

【例题3】设 f(x,y)=x2+2y2 在 (0,1) 的最大方向导数为______

gradf=(2x,4y)|(0,1)=4
|gradf|=4

【例题4】设 r=x2+y2+z2，则 div(grad r)|(1,−2,2)=________

gradr=(xr,yr,zr)
div(xr,yr,zr)=∂(xr)∂x+∂(yr)∂y+∂(zr)∂z=2r

数列技巧 ​

数列收敛的结论 ​

1.唯一性：limn→∞xn存在 ==> 极限值唯一
2.有界性：{xn}收敛 ==> {xn}有界 （反推不成立，反例：震荡函数sinx）
3.单调有界准则：{xn}有界 + {xn}单调 ==> {xn}收敛 （反推不成立，反例：xn=(−1)nn)
4.保号性：（脱极限号）limn→∞xn=A>0 ==> 当n→∞时（n足够大时），{xn}>0
（带极限号）{xn}>0⟹limn→∞xn=A≥0 （当{xn}收敛时）
5.数列极限存在且极限值为A <==> 所有子列极限都存在且都为A

数列单调有界 ​

单调证明 ​

1.求导法
xn+1=f(xn) 令 y=f(x)
(1)数列{xn}满足：m⩽xn⩽M，xn+1=f(xn)，如果在[m,M]上，f′(x)>0，则{xn}单调 （若x1<x2单调增，若x1>x2单调减）
(2)数列{xn}满足：m⩽xn⩽M, xn+1=f(xn),如果在[m,M]上，f′(x)<0,则{x2n},{x2n+1}单调 注：此时{xn}不单调，除非x2=x1

2.作差/作比法
(1)作差：an+1−an
1.1 与0比较
1.2 与an−an−1 比较（同号则单调）
(2)作比：an+1an （若>1，则单调增）（若<1，则单调减）

3.数学归纳法 （不常用，并且因为我用得很熟，懒得总结）

有界证明 ​

1.分离常数 an+1=an1+an
2.数学归纳法（常用）（界就是极限）
3.常见不等式

数列不存在证明 ​

【例题1】 设 a0>0, an=an−1(an−1+1)(n=1,2,⋯), 则 limn→∞an ___.
证有界：
显然，an>0,{an}有下界

证单调：
anan−1=an−1(an−1+1)an−1=an−1+1>1
==> {an}单调递增

假设{an}有上界，则limn→∞an∃，令其为A
==> A=A(A+1) ==> A=0与limn→∞an矛盾

说明{an}无上界 ==> 极限不存在或为正无穷

【例题2】设 a0>0，an=an−1(1−an−1)(n=1,2,⋯)，则 limn→∞an ________。

（1）若0<a0<1，显然0<an<1，即：{an}有界

anan−1=an−1(1−an−1an−1=1−an−1<1 ==> {an}单调递减
由单调有界准则可得：极限存在，令其为A
==> A=A(1−A) ==> A=0

（2）若a0>1,a1<0，显然an<0(n=1,2,⋯)
anan−1=1−an−1>1 ==> an<an−1 ==> {an}单调递减

假设an有下界，则极限存在，令其为A ==> A=A(1−A) ==> A=0矛盾

说明an没有下界，极限不存在或为负无穷

（3）若a0=1，显然an=0(n=1,2,⋯) ==> limn→∞an=0

综上：limn→∞an={00<a0≤1−∞a0>1

常见不等式 ​

1.a2+b2⩾2ab
2.a1+a2+⋯+ann≥a1⋅a2⋯ann
或者a1+a2+⋯+an⩾na1⋅a2⋯ann
3.sin⁡x<x<tan⁡xx∈(0,π2)
4.x⩾sin⁡x（x⩾0当且仅当x=0时，等号成立）
5.arctan⁡x<x<tan⁡x(0<x<π2)
6.ex⩾x+1
7.x−1⩾ln⁡x
8.x1+x<ln⁡(1+x)<x(x>0)
9.11+x<ln⁡(1+1x)<1x(x>0)
10.−|x|≤x≤|x|
11.|x|−|y|≤||x|−|y||≤|x+y|≤|x|+|y|
12.ba+ab≥2 （a,b同号）
13.a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b∈R)

(1)当x∈(0,π2)时，sin⁡x<x<tan⁡x;

(2) 当 x∈(0,π2) 时,sin⁡x>2πx;
当 x∈(0,π4) 时,tan⁡x<4πx

(3)当 x>0 时 , sin⁡x>x−x36;
当 x≠0 时 ,cos⁡x>1−x22;
当x∈(0,π2)时，tan⁡x>x+x33

(4)当x≠0时,x<ex−1<xex;

(5)当x>0时,x1+x<ln⁡(1+x)<x;

哈哈哈，重复说明重要

数列极限 ​

定积分定义 ​

【步骤】
(1)先提1n（不管小区间的长度是不是1n）

【例题1】（插入点ξ为端点）
求极限limn→∞[1n+1n+1+⋯+1n+n]

=limn→∞1n(11+11+1n+⋯+11+nn)

分成n份，取右端点

=limn→∞1n+∫0111+xdx=ln2

【例题2】（插入点ξ为中点）
求极限limn→∞1n3[12+32+⋯+(2n−1)2]

=limn→∞1n[(1n)2+(2n)2+⋯+(2n−1n)2]=s

alt text

2s−(2n−1n)2⋅1n=∫02x2dx ==> s=43

2kn区间划分：

alt text

2s=∫02x2dx ==> s=43

【例题3】（插入点ξ非中点、端点的情况）

求极限limn→∞∑k=1n1n+2k(k−1)2k−1

=limn→∞1n∑k=1n11+2k(k−1)n(2k−1)

k−1n<2k2k−1⋅k−1n=2k(k−1)(2k−1)n=2(k−1)2k−1⋅kn<kn

k−1n<ξk<kn

=limn→∞11+ξ1⋅1n+11+ξ2⋅1n+⋯+11+ξn⋅1n
=limn→∞

alt text

【例题4】（类似例题3）
求极限limn→∞∑k=1n1n+k(k−1)

=limn→∞1n∑k=1n11+k(k−1)n

k−1n<kn⋅k−1n<kn ==> k−1n<ξk<kn

同理（例题3）

【例题5】（出现连乘，先取对数，化累和）
求极限limn→∞n!nn

I=limn→∞n!nn

lnI=limn→∞lnn!n−lnn=limn→∞1n∑k=1nlnkn=∫01lnxdx=xlnx−x|01=−1

I=e−1

【例题6】
求极限limn→∞(n+1)(n+1)⋯(n+n)nn

=limn→∞1n∑k=1nln(1+kn)=∫01ln(1+x)dx=2ln2−1

夹逼准则 ​

形如limn→∞1[b1a1+b2a2+⋯+bnan], 其中b1,b2,⋯,bn>0且0<a1<a2<⋯<an

1an(b1+b2+⋯+bn)⩽[b1a1+b2a2+⋯+bnan]⩽1a1(b1+b2+⋯+bn)

当a1an→1时，上面不等式两边的极限相等，此时一定可以用夹逼准则

【例题1】
求极限limn→∞[sin⁡πnn+1n+sin⁡2πnn+2n+⋯+sin⁡nπnn+nn]

n+1n∼n且 n+nn∼n ==> a1an→1

∑k=1nsin⁡kπnn+1n⩾∑k=1nsin⁡kπnn+kn⩾∑k=1nsin⁡kπnn+nn

∑k=1nsin⁡kπnn+nn=nn+nn1n∑k=1nsinkπn=1⋅∫0πsinxdx=2

∑k=1nsin⁡kπnn+1n=nn+1n1n∑k=1nsinkπn=1⋅∫0πsinxdx=2

【例题2】
求极限limn→∞[1n2+n+1+2n2+n+2+⋯+nn2+n+n]

a1和an∼n2

∑k=1nkn2+n+1≥∑k=1nkn2+n+k≥∑k=1nkn2+n+n

∑k=1nk∼n22 ==> I=12

【例题3】
求极限limn→∞∑i=1nntan⁡inn2+i

求含有sin无穷的数列极限 ​

总结：求含有sin∞/cos∞/tan∞的数列极限
（1）减去等价无穷大，把无穷大拉回常数
（2）提出等价无穷大，把无穷大拉回常数

【例题1】数列极限 I=limn→∞ntan(πn2+1)= ______.

I=limn→∞ntan(πn2+1)
=limn→∞ntan(πn2+1−πn)
=limn→∞ntan(π1n2+1+n)
=limn→∞n⋅π⋅1n2+1+n
=limn→∞π⋅11+1+1n1
=π2

【例题2】数列极限 I=limn→∞sin(4n2+nπ)=_____.

法一：减去等价无穷大

I=limn→∞sin(4n2+nπ)
=limn→∞sin(4n2+nπ−2nπ)
=limn→∞sin(π⋅14+1n+2
=limn→∞sinπ4=22

法二：提出等价无穷大

I=limn→∞sin(4n2+nπ)
=limn→∞sin(2nπ1+14n
=limn→∞sin[2nπ(1+12⋅14n)]
=limn→∞sin(2nπ+π4=22

【例题3】数列极限 I=limn→∞sin2(n2+3nπ)=_______.

I=limn→∞sin2(n2+3nπ)
=limn→∞sin2(n2+3nπ−nπ)
=limn→∞sin2(π31+3n+1
=sin232

裂项相消法例题 ​

【例题1】设 xn=(∑k=1n12(1+2+⋯+k))n, 则 limn→∞xn= ___.

limn→∞(∑k=1n12(1+k)⋅k⋅12)n
=limn→∞[∑k=1n(1k−11+k)n]
=limn→∞[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n−11+n)]n
=limn→∞(1−11+n)n=e−1

【例题2】 求数列极限I=limn→∞∑k=1n1k(k+1)(k+2)

I=limn→∞∑k=1n1k(k+1)(k+2)
=limn→∞∑k=1n1+k−kk(k+1)(k+2)
=limn→∞∑k=1n1k(k+2)−1(k+1)(k+2)
=limn→∞∑k=1n[12(1k−1k+2)−(1k+1−1k+2]
=limn→∞34−12(n+1)−12+12(n+2)=14

【例题3】 求数列极限 limn→∞(log2⁡an)(2n), 其中 an=∏i=1n(22i)。

limn→∞(log2⁡an)(2n)
=limn→∞(∑i=1n12i)2n
=limn→∞[12[1−(12)n]1−12]2n
=limn→∞[1−(12)n]2n
=limn→∞e2n⋅−(12)n=e−1

开n次根号 ​

limn→∞an=1 (a>0)

limn→∞nn=1

limn→∞f(n)n=1(f(n)不含有n次方)

奥特曼公式 ​

a1,a2,⋯,am 为非负，则
a1n+a2n+⋯+amnn=max{a1,a2,⋯,am}

【证明】
不妨设：a1=maxa1,a2,⋯,am
a1n≤a1n+a2n+⋯+amn≤na1n
a1nn≤a1n+a2n+⋯+amnn≤na1nn
limn→∞a1nn=limn→∞na1nn=a1

得证：a1n+a2n+⋯+amnn=max{a1,a2,⋯,am}

微分方程 ​

微分方程概述 ​

1.n阶微分方程的通解应该含有n个不能合并的任意常数
2.n阶齐次微分方程的通解是n个线性无关的特解的线性组合

线性微分方程概述 ​

（要么看未知函数y，要么看未知函数x)
① 未知函数及未知函数的导数都是一次的
② 未知函数及未知函数的导数只能线性组合

例：判断下列微分方程是否为y的线性微分方程

（1）y″+y′+y=0
（2）y″+y′+y=sinx
（3）y″+x2y′+exy=cosx
（4）y″+yy′=0
（5）y″+y′=y2
（6）y″+exy′+sinyy=x

（1）（2）（3）是y的线性微分方程

一阶微分方程通解 ​

y′+P(x)y=Q(x)
通解：y=e−∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]

伯努利方程 ​

通过换元，将非线性方程化简成线性

y′+P(x)y=Q(x)yα(α=0,α=1则为线性直接做)

① 两边同除yα

y−αy′+P(x)y1−α=Q(x)

② 令y1−α=z,两边同时对x求导

(1−α)y−α⋅y′=z′y−αy′=11−αz′

③ 代入求z(x)

11−αz′+P(x)z=Q(x)z′+(1−α)P(x)z=(1−α)Q(x)

总结：Q(x)必须干净没有y，盯着y换元（P(x)y那一项）

欧拉方程 ​

xny(n)+a1xn−1y(n−1)+⋯+an−1xy′+any=f(x)

① 令x=et(化成常系数)
则xky(k)=D(D−1)...(D−k+1)yD是对t的微分算子D=ddt

② 解得y(t)，再代入为y(x)

例：方程x2y′′+2xy′−2y=0的通解
令x=et

D(D−1)y+2Dy−2y=0D2y+Dy−2y=0y″+y′−2y=0y=C1e−2t+C2et=C1x2+C2x

二阶齐次微分方程通解 ​

y″+by′+c=0

特征方程：r2+br+c=0

△=b2−4c

① △>0r1,2=−b±b2−4c2
y=C1er1x+C2er2x

② △=0r1,2=−b2
y=(C1+C2x)erx

③ △<0r1,2=−b2±4c−b22i
y=e−b2x(C1cos⁡4c−b22x+C2sin⁡4c−b22x)
y=eαx(C1cos⁡βx+C2sin⁡βx)

二阶齐次微分方程特解结论 ​

y″+p(x)y′+q(x)y=0的任意两个解y1(x),y2(x)一定满足y1′y2−y1y2′=Ce−∫p(x)dx（其中C可以通过两个解确定为常数）
证明：
{y1′′+p(x)y1+q(x)y1=0(1)y2′′+p(x)y2+q(x)y2=0(2)

(1)×y2−(2)×y1
{y1′′y2+p(x)y1′y2+q(x)y1y2=0(1)×y2y2′′y1+p(x)y2′y1+q(x)y2y1=0(2)×y1

(y1″y2−y1y2″)+p(x)(y1′y2−y1y2′)=0

令y=y1′y2−y1y2′，则有：y′+p(x)y=0
y=Ce−∫p(x)dx

得证：y1′y2−y1y2′=Ce−∫p(x)dx

例题

解的结构 ​

{y′′+py′+qy=f(x)(非齐次)y′′+py′+qy=0(齐次)

① y1 和 y2 是齐次线性无关的解，则 C1y1+C2y2 是齐次的通解
② 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
③ y1,y2…yn是齐次的解，C1y1+C2y2+…+Cnyn仍是齐次的解
④ y1,y2…yn是非齐次的解
c1y1+c2y2+⋯+cnyn{c1+c2+⋯+cn=1非齐次的解c1+c2+⋯+cn=0齐次的解
⑤ 非齐次解 + 齐次解 = 非齐次解

微分算子法（算非齐特解） ​

一、引入记号D

（1）D表示求导
Dsin⁡x=cos⁡xD2sin⁡x=−sin⁡x
(D+1)x=Dx+x=1+x

（2）1D表示积分
1Dsin⁡x=−cos⁡x1Dx=12x2

二、步骤
y″+ay′+by=f(x)
特征方程：D2+aD+b=0

y∗=1D2+aD+b⋅f(x)
记成：y∗=1F(D)⋅f(x)

计算：y∗=1F(D)⋅f(x) ==> 没有D的形式

如：y″+3y′−2y=e2xy∗=1D2+3D−2⋅e2x
3y″−2y′+5y=6y∗=13D2−2D+5⋅6
y″−2y′+2y=x2−2x+1y∗=1D2−2D+2⋅(x2−2x+1)
y″−3y′+2y=e−xcos⁡x+2xexy∗=1D2−3D+2⋅(e−xcos⁡x+2xex)

型一 ​

f(x)=ekx
【方法】 见D就换k
y∗=1F(D)ekx=1F(k)ekxF(k)≠0
F(k)=0时，y∗=1F(D)ekx=x1F′(D)ekx
F(k)=F′(k)=0时，y∗=1F(D)ekx=x21F″(D)ekx

例一：y″+3y′−2y=e2x 求 y∗
y∗=1D2+3D−2e2x=122−3×2−2e2x=18e2x

例二：y″−4y′+3y=e2x 求 y∗
y∗=1D2−4D+3e2x=122−4×2+3e2x=−e2x

例三：y″+2y′−3y=e−3x 求 y∗
F(−3)=0，则y∗=1D2+2D−3e−3x=x1(D2+2D−3)′e−3x=x12D+2e−3x=−x4e−3x

例四：y′′′+3y′′+3y′+y=e−x 求y∗
y∗=1D3+3D2+3D+1e−x=x13D2+6D+3e−x=x216D+6e−x=16x3e−x

例五：3y″−2y′+5y=6 求 y∗
y∗=13D2−2D+5⋅6=65

型二 ​

f(x)=sin⁡ax/cos⁡ax
【方法】 见D2就换−a2，剩下的D用平方差
1F(D2)sin⁡ax=1F(−a2)sin⁡ax
1F(D2)cos⁡ax=1F(−a2)cos⁡ax
与型一一样，F(−a2)就求导提一个x出来

例一：y″−y=sin⁡x 求 y∗
y∗=1D2−1sin⁡x=−12sin⁡x

例二：y″+4y=cos⁡2x 求 y∗
y∗=1D2+4cos⁡2x=x12Dcos⁡2x=x21Dcos⁡2x=x4sin⁡2x

例三：y′′+3y′−2y=sin⁡2x 求 y∗
y∗=1D2+3D−2sin⁡2x=13D−6sin⁡2x=13D+2D2−4sin⁡2x=−124(D+2)sin⁡2x=−124(2cos⁡2x+2sin⁡2x)

例四：y′′−6y′+9y=cos⁡x 求 y∗
y∗=1D2−6D+9cos⁡x=18−6Dcos⁡x=8+6D64−36D2cos⁡x=1100(8+6D)cos⁡x=150(4cos⁡x−3sin⁡x)

型三 ​

f(x)=ekx⋅ϕ(x){sin⁡axcos⁡axx多项式}
【方法】y∗=1F(D) f(x)=1F(D)[ekx⋅φ(x)]=ekx1F(D+k)φ(x)

例一：2y′′−3y′+y=e−xsin⁡2x 求 y∗
y∗=12D2−3D+1(e−xsin⁡2x)=e−x12(D−1)2−3(D−1)+1sin⁡2x=e−x12D2−7D+6sin⁡2x=−e−x17D+2sin⁡2x=−e−x7D−249D2−4sin⁡2x=1200e−x(7D−2)sin⁡2x=1100e−x(7cos⁡2x−sin⁡2x)

型四 ​

f(x)=x的多项式
【方法】化简成等比数列级数的形式，然后展开

例一：y″+y=−2x 求 y∗
y∗=1D2+1(−2x)=11−(−D2)(−2x)=(1−D2+...)(−2x)=−2x

例二：y″+y′=x2 求 y∗
y∗=1D2+Dx2=1D⋅1D+1x2=1D(1−D+D2+...)x2=1D(x2−2x+2)=13x3−x2+2x

例三：y″−2y′+2y=x2−2x+1 求 y∗
y∗=1D2−2D+2(x2−2x+1)=121+D2−2D2(x2−2x+1)=12[1+D22+D](x2−2x+1)=x22

型五 ​

算子计算顺序为：ex→cosx/sinx→x多项式

(1) y″−2y′+2y=xexcos⁡x;

利用欧拉公式将三角函数化为Re/Im⋅ex

cosx=Re(eix)
sinx=Im(eix)

y∗=12−2D+D2ex⋅cosx⋅x
=ex⋅12−2(D+1)+(D+1)2cosx⋅x
=ex⋅1D2+1cosx⋅x
=ex⋅Re⋅11+D2eix⋅x
=ex⋅Re⋅eix11+(D+i)2⋅x
=ex⋅Re⋅eix12iD+D2⋅x
=ex⋅Re⋅(cosx+isinx)(12i1D⋅11+D2i)x
=ex⋅Re⋅(cosx+isinx)(x24i+x4)
=ex⋅(x4cosx+x24sinx

Y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex⋅(x4cosx+x24sinx

(2) y″−2y′+2y=exsin⁡x

微分方程的换元 ​

题型：关于y和x的微分方程 ⇒x=x(t) 关于y和t的微分方程，可以有y,t,dydt,d2ydt2

方法：链式求导法
dydx=dydt⋅dtdx=dydt⋅1dxdt

d2ydx2=d(dydx)dt⋅1dxdt

【例题】作变量替换x=et，方程ax2d2ydx2+bxdydx+cy=0简化为________。

ae2td2ydx2+betdydx+cy=0
dydx=e−tdydt
d2ydx2=d2ydt2et−etdydte2t⋅e−t
aD2y+(b−a)Dy+cy=0

无穷级数技巧 ​

常数项级数 ​

级数的收敛与发散 ​

令 Sn=u1+u2+⋯+un(n=1,2,⋯)，则称数列 {Sn} 为级数 ∑n=1∞un 的部分和数列。
如果级数 ∑n=1∞un 的部分和数列 {Sn} 有极限 S，即 limn→∞Sn=S, 则称无穷级数 ∑n=1∞un 收敛，这时极限 S 叫做级数的和，并写成
S=u1+u2+u3+⋯+un+⋯;
如果 {Sn} 没有极限，则称无穷级数 ∑n=1∞un 发散。

级数的基本性质 ​

(1) 如果级数∑n=1∞un收敛于和S，则级数∑n=1∞kun也收敛(k为常数)，且收敛于kS；
(2) 如果级数∑n=1∞un，∑n=1∞vn分别收敛于S，σ，则级数∑n=1∞(un±vn)也收敛，且收敛于S±σ；
(3) 若∑n=1∞un和∑n=1∞vn中一个收敛，另一个发散，则级数∑n=1∞(aun+bvn)发散(a，b为非零常数)；

【注意】若级数∑n=1∞un与∑n=1∞vn都发散，则∑n=1∞(aun+bvn)的敛散性不确定(a，b为常数).

(4) 在级数中去掉、加上或改变有限项，不改变级数的收敛性；
(5) 如果级数 ∑n=1∞un 收敛，则对此级数的项加上括号后的级数仍收敛，且其和不变；
【注意】若加括号后形成的级数收敛，不能断定去括号后原来的级数收敛。例如级数 (1−1)+(1−1)+⋯ 收敛于零，但级数 1−1+1−1+⋯ 却是发散的。

(6) 级数收敛的必要条件：如果级数∑n=1∞un收敛，则它的一般项un趋于0，即：limn→∞un=0

收敛 ==> limn→∞Sn=S ==> limn→∞un=limn→∞(Sn−Sn−1)=S−S=0

【注意】常用来判定级数发散，即若limn→∞un≠0，则级数∑n=1∞un必发散。

拆分级数性质 ​

（1）若∑n=1∞an收敛，∑n=1∞bn收敛，则∑n=1∞(an+bn)一定收敛

（2）若∑n=1∞an收敛，∑n=1∞bn发散，则∑n=1∞(an+bn)一定发散

（3）若∑n=1∞an发散，∑n=1∞bn发散，则∑n=1∞(an+bn)可能收敛可能发散

【例 1】若 limn→∞nan=0，且级数 ∑n=1∞n(an−an−1) 收敛，则级数 ∑n=1∞an 收敛性的结论是 【 】
(A) 收敛.
(B) 发散.
(C) 不能确定.
(D) 与 an 正负有关.

【技巧】消去型级数用定义

∑n=1∞n(an−an−1)=[(a1−a0)+2(a2−a1)+⋯+n(an−an−1)]=nan−(a0+⋯+an−1=−(a0+⋯+an−1

【例2】【例 7.2】设级数 ∑n=1∞an 收敛, 则下列结论不正确的是
(A) ∑n=1∞(an+an+1) 必收敛.
(B) ∑n=1∞(an2−an+12) 必收敛.
(C) ∑n=1∞(a2n+a2n+1) 必收敛.
(D) ∑n=1∞(a2n−a2n+1) 必收敛.

(B) 【消去型级数】用定义

(C) 内部加括号

【例题3】对无穷级数 ∑n=1∞an 和 ∑n=1∞bn ，下列命题成立的是（ ）

（A）若 limn→∞anbn=0 ，则 ∑n=1∞an 和 ∑n=1∞bn 中至少有一个收敛.
（B）若 limn→∞anbn=1 ，则 ∑n=1∞an 和 ∑n=1∞bn 中至少有一个发散.
（C）若 limn→∞anbn=0 ，则 ∑n=1∞an 收敛时 ∑n=1∞bn 收敛.
（D）若 limn→∞anbn=∞ ，则 ∑n=1∞bn 发散时 ∑n=1∞an 发散.

通项趋于0不能推收敛(A)错误

limn→∞anbn=1 ==> limn→∞an=0,limn→∞bn=0不都成立 ==> 至少有一个发散(B)正确

【注意】只有正项级数可用比较审敛法等，普通级数只能用，收敛+收敛，同敛散，改变有限项，通项趋于0（必要条件）来判别
(C)(D)错误

【例题4】设 an>0(n=1,2,⋯)，若 ∑n=1∞an 发散，∑n=1∞(−1)n−1an 收敛，则下面结论正确的是（ ）
（A）∑n=1∞a2n−1 收敛，∑n=1∞a2n 发散.
（B）∑n=1∞a2n 收敛，∑n=1∞a2n−1 发散.
（C）∑n=1∞(a2n−1+a2n) 收敛.
（D）∑n=1∞(a2n−1−a2n) 收敛.

A=∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯
B=∑n=1∞(−1)n−1an=a1−a2+a3+⋯

∑n=1∞a2n−1=A+B2 收敛＋发散 = 发散
∑n=1∞a2n=A−B2 发散 － 收敛 = 发散

(C)级数发散，内部加括号，不知道
(D)级数收敛，内部加括号，收敛

典型级数的敛散性 ​

(1) 几何级数(等比级数): ∑n=1∞qn, 当 |q|<1 时收敛于 11−q, 当 |q|⩾1 时发散;
(2) p 级数: ∑n=1∞1np, 当 p>1 时收敛, 当 p⩽1 时发散;
(3) 对数 p 级数: ∑n=2∞1nplnq⁡n, 当 p⩾1 且 q>1 时收敛, 当 p⩽1 且 q⩽1 时发散.

【注】 当取 p=1, 对数 p 级数变为 ∑n=2∞1nlnq⁡n, 此时, 当 q>1 时收敛, 当 q⩽1 时发散.

正项级数 ​

常数项级数的各项非负，即：un≥0,(n=1,2,⋯)的级数称为正项级数。

∑n=1∞an收敛 <==> Sn有界

加括号问题 ​

（1）∑n=1∞an 是正项级数，则∑n=1∞an 收敛⇔∑n=1∞(a2n−1+a2n)收敛

（2）若 limn→∞an=0，则 ∑n=1∞an 收敛 ⇔ ∑n=1∞(a2n−1+a2n) 收敛

正项级数审敛法 ​

① 比较判别法【适合于抽象级数】: 设 ∑n=1∞un, ∑n=1∞vn 为正项级数, 且 0⩽un⩽vn(n=1,2,⋯),
若 ∑n=1∞vn 收敛, 则 ∑n=1∞un 收敛;
若 ∑n=1∞un 发散, 则 ∑n=1∞vn 发散.

【例题】判断敛散性
（1）∑n=1∞∫01nx1+x2dx

0⩽∫01nx1+x2dx<∫01nxdx=23⋅1n32收敛

（2）∑n=1∞ann, 己知∑n=1∞an(an≥0)收敛

0≤ann=an⋅1n≤an+1n22

② 比较判别法的极限形式【实现等价无穷小，易于判别】: 设 ∑n=1∞un, ∑n=1∞vn 为正项级数, 若 limn→∞unvn=l(0⩽l⩽∞),
当 0<l<+∞ 时, ∑n=1∞un 与 ∑n=1∞vn 同敛散;
当 l=0 且 ∑n=1∞vn 收敛时, 则 ∑n=1∞un 收敛;
当 l=+∞ 且 ∑n=1∞vn 发散时, 则 ∑n=1∞un 发散.

【例题】判断下列级数敛散性

(1)∑n=1∞(1−cos⁡πn)

n→∞,1−cos⁡πn∼12⋅πn2=π2⋅1n2

(2)∑n=1∞(1n−sin⁡1n)

n→∞,1n−sin⁡1n=1n−[1n−16(1n)3+o(1n)3]∼16(1n)3

(3)∑n=1∞(n1n2+1−1)

n→∞,eln⁡nn2+1−1∼ln⁡nn2+1<<nϵn2+1<1n2−ϵ

③ 比值判别法（达朗贝尔判别法）【适用于带阶乘级数】：设 ∑n=1∞un 为正项级数，若 limn→∞un+1un=ρ，则

∑n=1∞un{收敛，ρ<1，发散，ρ>1，不确定，ρ=1。

【例题】判断下列级数敛散性

(1)∑n=1∞ann!nn(a>0)

un+1un=an+1(n+1)!(n+1)n+1an⋅n!nn=a(1+1n)n

limn→∞un+1un=ae→{ae>1,收敛ae<1,收敛ae=1,?

un+1un=e(1+1n)n>1,un单调增 ==> Sn>n⋅u1→∞

limn→∞un+1un=ae→{ae>1,发散ae<1,收敛ae=1,发散

④ 根值判别法(柯西判别法)【适用于带幂级数】: 设 ∑n=1∞un 为正项级数, 若 limn→∞unn=ρ, 则

∑n=1∞un{收敛,ρ<1,发散,ρ>1,不确定,ρ=1.

【例题】∑n=1∞(nan+1)n(a>0)

limn→∞(nan+1)nn=limn→∞nan+1=limn→∞a1+1n=a

当a=1时，un=(nn+1)n⇒limn→∞un=limn→∞1(1+1n)n=1e≠0发散

{a>1,发散a<1,收敛a=1,发散

【综合例题】

【例题1】已知函数 y=y(x) 是一阶微分方程初始值问题{y′=x+ay,y(0)=0的解，则级数∑n=1∞y(1n)
（A）发散.
（B）条件收敛.
（C）绝对收敛.
（D）收敛性与 a 的取值有关.

y(0)=0,y′(0)=0,y″(0)=1 ==> y(1n)=y(0)+y′(0)+y″(0)21n2+o(1n2)
==> y(1n)∼12n2绝对收敛

【例题2】设∑n=1∞an为正项级数，下列结论中正确的是（）
（A）若limn→∞nan=0，则级数∑n=1∞an收敛
（B）若存在非零常数λ，使得limn→∞nan=λ，则级数∑n=1∞an发散.
（C）若级数∑n=1∞an收敛，则limn→∞n2an=0.
（D）若级数∑n=1∞an发散，则存在非零常数λ，使得limn→∞nan=λ.

(A)(B)用比较判别法

交错级数 ​

若 un⩾0(n=1,2,⋯)，则级数 ∑n=1∞(−1)n−1un 或 ∑n=1∞(−1)nun 称为交错级数，其展开形式有以下两种：

u1−u2+u3−u4+⋯，

−u1+u2−u3+u4−⋯。

交错级数的敛散性判定(莱布尼茨判别准则) ​

对于交错级数 ∑n=1∞(−1)n−1un(un>0), 若:
① un⩾un+1(n=1,2,3,⋯);
② limn→∞un=0,
则级数收敛, 且其和 s⩽u1.

【例题】判断下列级数的敛散性

(1)∑n=1∞(−1)nln⁡nn.

(ln⁡xx)′=1x⋅x−121xln⁡xx=1x(1−ln⁡x2)x

lnnn在n>9时，单调减，趋于0 ==> 级数收敛

(2) ∑n=1∞sin⁡(πn2+a2).

sin⁡(πn2+a2)=sin⁡[πn+(πn2+a2−πn)]=(−1)nsin⁡[π(n2+a2−n)]=(−1)nsin⁡[π⋅a2n2+a2+n]

sin⁡[π⋅a2n2+a2+n]单调减，趋于0，级数收敛

一般项级数 ​

绝对收敛与条件收敛的概念 ​

对于一般项级数∑n=1∞un，
如果级数∑n=1∞un各项的绝对值所构成的正项级数∑n=1∞|un|收敛，则称级数∑n=1∞un绝对收敛；
如果级数∑n=1∞un收敛，而级数∑n=1∞|un|发散，则称级数∑n=1∞un条件收敛.

绝对收敛与条件收敛的性质 ​

(1) 绝对收敛的级数一定收敛, 即若 ∑n=1∞|un| 收敛, 则 ∑n=1∞un 收敛;

(2) 条件收敛的级数所有正项 (或负项) 构成的级数一定发散;

【注意】 由级数所有正项或负项构成的级数可分别表示为 ∑n=1∞un+|un|2 和 ∑n=1∞un−|un|2.

(3) 绝对收敛的级数重新排列后, 级数仍收敛且和不变.

【例题】设常数λ＞0，且级数∑an2收敛，则级数∑(−1)n|an|n2+λ（　　）
（A）发散.
（B）条件收敛.
（C）绝对收敛.
（D）敛散性与λ有关.

|(−1)n|an|n2+λ|=|an|n2+λ≤an2+1n2+λ2收敛

==> 绝对收敛

【例题2】设常数 k>0，则级数 ∑n=1∞(−1)nk+nn2 （ ）
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 收敛性与 k 取值有关.

∑n=1∞(−1)n[kn2+1n] 单调减，趋于0，收敛

∑n=1∞|(−1)nn+kn2|=∑n=1∞(1n+kn2)，发散加收敛，级数发散，说明是条件收敛

【例题3】关于级数 ∑n=1∞[sin⁡(nα)n2−1n] 的敛散性说法正确的是（ ）
(A) 发散.
(B) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 敛散性与 α 取值有关.

∑n=1∞|sin⁡(nα)n2|≤∑n=1∞1n2，收敛

∑n=1∞−1n，发散

==> 级数发散

【例题4】设 ∑n=1∞(−1)nan2n 收敛，则级数 ∑n=1∞an （ ） (A) 条件收敛
(B) 绝对收敛
(C) 发散
(D) 敛散性不定

limn→∞(−2)nan=0⇒limn→∞2n⋅|an|=0

⇒limn→∞|an|(12)n=0⇒|an|<<(12)n 绝对收敛

【例题5】判别级数 ∑n=1∞(1−xnxn+1) 的收敛性, 其中 {xn} 是单调递增而且有界的正项级数

由∑n=1∞(xn+1−xn)=limn→∞[x2−x1+x3−x2+⋯xn+1−xn] 收敛

0≤xn+1−xnxn+1≤xn+1−xnx1 收敛

幂级数 ​

幂级数的概念 ​

各项都是幂函数的函数项级数即所谓幂级数，形如∑n=1∞an(x−x0)n，称为在 x0 处的幂级数.

阿贝尔定理及其推论 ​

如果幂级数 ∑n=0∞anxn 当 x=x0 (x0≠0) 时收敛，则对 |x|<|x0| 的一切 x，∑n=0∞anxn 绝对收敛。反之，如果幂级数 ∑n=0∞anxn 当 x=x0 时发散，则对 |x|>|x0| 的一切 x，∑n=0∞anxn 发散。

【推论】如果幂级数 ∑n=0∞anxn 不是仅在 x=0 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则可以一个确定的正数 R，使得当 |x|<R 时，幂级数绝对收敛；当 |x|>R 时，幂级数发散；当 |x|=R 时，幂级数可能收敛也可能发散。

正数 R 叫做幂级数的收敛半径，开区间 (−R,R) 叫做幂级数的收敛区间。再由幂级数在 x=±R 处的收敛性就可以决定它的收敛域是 (−R,R)、[−R,R)、(−R,R] 或 [−R,R] 这四个区间之一。

【注意】在求收敛域时，一定不要忘记判断端点处幂级数的敛散性，这也是其与收敛区间的区别。

幂级数收敛半径的求法 ​

对于幂级数 ∑n=0∞anxn，若 limn→∞|an+1||an|=ρ（或 limn→∞n|an|=ρ），则幂级数的收敛半径为 R={1ρ,ρ≠0,+∞,ρ=0,0,ρ=+∞.

【例题】求下列幂级数的收敛域

(1)∑n=1∞(−1)nnxnn!.

limn→∞|(−1)n+1n+1xn+1(n+1)!(−1)nnxnn!|=limn→∞|x|n+1=0<1,x∈(−∞,+∞)

(2) ∑n=1∞3n+(−2)nn(x−1)n .

∑n=1∞3n+(−2)nntn,limn→∞|3n+(−2)nn||t|nn=|t|limn→∞3nnnn(1+(−23)n)1n=3|t|=1

收敛区间(−13,13)

t=13时，∑n=1∞1+(−23)nn 发散
t=−13时，∑n=1∞3n+(−2)nn(−13)n=∑n=1∞(−1)n+(23)nn收敛

收敛域：−13≤x−1≤13, [23,43)

(3)∑n=1∞(−1)nn2n(x−1)2n .

limn→∞|(−1)nn2ntn|n=|t|2<1

t=2时，∑n=1∞(−1)nn发散
t=−2时，∑n=1∞n 发散

收敛域：−2<(x−1)2<2 ==> (1−2,1+2)

幂级数和函数 ​

(1) 幂级数 ∑n=0∞anxn 的和函数 s(x) 在其收敛域 I上连续.

(2) 幂级数 ∑n=0∞anxn 的和函数 s(x) 在其收敛域 I 上可积，并有逐项积分公式 ∫0xs(x)dx=∫0x(∑n=0∞anxn)dx=∑n=0∞∫0xanxn dx=∑n=0∞anxn+1n+1(x∈I)

【注】逐项积分后所得到的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.

【母型级数】
(1) ∑n=0∞xn=11−x

(2) ∑n=1∞xnn=−ln⁡(1−x)

(3) ∑n=1∞x2n−12n−1=∑n=1∞xnn−∑n=1∞(−x)nn2=−ln⁡(1−x)+ln⁡(1+x)2

(4) ∑n=1∞x2n2n=12∑n=1∞(x2)nn=12(−ln⁡(1−x2))

【例题】求下列幂级数的和函数

（1）∑n=1∞xnn(n+1)

limn→∞|x|nn(n+1)n=|x|=1

收敛域：x∈[−1,1]

S1(x)=∑n=1∞(1n−1n+1)xn=∑n=1∞xnn−∑n=1∞xnn+1=∑n=1∞xnn−1x⋅∑n=2∞xnn=−ln⁡(1−x)−−ln(1−x)−xx,x≠0,x∈I

S(0)=0

【例题】计算级数∑n=2∞1(n2−1)2n

S(x)=∑n=2∞xn(n2−1)=12[∑n=2∞xnn−1−∑n=2∞xnn+1]
=12[x2∑n=1∞xnn−1x∑n=3∞xnn]=12[x⋅(−ln⁡(1−x))−−ln⁡(1−x)−x−x22x],x∈I,x≠0

S(12)=58034ln2

【例题】求下列幂级数的和函数

（1）∑n=1∞x2nn(2n+1)

limn→∞(x2)nn(2n+1)n=x2<1，收敛区间(−1,1)

x=±1 时, ∑n=1∞1n(2n+1)收敛 ==> I=[−1,1]

S(x)=∑n=1∞x2nn−∑n=1∞22n+1x2n=∑n=1∞(x2)nn−∑n=1∞x2n+12n+1⋅2x
=−ln⁡(1−x2)−2x⋅[∑n=0∞x2n+12n+1−x]=−ln⁡(1−x2)−2x⋅−ln⁡(1−x)−(−ln⁡(1+x))2+2,x∈I,x≠0,x≠±1

S(0)=∑n=1∞0n(2n+1)=0

S(−1)=S(1)=limx→1[−ln⁡(1−x)−ln⁡(1+x)−−ln⁡(1−x)+ln⁡(1+x)x+2]=−2ln2+2

(3) 幂级数 ∑n=0∞anxn 的和函数 s(x) 在其收敛区间 (−R,R) 内可导，且有逐项求导公式

s′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=0∞(anxn)′=∑n=1∞nanxn−1(|x|<R).

【注】逐项求导后所得到的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径.

【子型级数】
（1）∑n=0∞xn=11−x

（2）∑n=0∞xn−1=(11−x)

（3）∑n=0∞n(n−1)xn−2=(11−x)′′

【例题】∑n=1∞2n−12nx2n−2

limn→∞2n−12nx2nx2n<1，即：x22<1，收敛区间(−2,2)

x=±2,∑n=1∞2n−12n2n−1=∑n=1∞2n−12n发散

S(x)=1x2⋅∑n=1∞(2n−1)(x22)n

∑n=1∞(2n−1)tn=∑n=0∞(2n−1)tn+1=1+[−1⋅∑n=0∞tn+2t∑n=0∞ntn−1]=1+[−11−t+2t⋅(11−t)′]=1−11−t+2t(1−t)2

S(x)=1x2[−x221−x22+x2(1−x22)2],x≠0,x∈I

【带阶乘级数】
（1）∑n=0∞xnn!=ex

【例题】求下列幂级数的收敛域与和函数

(1)∑n=0∞x2n+1(2n+1)!

∑n=0∞xnn!−∑n=0∞(−x)nn!2=ex−e−x2x∈(−∞,+∞)

(2) ∑n=0∞x2n(2n)!

∑n=0∞xnn!+∑n=0∞(−x)nn!2=ex+e−x2x∈(−∞,+∞)

常用级数推导 ​

都还记得高中的等比数列求和公式吧？

(1)Sn=a(1−rn)1−r(当 r≠1)

注意到如果|r|<1 ，11−x的级数展开就是公比为x的等比数列

(2)11−x=1+x+x2+x3+⋯

换一个形式：

(3)11−x=∑n=0∞xn

改成11+x：

(4)11+x=∑n=0∞(−1)nxn

我们知道(ln(x+1))′=11+x，那么先求导再积分可得：

(5)ln(x+1)=∫0x11+tdx=∫0x∑n=0∞(−1)ntndt=∑n=0∞∫0x(−1)ntndt=∑n=0∞(−1)nxn+1n+1

化简一下：

(6)ln(x+1)=∑n=1∞(−1)n−1xnn

我们知道(arctanx)′=11+x2，同理可得：

(7)arctanx=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1

幂级数展开式大伙都知道吧：

(8)f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)2!(x−a)2+f(3)(a)3!(x−a)3+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n+⋯

又知ex的n次导始终为ex，得：

(9)ex=∑n=0∞xnn!

同理，对sinx，f(n)(x)=sin(x+n∗π2)
f(n)(0)顺序循环地取0，1，0，-1，... 得：

(9)sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1

再求导可得：

(10)cosx=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n

还有这个：

(11)(1+x)m=∑n=0∞(mn)xn

上面这个级数你可以使用幂级数展开式自行验证。
总结：

(1)11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+⋯(−1<x<1)(2)11+x=∑n=0∞(−1)nxn=1−x+x2−⋯(−1<x<1)(3)ln(x+1)=∑n=1∞(−1)n−1xnn=x−x22+x33+⋯(−1<x≤1)(4)arctanx=∑n=0∞(−1)nx2n+12n+1=x−x33+⋯(−1≤x≤1)(5)ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22+⋯(−∞<x<+∞)(6)sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−x36+⋯(−∞<x<+∞)(7)cosx=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=x−x22+⋯(−∞<x<+∞)(8)(1+x)m=∑n=0∞(mn)xn=1+mx+m(m−1)2x2(−1<x<1)

常见曲线 ​

摆线 ​

老演员了，又叫旋轮线、圆滚线、伽利略曲线、最速降线
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助记 ​

积分表 ​

①∫kdx=kx+C (k 是 常 数),②∫xμdx=xμ+1μ+1+C (μ≠−1),③∫dxx=ln⁡|x|+C,④∫dx1+x2=arctan⁡x+C,⑤∫dx1−x2=arcsin⁡x+C,⑥∫cos⁡xdx=sin⁡x+C,⑦∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C,⑧∫dxcos2⁡x=∫sec2⁡xdx=tan⁡x+C,⑨∫dxsin2⁡x=∫csc2⁡xdx=−cot⁡x+C,⑩∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C,⑪∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C,⑫∫exdx=ex+C,⑬∫axdx=axln⁡a+C.∫shxdx=chx+C,∫chxdx=shx+C.∫tanxdx=−ln⁡|cosx|+C,∫cotxdx=ln⁡|sinx|+C,∫secxdx=ln⁡|secx+tanx|+C,∫cscxdx=ln⁡|cscx−cotx|+C,∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C,∫dxx2−a2=12aln⁡|x−ax+a|+C,∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C,∫dxx2+a2=ln⁡(x+x2+a2)+C,∫dxx2−a2=ln⁡|x+x2−a2|+C.

高阶导数表 ​

①(eax)(n)=aneax②[sin⁡(ax+b)](n)=ansin⁡(ax+b+nπ2)③[cos⁡(ax+b)](n)=ancos⁡(ax+b+nπ2)④(1x+a)(n)=(−1)nn!(x+a)n+1⑤[ln⁡(x+a)](n)=(1x+a)(n−1)=(−1)n−1(n−1)!(x+a)n

三角函数反解 ​

对自变量x，左加右减
对arccos/siny整体加负号 alt textalt textalt text

常用泰勒展开 ​

sinx=x−16x3+⋯
arcsinx=x+16x3+⋯
tanx=x+13x3+⋯
arctanx=x−13x3+⋯
ln(x+1+x2)=x−16x3+⋯

积化和差 ​

【虽然这个口诀有点令人难绷，但还是记下来了】

sin ==> 帅/嫂 cos ==> 哥

帅 + 帅 = 帅哥sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=2sin⁡xcos⁡y
帅 - 帅 = 哥帅 sin⁡(x+y)−sin⁡(x−y)=2cos⁡xsin⁡y
哥 + 哥 = 哥哥cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=2cos⁡xcos⁡y
哥 - 哥 = 负嫂嫂cos⁡(x+y)−cos⁡(x−y)=−2sin⁡xsin⁡y

常见级数（特值法） ​

常见的收敛级数：∑n=1∞0，∑n=1∞1n2，∑n=1∞(−1)n1n，∑n=1∞(−1)n1n，∑n=2∞(−1)n1ln⁡n，∑n=2∞(−1)n1nln⁡n．

常见的发散级数：∑n=1∞1，∑n=1∞1n，∑n=2∞1ln⁡n，∑n=2∞1nln⁡n．

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